复习讲义（数列）-2026-2027学年高二上学期《数学期中考点大串讲》(原卷版+解析版)

编写说明：2026-2027学年高二上学期《数学期中考点大串讲》以《数学 拓展模块一》教材内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义、课件和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 2026-2027学年高二上学期《数学期中考点大串讲》 期中复习讲义-数列 核心考点 复习目标 常考题型 数列的有关概念 理解数列的有关概念，能够根据规律求一般数列的通项，掌握已知sn求an的方法 一般常在选择题、填空题中考查 等差数列 理解等差数列的定义、会用定义法证明数列是等差数列，掌握等差数列的通项公式、前n项和公式及等差数列常用的性质 选择题、填空题、解答题中都会考查，主要围绕等差数列的通项公式和前n项和公式 等比数列 理解等比数列的定义、会用定义法证明数列是等比数列，掌握等比数列的通项公式、前n项和公式及等比数列常用的性质 选择题、填空题、解答题中都会考查，主要围绕等比数列的通项公式和前n项和公式 知识点一 数列的概念 知识总结 1．数列及其有关概念 (1) 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． (2) 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 3．函数与数列的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 4．数列的单调性 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 5．通项公式 (1)如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． (2) 通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 6．数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 7．数列的前n项和Sn与an的关系 (1) 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. (2) an＝ 典例先行 【典例1】（25-26高二下·山东聊城·期中）数列的通项公式是（   ） A． B． C． D． 【典例2】（24-25高二下·河北·期中）数列的通项公式是，（　　） A． B． C． D． 【典例3】（24-25高二上·江苏·期末）已知数列的前项和，则该数列的通项（    ） A． B． C． D． 【典例4】（25-26高二下·山东聊城·期中）已知的前项的和，则（   ） A．138 B．192 C．276 D．222 解题技巧 1．从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数(离散的)，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值． 2．任何一个数列，它的前n项和Sn与通项an都存在关系：an＝ 若a1适合Sn－Sn－1，则应把它们统一起来，否则就用分段函数表示．另外一种快速判断技巧是利用S0是否为0来判断：若S0＝0，则a1适合Sn－Sn－1，否则不符合，这在解小题时比较有用． 3．已知数列的前几项，求数列的通项公式，应从以下几方面考虑： (1)如果符号正负相间，则符号可用(－1)n或(－1)n＋1来调节． (2)分式形式的数列，分子和分母分别找通项，并充分借助分子和分母的关系来解决． (3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决． 此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决． 即时训练 【即时训练1】（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）已知数列，，则（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【即时训练2】（25-26高二下·浙江温州·期中）数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 【即时训练3】（2024高三·专题练习）设数列的前项和，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【即时训练4】（25-26高二下·天津·期中）数列4，2，1，的通项公式是（    ） A． B． C． D． 【即时训练5】（24-25高二下·河北·期中）在数列中，，（），则（    ） A． B． C． D． 【即时训练6】（24-25高三上·山东·期中）若数列的前项和为，则这个数列的通项公式是（   ） A． B． C． D． 知识点二 等差数列 知识总结 1．等差数列的概念及通项 (1)定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,常用字母表示，即（，，为常数）或（，为常数）. (2)等差中项 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即． (3)等差数列通项公式 (4)等差数列的判定 ① (定义法); ②(中项法); ③(通项法, 一次函数); ④(和式法, 其图象是过原点的抛物线上的散点). 2．等差数列前n项和 (1) ； (2)等差数列前n项和公式与二次函数的关系 等差数列的前项和,令,则 . 3．等差数列的性质 设为等差数列,公差为,则 (1)若,则.特别地,若,则; (2)下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为． (3)若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列． (4)连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． 典例先行 【典例1】（25-26高二下·浙江温州·期中）在等差数列中，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【典例2】（25-26高二下·浙江温州·期中）已知是等差数列，且，，则首项等于（    ） A．0 B． C． D． 【典例3】（25-26高二下·浙江温州·期中）已知数列为等差数列，且，则（    ） A．11 B．22 C．44 D．88 【典例4】（25-26高二下·山东聊城·期中）在等差数列中，已知，则的最大值是（   ） A．25 B．29 C．23 D．27 解题技巧 1．等差数列中，已知5个元素a1，an，n，d，Sn中的任意三个，便可求出其余两个．除已知a1，d，n求an，Sn可以直接用公式外，其他情况一般都要列方程或方程组求解，因此这种问题蕴含着方程思想．注意，我们把a1，d叫做等差数列的基本元素．将所有其他元素都转化成基本元素是解决等差数列问题的一个非常重要的基本思想． 2．在等差数列五个基本量a1，d，n，an，Sn中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前n项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用． 3．等差数列最常用的一个性质是：若“p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an”．等差数列的性质是其定义、通项公式及前n项和公式等基础知识的推广与变形，解题时灵活应用这些性质常常可化繁为简，起到事半功倍的效果． 即时训练 【即时训练1】（25-26高二下·天津·期中）下列数列不是等差数列的是（    ） A．，2，6，10 B．，，， C．，，， D．29，25，21，17 【即时训练2】（25-26高二下·山东烟台·期中）某同学周末在书店借阅了一本课外读物，第一天读了页，从第二天起每天比前一天多读页，最后一天读了页，恰好读完，该同学读完这本读物需要的天数为（    ）. A． B． C． D． 【即时训练3】（25-26高二下·浙江温州·期中）已知实数是等差中项，则（   ） A． B． C． D． 【即时训练4】（25-26高二下·山东聊城·期中）已知数列为等差数列，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 【即时训练5】（25-26高二下·江西·期中）在等差数列中，前15项的和，则的值为（    ） A．15 B．10 C．12 D．6 【即时训练6】（25-26高二下·浙江温州·期中）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式： (2)求． 知识点三 等比数列 知识总结 1．等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：． 2．等比中项 如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中． 3．等比数列的通项公式 首项为，公比为的等比数列的通项公式为： 4．等比数列的前项和公式 5．等比数列的性质 设等比数列的公比为 (1) 若，且，则，特别地，当时，． (2) 下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为． (3) 若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列； (4) 连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列． 典例先行 【典例1】（25-26高二下·天津·期中）下列说法正确的是（    ） A．是等比数列 B．常数列一定是等比数列 C．是公比为的等比数列 D．当时，等比数列是递增数列 【典例2】（25-26高二下·天津·期中）若数列满足（   ） A．64 B．32 C．16 D．8 【典例3】（25-26高二下·江西·期中）已知，，成等比数列，则（    ）. A．6 B． C．或2 D．或6 【典例4】（25-26高二下·山东济宁·期中）已知数列为等比数列，前n项和，则a等于（   ） A．3 B．1 C． D． 解题技巧 1．判断数列{bn}是等比数列，常用方法：①定义法；②等比中项法，判断数列不是等比数列，可举一个反例或用反证法．等比数列中，已知五个元素a1，an，n，q，Sn中的任意三个，便可求出其余两个． 2．在等比数列五个基本量a1，q，n，an，Sn中，已知其中三个量，可以将已知条件结合等比数列的性质或通项公式、前n项和公式转化为关于基本量的方程(组)来求得余下的两个量，计算有时要整体代换，根据前n项和公式列方程还要注意对q是否为1进行讨论． 3．学习等比数列，要善于将其与等差数列进行类比，如等差数列中与“和”有关的性质可类比等比数列中与“积”有关的性质，还可对二者的思维形式、方法与技巧进行类比． 即时训练 【即时训练1】（25-26高二下·内蒙古赤峰·期中）等比数列中，，，则（    ） A．15 B．16 C．31 D．32 【即时训练2】（25-26高二下·江西·期中）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【即时训练3】（25-26高二下·江苏南京·期中）在等比数列中，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【即时训练4】（25-26高二下·山东聊城·期中）若为等比数列的前n项和，已知，则（   ） A． B． C． D． 【即时训练5】（25-26高二下·山东济宁·期中）远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【即时训练6】（25-26高二上·山东德州·期中）在等比数列中，，求： (1)该数列的通项公式； (2)该数列的前项和． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2026-2027学年高二上学期《数学期中考点大串讲》以《数学 拓展模块一》教材内容为基准，精准覆盖核心考点，并紧密贴合职教高考真题题型，包括复习讲义、课件和模拟卷，旨在为学生提供全方位、高效的期中复习解决方案。 2026-2027学年高二上学期《数学期中考点大串讲》 期中复习讲义-数列 核心考点 复习目标 常考题型 数列的有关概念 理解数列的有关概念，能够根据规律求一般数列的通项，掌握已知sn求an的方法 一般常在选择题、填空题中考查 等差数列 理解等差数列的定义、会用定义法证明数列是等差数列，掌握等差数列的通项公式、前n项和公式及等差数列常用的性质 选择题、填空题、解答题中都会考查，主要围绕等差数列的通项公式和前n项和公式 等比数列 理解等比数列的定义、会用定义法证明数列是等比数列，掌握等比数列的通项公式、前n项和公式及等比数列常用的性质 选择题、填空题、解答题中都会考查，主要围绕等比数列的通项公式和前n项和公式 知识点一 数列的概念 知识总结 1．数列及其有关概念 (1) 一般地，我们把按照确定的顺序排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……，第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示．其中第1项也叫做首项． (2) 数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，an，…，简记为{an}． 2．数列的分类 分类标准 名称 含义 按项的个数 有穷数列 项数有限的数列 无穷数列 项数无限的数列 3．函数与数列的关系 数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1,2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是序号n，对应的函数值是数列的第n项an，记为an＝f(n)． 4．数列的单调性 递增数列 从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列 递减数列 从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列 常数列 各项都相等的数列 5．通项公式 (1)如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式． (2) 通项公式就是数列的函数解析式，以前我们学过的函数的自变量通常是连续变化的，而数列是自变量为离散的数的函数． 6．数列的递推公式 如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式． 7．数列的前n项和Sn与an的关系 (1) 把数列{an}从第1项起到第n项止的各项之和，称为数列{an}的前n项和，记作Sn，即Sn＝a1＋a2＋…＋an. (2) an＝ 典例先行 【典例1】（25-26高二下·山东聊城·期中）数列的通项公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别分析数列的符号、分子、分母的变化规律，整合后即可得到通项公式. 【详解】观察可发现该数列奇数项为正，偶数项为负，因此符号部分为， 各项分子依次为，因此分子为（）， 各项分母依次为，因此分母为（）， 综上，数列的通项公式为. 故选：C. 【典例2】（24-25高二下·河北·期中）数列的通项公式是，（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由数列的通项公式，令，求出的值即可. 【详解】因为数列的通项公式是， 所以. 故选：B. 【典例3】（24-25高二上·江苏·期末）已知数列的前项和，则该数列的通项（    ） A． B． C． D． 答案】C 【分析】利用与的关系求解即可. 【详解】当时，； 当时，， 又，也适合上式， ∴，. 故选：C. 【典例4】（25-26高二下·山东聊城·期中）已知的前项的和，则（   ） A．138 B．192 C．276 D．222 【答案】B 【分析】利用数列前n项和的含义，将所求三项和转化为前8项和与前5项和的差，代入公式计算即可. 【详解】数列的前项的和， 则. 故选：B. 解题技巧 1．从函数的观点看，数列可以看作是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1，2，3，…，n})的函数(离散的)，当自变量从小到大依次取值时所对应的一列函数值． 2．任何一个数列，它的前n项和Sn与通项an都存在关系：an＝ 若a1适合Sn－Sn－1，则应把它们统一起来，否则就用分段函数表示．另外一种快速判断技巧是利用S0是否为0来判断：若S0＝0，则a1适合Sn－Sn－1，否则不符合，这在解小题时比较有用． 3．已知数列的前几项，求数列的通项公式，应从以下几方面考虑： (1)如果符号正负相间，则符号可用(－1)n或(－1)n＋1来调节． (2)分式形式的数列，分子和分母分别找通项，并充分借助分子和分母的关系来解决． (3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法来解决． 此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知的数列)、归纳、转化(转化为等差、等比或其他特殊数列)等方法来解决． 即时训练 【即时训练1】（23-24高二下·河北石家庄·阶段练习）已知数列，，则（   ） A．15 B．16 C．17 D．18 【答案】A 【分析】在通项公式中，令可求解. 【详解】由题可知，. 故选：A. 【即时训练2】（25-26高二下·浙江温州·期中）数列的第8项为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据分子、分母与项数的关系，写出数列的通项公式，据此可得解. 【详解】由题可知，所给数列的分子：，通项为； 分母：，通项为； 故数列通项为，所以. 故选：B 【即时训练3】（2024高三·专题练习）设数列的前项和，则（    ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】C 【分析】利用与的关系即可得解. 【详解】因为，则，， 所以. 故选：C. 【即时训练4】（25-26高二下·天津·期中）数列4，2，1，的通项公式是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等比数列的通项公式即可求解. 【详解】因为， 所以该数列为以4为首项，为公比的等比数列， 所以. 故选：A. 【即时训练5】（24-25高二下·河北·期中）在数列中，，（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据数列的递推公式求出数列的前几项，找出数列的周期，再根据周期计算的值. 【详解】已知，，可得： ， ， ， 可以发现数列是以为周期的周期数列， 因为，所以. 故选：B. 【即时训练6】（24-25高三上·山东·期中）若数列的前项和为，则这个数列的通项公式是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据与的关系，分类讨论，当时，，当时，利用计算结果，验证后可得结论. 【详解】由题意，当时，， 当时，，满足上式，所以. 故选：B. 知识点二 等差数列 知识总结 1．等差数列的概念及通项 (1)定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差都等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,常用字母表示，即（，，为常数）或（，为常数）. (2)等差中项 如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项，即． (3)等差数列通项公式 (4)等差数列的判定 ① (定义法); ②(中项法); ③(通项法, 一次函数); ④(和式法, 其图象是过原点的抛物线上的散点). 2．等差数列前n项和 (1) ； (2)等差数列前n项和公式与二次函数的关系 等差数列的前项和,令,则 . 3．等差数列的性质 设为等差数列,公差为,则 (1)若,则.特别地,若,则; (2)下标成公差为的等差数列的项，，，…组成的新数列仍为等差数列，公差为． (3)若数列也为等差数列，则，，（k，b为非零常数）也是等差数列． (4)连续项的和依然成等差数列，即，，，…成等差数列，且公差为． 典例先行 【典例1】（25-26高二下·浙江温州·期中）在等差数列中，，则（    ） A．4 B．5 C．6 D．10 【答案】B 【分析】根据等差数列的下标和性质可求解. 【详解】等差数列中：，且， 所以，解得. 故选：B 【典例2】（25-26高二下·浙江温州·期中）已知是等差数列，且，，则首项等于（    ） A．0 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据等差数列的通项公式建立方程组，解之即可． 【详解】设等差数列的公差为， 由， 解得，所以首项为. 故选：. 【典例3】（25-26高二下·浙江温州·期中）已知数列为等差数列，且，则（    ） A．11 B．22 C．44 D．88 【答案】C 【分析】由等差数列的性质求解. 【详解】根据等差数列的性质可得， 所以. 故选：. 【典例4】（25-26高二下·山东聊城·期中）在等差数列中，已知，则的最大值是（   ） A．25 B．29 C．23 D．27 【答案】A 【分析】根据等差数列通项公式确定正负项分界点，结合前项和公式求解最大值即可. 【详解】因为等差数列的通项公式为：， 所以公差， 所以数列是递减的等差数列， 令，即，解得：， 又因为，所以当时，，当时，， 所以前项和为的最大值， 即. 故选：A. 解题技巧 1．等差数列中，已知5个元素a1，an，n，d，Sn中的任意三个，便可求出其余两个．除已知a1，d，n求an，Sn可以直接用公式外，其他情况一般都要列方程或方程组求解，因此这种问题蕴含着方程思想．注意，我们把a1，d叫做等差数列的基本元素．将所有其他元素都转化成基本元素是解决等差数列问题的一个非常重要的基本思想． 2．在等差数列五个基本量a1，d，n，an，Sn中，已知其中三个量，可以根据已知条件结合等差数列的通项公式、前n项和公式列出关于基本量的方程(组)来求余下的两个量，计算时须注意整体代换及方程思想的应用． 3．等差数列最常用的一个性质是：若“p＋q＝m＋n，则ap＋aq＝am＋an”．等差数列的性质是其定义、通项公式及前n项和公式等基础知识的推广与变形，解题时灵活应用这些性质常常可化繁为简，起到事半功倍的效果． 即时训练 【即时训练1】（25-26高二下·天津·期中）下列数列不是等差数列的是（    ） A．，2，6，10 B．，，， C．，，， D．29，25，21，17 【答案】B 【分析】根据等差数列的定义判断. 【详解】选项A：因为；；，差为同一个常数4， 所以数列，，，是等差数列， 选项B：因为， ， 而，，则， 所以，可知， 所以数列，，，不是等差数列， 选项C：因为；；，差为同一个常数0， 所以数列，，，是等差数列， 选项D：因为；；，差为同一个常数， 所以数列，，，是等差数列. 故选：B. 【即时训练2】（25-26高二下·山东烟台·期中）某同学周末在书店借阅了一本课外读物，第一天读了页，从第二天起每天比前一天多读页，最后一天读了页，恰好读完，该同学读完这本读物需要的天数为（    ）. A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差数列通项公式即可求解. 【详解】由题意得，每日阅读的页数可看作以为首项，为公差的等差数列， 所以，解得，即该同学读完这本读物需要天. 故选：A. 【即时训练3】（25-26高二下·浙江温州·期中）已知实数是等差中项，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据等差中项公式即可得解. 【详解】是等差中项， . 故选：. 【即时训练4】（25-26高二下·山东聊城·期中）已知数列为等差数列，则不成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用等差数列的下标和性质与通项公式逐一验证各选项，找出不恒成立的等式 【详解】A选项，下标和，，满足下标和相等的条件， 因此，等式恒成立，故A正确； B选项，设数列的公差为d， ，， 仅当时二者相等，并非对所有等差数列成立，因此等式不恒成立，故B错误； C选项，下标和，符合等差中项性质， 因此，等式恒成立，故C正确； D选项，下标和，，满足下标和相等的条件， 因此，等式恒成立，故D正确. 故选：B. 【即时训练5】（25-26高二下·江西·期中）在等差数列中，前15项的和，则的值为（    ） A．15 B．10 C．12 D．6 【答案】B 【分析】根据等差数列的前n项和公式以及等差数列的性质求解即可. 【详解】在等差数列中，前15项的和， ∴， 解得. 故选：B. 【即时训练6】（25-26高二下·浙江温州·期中）已知等差数列的前项和为，且，． (1)求数列的通项公式： (2)求． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求和公式求出公差，再根据通项公式可得解； （2）利用等差数列的求和公式可求解. 【详解】（1）设等差数列的公差为，且， 则，解得， 所以. （2）由（1）知，， 则. 知识点三 等比数列 知识总结 1．等比数列的定义 一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母表示（），即：． 2．等比中项 如果三个数、、成等比数列，那么称数为与的等比中项．其中． 3．等比数列的通项公式 首相为，公比为的等比数列的通项公式为： 4．等比数列的前项和公式 5．等比数列的性质 设等比数列的公比为 (1) 若，且，则，特别地，当时，． (2) 下标成等差数列且公差为的项，，，…组成的新数列仍为等比数列，公比为． (3) 若，是项数相同的等比数列，则、、（是常数且）、、（，是常数）、、也是等比数列； (4) 连续项和（不为零）仍是等比数列．即，，，…成等比数列． 典例先行 【典例1】（25-26高二下·天津·期中）下列说法正确的是（    ） A．是等比数列 B．常数列一定是等比数列 C．是公比为的等比数列 D．当时，等比数列是递增数列 【答案】C 【分析】根据等比数列的定义即可求解. 【详解】对于A，不存在公比，不是等比数列，故A错误. 对于B，各项均为的常数列不是等比数列，故B错误. 对于C,是公比为的等比数列,故C正确. 对于D，等比数列公比为，不是递增数列，故D错误. 故选：C. 【典例2】（25-26高二下·天津·期中）若数列满足（   ） A．64 B．32 C．16 D．8 【答案】C 【分析】根据等比数列的定义，以及通项公式即可求解. 【详解】因为数列满足则，又, 所以数列是以为首项，为公比的等比数列， 则. 故选：C. 【典例3】（25-26高二下·江西·期中）已知，，成等比数列，则（    ）. A．6 B． C．或2 D．或6 【答案】D 【分析】根据等比数列中项的性质列出等式，进而求解的值. 【详解】已知成等比数列， 所以，且， 则，可得， 所以或， 故选：D. 【典例4】（25-26高二下·山东济宁·期中）已知数列为等比数列，前n项和，则a等于（   ） A．3 B．1 C． D． 【答案】B 【分析】首先由时，，得出，再由等比数列的通项公式求出，最后由求值即可. 【详解】已知的前n项和， 则， ， 所以公比，所以， 则，解得， 故选：B. 解题技巧 1．判断数列{bn}是等比数列，常用方法：①定义法；②等比中项法，判断数列不是等比数列，可举一个反例或用反证法．等比数列中，已知五个元素a1，an，n，q，Sn中的任意三个，便可求出其余两个． 2．在等比数列五个基本量a1，q，n，an，Sn中，已知其中三个量，可以将已知条件结合等比数列的性质或通项公式、前n项和公式转化为关于基本量的方程(组)来求得余下的两个量，计算有时要整体代换，根据前n项和公式列方程还要注意对q是否为1进行讨论． 3．学习等比数列，要善于将其与等差数列进行类比，如等差数列中与“和”有关的性质可类比等比数列中与“积”有关的性质，还可对二者的思维形式、方法与技巧进行类比． 即时训练 【即时训练1】（25-26高二下·内蒙古赤峰·期中）等比数列中，，，则（    ） A．15 B．16 C．31 D．32 【答案】A 【分析】根据等比数列前项和公式进行计算. 【详解】已知在等比数列中，，， 所以， 故选：A. 【即时训练2】（25-26高二下·江西·期中）在等比数列中，，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据等比数列通项公式求出公比，再求出的值. 【详解】设等比数列的公比为， 已知，， 由可得：，解得， 所以， 故选：A. 【即时训练3】（25-26高二下·江苏南京·期中）在等比数列中，若，则（    ） A．3 B．6 C．9 D．27 【答案】C 【分析】由等比数列的性质即可得解. 【详解】因为等比数列中，， 所以. 故选：C. 【即时训练4】（25-26高二下·山东聊城·期中）若为等比数列的前n项和，已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据已知等式求出等比数列的公比，再利用等比数列通项公式和前项和公式计算求解即可. 【详解】因为数列为等比数列，设公比为，且， 所以，因为，所以，解得：， 所以. 故选：C. 【即时训练5】（25-26高二下·山东济宁·期中）远望巍巍塔七层，红灯向下成倍增，共灯三百八十一，试问塔顶几盏灯？（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【分析】根据等比数列的前项和公式分析求解即可. 【详解】由题设知七层塔中，各层塔上灯的个数成等比数列，且公比， 设塔顶有盏灯，则，解得：， 所以塔顶盏灯. 故选：B. 【即时训练6】（25-26高二上·山东德州·期中）在等比数列中，，求： (1)该数列的通项公式； (2)该数列的前项和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据等比数列的通项公式列式求出公比和首项，再由通项公式求值即可. （2）根据等比数列的前项和公式求值即可. 【详解】（1）设公比为，由， 得，解得， 则，所以. （2）. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $