26.4.2实际问题与二次函数 教学设计 2026-2027学年人教版九年级数学上册

基本信息 教科书版本及章节 人教版（2024版）九年级上册 第二十六章 26.4.2销售中的最值问题 学习领域/模块 数与代数 AI辅助工具 元宝 单元教学设计 单元学习主题 二次函数的实际应用 1. 单元教学设计说明 本单元是在学生学习了二次函数的图像与性质基础上，进一步研究二次函数在解决实际问题中的应用，培养学生数学建模能力。 2. 单元要素分析 从简单的最大高度、最大面积问题，过渡到复杂的销售利润最值问题，体现螺旋上升。 3.单元学习目标与重、难点 目标：能运用二次函数解决实际问题中的最值；掌握建模的一般步骤。 重点：建立二次函数模型解决实际问题。 难点：从实际情境中抽象出函数关系，并确定自变量取值范围。 4.单元整体教学思路(教学结构图) 以“实际问题→建模→求解→解释”为主线，分课时逐步深入 5.单元检测设计（单元目标达成情况） 通过课后练习、单元测试检验目标达成 课时教学设计 课题 26.4 实际问题与二次函数（第2课时）——销售中的最值问题 课型 新授课☑ 章/单元复习课□ 专题复习课□ 习题/试卷讲评课□ 学科实践活动课□ 其他□ AI辅助工具 1.课标分析 《义务教育数学课程标准》要求：能根据具体问题的实际意义，检验二次函数模型的解的合理性；体会二次函数是刻画现实世界的有效数学模型。 我的思考 2.教学内容分析（分析本课时教学内容在单元中的位置、已学内容与本课的关联、在课本中如何呈现螺旋上升） 本课是二次函数实际应用中的经典类型——销售利润最值问题。在单元中处于核心地位，承接前一课时“高度、面积最值”，为后续更复杂建模打基础。教材通过“涨价/降价”两种情境，让学生完整经历“分析数量关系→建立函数→限定范围→求最值→比较决策”的过程。 3.学习者分析（根据本班学生实际情况分析） 九年级学生已具备一定的函数基础和建模意识，但对多变量、分段情境的分析能力较弱；容易忽略自变量实际范围，或在非整数顶点时不会合理取整。需通过追问引导，突破难点。 4.学习目标 （1）熟记商品销售利润等核心公式； （2）能在涨价、降价情境中精准建立利润的二次函数解析式； （3）能结合自变量实际范围，利用二次函数顶点公式求解最大利润；会准确对比不同调价方案选择最优销售策略。 （4）经历“分析销售情境→梳理数量关系→建立函数模型→限定变量范围→求解最值方案”的完整探究过程，掌握二次函数解决优化问题的通用流程，提升综合建模与最值运算能力。 （5）感受二次函数在商业销售、生活优化中的实用价值，体会数学模型解决实际决策问题的优势，培养严谨的数学思维和理性的方案决策意识。 5学习重、难点： 重点：在涨价、降价情境中建立利润二次函数模型，并求最值。 难点：确定自变量的实际取值范围；当顶点横坐标不符合实际取值要求时（如非整数），能正确取最接近的整数点比较；多种方案的最优选择。 6.学习活动设计 学习任务、活动 学习评价 任务一：旧知回顾，激活经验 教师活动：出示PPT旧知回顾题（小球上抛问题），提问：如何求实际问题中二次函数的最值？ 学生活动：口答，回顾“配方或顶点公式”，明确求最值需考虑自变量范围。 任务二：情境引入，梳理公式 教师活动：PPT展示利润公式填空：（1）单件利润=售价-进价；（2）总利润=单件利润×销售量。追问：涨价或降价对利润和销量的影响？ 学生活动：回忆并回答，理解“涨价利润高但销量降，降价销量高但单件利润低”的矛盾。 任务三：探究简单销售问题（知识点1） 教师活动：PPT出示例题：商品进价20元，售价x元（20≤x≤30整数），销量(30-x)件，求最大利润定价。 学生活动：独立尝试设售价为x，列函数y=(x-20)(30-x)，求最值。 任务四：深入探究“每…每…”型问题（知识点2，核心） 教师活动：PPT展示问题2：售价60元，每周卖300件；涨价1元少卖10件，降价1元多卖20件；进价40元。如何定价利润最大？ 追问1：不调价时利润？学生计算：(60-40)×300=6000元。 追问2：涨价1元、降价1元利润？学生计算验证均增加。 追问3：涨价2元、3元…x元？引导学生列涨价x元时：y=(60+x-40)(300-10x)=-10x²+100x+6000。 追问4：涨价越多利润越大吗？ 追问5：x取值范围？0≤x≤30且整数。 追问6：求最值。学生用顶点公式：x=-b/2a=5，y最大=6250，定价65元。 追问7：不同列式？设定价为x元，y=(x-40)[300-10(x-60)]。 追问8-9：类比探究降价情况。设降价x元，y=(60-x-40)(300+20x)=-20x²+100x+6000，0≤x≤20整数。顶点x=2.5，取整数x=2或3，y最大=6120，定价58或57元。 追问10：综合比较。涨价6250元 > 降价6120元 > 不调价6000元，最优定价65元。 任务五：归纳通用步骤与数学思想 教师活动：引导学生总结用二次函数解决实际问题的一般步骤：实际问题→分析数量关系→设变量→列函数解析式→定自变量范围→在范围内求最值→作答（多种情况需比较）。 思想方法：建模思想、函数思想、分类讨论、转化。 任务六：课堂练习，巩固应用 教师活动：PPT出示练习：旅行社营业额问题。20人起，每人2100元；每增加1人，每人费用降30元。求最大营业额。 学生活动：设增加x人，y=(20+x)(2100-30x)，求最值。 能正确说出求最值步骤，为新课铺垫。 准确说出核心公式，为建模做准备。 能正确列出解析式，并求出当x=25时y最大。 能完整经历建模过程，正确求最值并比较方案。 能用自己的话概括步骤，体会数学思想。 正确列式并求出x=25时y最大=60750，人数45人。 7. 本课素养拓展（由教师提示具体素养方向） （1）理性决策意识：通过对比不同定价方案，理解数学在商业决策中的价值。 （2）严谨思维：自变量范围对最值的影响，非整数顶点需结合整数要求取值。 （3）模型观念：从具体销售问题中抽象出通用二次函数模型，迁移到其他优化问题。 8.作业设计（要求体现分层原则） 基础题：教科书第53页练习第2题（类似销售问题，巩固建模）。 提高题：自编一道“每…每…”型销售利润问题，并求解。 拓展题：若调价不限制为整数，降价情况下最大利润是多少？与整数情况比较，你有什么发现？ 9.板书设计 26.4 实际问题与二次函数（2）——销售中的最值问题 一、核心公式：总利润 = (售价-进价) × 销售量 二、公式模板： 1. 涨价情况：W=（售价+x-进价）（原销量-kx）（注：k为每涨1元少卖k件） 2. 降价情况：W=（售价-x-进价）（原销量+kx）（注：k为每降1元少卖k件） 三、一般步骤：设变量→列函数→定范围→求最值→比较作答 10. 教学反思 2 学科网（北京）股份有限公司 $