单元(四)幂函数、指数函数与对数函数-【衡水金卷·先享题】2026-2027学年高三数学一轮复习单元卷（湖南专版）

单元（四）幂函数、指数函数与对数函数 (建议用时120分钟，满分150分) 一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的) 1.已知集合A={x|y=(2-x)},B=(x|y=lg(4-x)},则(CRA)∩B= A.{x2x<4} B.{x|2<x<4} C.{x|x<4} D.{xx<4且x≠2} 2.不等式专≤0的解架为 A.{x1≤x<2或3≤x<4 B.{x1≤x≤2或3≤x≤4》 C.{x1<x<2或3x<4》 D.{xx≤1或2<x≤3或x>4》 3.已知a立十a=3,则a2十a2= A.7 B.42 C.47 D.49 4.如图所示是函数y=x”(m、n∈N*且互质)的图象，则 A.m,n是奇数且m<1 72 B.m是偶数，n是奇数，且m<1 C.m是偶数，n是奇数，且m>1 D.m,n是偶数，且m>1 5.若a=2026.2,b=log.22026,c=0.2226,则 A.a>b>c B.b>a>c C.a>c>b D.c>a>b 6.设a,b∈R,以下四幅图象中，可能代表函数y=a+b与y=loga(x十b)的图象的是 A B D. 7.某人工智能团队在训练深度学习模型时，采用分阶段学习率衰减策略.第一阶段使用 对数衰减，初始学习率为0.1，学习率)随迭代次数n(n∈N*)的变化公式为)=0.1 一0.01ln(n十1).当学习率小于等于0.05时，切换至第二阶段，第二阶段使用指数衰 减策略，学习率公式为？=0.05eoo1m),其中m1为第一阶段结束时的迭代次数，n 为总迭代次数.当学习率小于等于0.01时，模型停止训练.则该模型需要训练的总迭 代次数为（结果保留整数.参考数据：e5≈148.413，ln5≈1.609） A.307 B.308 C.309 D.310 第1页（共4页) 数学 8.已知z>l,0<y<1,且e=lne+ 2,则 A.x+ln y<0 B.2x+In y<0 C.x+2ln y<0 D.x+31n y>0 二、选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9.下列函数中图象恒过定点(1,2)的有 A.y=xa十1(a为常数) B.y=ax-1+2(a>0且a≠1) C.y=log。(2x-1)+2(a>0且a≠1) D.y=ax-a十2(a为非零常数) 10.设正数a,b满足3a十b=3,则下列结论正确的有 A.0<a<1 Ca≤ D.27a+3≥63 11.双曲函数是一类与三角函数类似的函数.最基本的双曲函数是双曲正弦函数sinh x =,e一和双曲余弦函数cosh x=e,一，则下列说法正确的是 A.双曲正弦函数是奇函数，双曲余弦函数是偶函数 B.cosh2x+sinh2=1 C.函数y simh工的值域为(-1,1) cosh x D.Yro>0,sinh(sinh xo)>sinh xo 班级 姓名 分数 题号 1 2 3 5 6 7 8 9 10 11 答案 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分） 12.已知f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)=2+a,则 f(-1og49)= 13.某药厂研制出一种新型药剂，投放市场后其广告投入x(万元)与药品利润y(万元) 存在的关系为y=x(a为常数)，其中x不超过5万元.已知去年投入广告费用为3 万元时，药品利润为27万元，若今年投入广告费用5万元，预计今年药品利润为 万元 14.函数y=f(x)的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数y=f(x)为 奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数y=f(.x)的图象关于点P(a,b)成中心对 称图形的充要条件是函数y=f(x十a)一b为奇函数.已知函数f(x)=x3十3x2,则 f(-2026)+f(-2025)+f(-2024)+.+f(-1)+f(0)+f(1)+…+ f(2023)+f(2024)= ·四 第2页（共4页） AN 四、解答题（本题共5小题，共77分。解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 18.(本小题满分17分) 15.(本小题满分13分) 已知函数f(x)=k·2+2是定义域为R的偶函数. 已知函数f(x)=x2十a.x十3. (1)求f(2)的值； (1)已知命题p:3x∈(1,2]，f(x)<0为假命题，求实数a的取值范围； (2)解不等式f(5-3x)>f(x十3)； (2)已知函数g(x)=f(x)-(a-2)x十a,若函数y=g[g(x)]的最小值是5，求实数 (3)若g(x)=22+2x-2mf(x)在[1，十∞)上的最小值为-2，求m的值. a的值. 16.(本小题满分15分) 1)计算(2027'+2×(-0.064)-(0)； (2)计算(1g5)2+lg2×lg50+lg0.01+log23×1og4; (3)已知2=6,6=24，求1og36十2ab的值 19.(本小题满分17分) E知商数f)=2》1十2 (1)若a=0,求不等式f(x)>2-ln2的解集； (2)若a>0,判断f(x)的奇偶性，说明理由，并求不等式f(3t-1)>f(t-2)的 解集； 17.(本小题满分15分) 已知幂函数f(x)=(m2一m一1)xm是R上的偶函数，将函数y=f(x)的图象先向 (3)若a=0,丰零实数mn请足f(m)十是=fm）),求证：m心>2. 右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度得到y=g(x)的图象. (1)求函数y=g(x)的解析式，并求函数y=2的值域； (2)求关于x的不等式f(x)<x十a2-a的解集. 第3页（共4页） 数学·四 第4页（共4页) ANAN ·数学· 单元（四） 9 命题要素一贤表 注： 1.能力要求： I,抽象概括能力Ⅱ，推理论证能力Ⅲ.运算求解能力Ⅳ.空间想象能力V.数据处理能力 Ⅵ.应用意识和创新意识 2.学科素养： ①数学抽象 ②逻辑推理③数学建模④直观想象 ⑤数学运算⑥数据分析 题型 分 知识点 能力要求 学科素养 预估难度 题号 值 (主题内容) Ⅲ ① ②③④ ⑤ ⑥ 档次系数 函数的定义域，集合 1 选择题 别 0.80 运算 2 选择题 5 解高次不等式 易 0.72 3 选择题 5 条件求值 务 0.68 4 选择题 5 幂函数的图象 中 0.65 选择题 5 比较指、对数大小 分 0.55 指数型、对数型函数图 6 选择题 5 象的识别 中 0.45 指数、对数函数的实际 7 选择题 5 中0.40 应用 8 选择题 5 同构法的应用 √√√ 难0.28 9 选择题 6 函数图象过定点 易 0.72 10 选择题 6 基本不等式的应用 分 0.50 与指数函数有关的新 11 选择题 6 难 0.28 定义题 由函数的奇偶性求函 12 填空题 5 易 0.72 数值 13 填空题 5 幂函数的实际应用 分 0.45 14 填空题 5 中心对称的应用 中 0.35 15 解答题 13 二次函数的性质 中 0.65 16 解答题 15 指数、对数的运算 中 0.50 17 解答题 15 幂函数性质的综合 中 0.45 指数型函数性质的 18 解答题 17 难 0.28 综合 指数、对数函数性质的 19 解答题 17 难 0.25 综合 ·17· ·数学· 参考答案及解析 香考答条及解析 一、选择题 1.B【解析】因为A={xx≤2}，B={x|x<4},所 =0.05e4ow≤0.01，即e0w≤号，得 以(CRA)∩B={x2<x<4}.故选B. -0.01m-148)<ln号=-ln5≈-1.609，而n∈ 2A【得标1学专0甜名书号< N”,所以解得n≥309，即n=309时模型停止训练.故 (x-1)(x-2)(x-3)(x-4)≤0 选C. 0,所以{x-2≠0 ,如图， 8.C 【解析】e=ln。+ 1 x一4≠0 3y2 =一x十 -2lny,故e+ x=1-2ny= +h(号)，因为0<y<1,所以 1 2 34 x >1n号>0，所以子+n<+n() y 所以不等式的解集为{x|1≤x<2或3≤x<4}.故 选A. (号)广+l(号)'，散号+n<&+x<() 2 3.C【解析】(a立十a立)2=a十a1十2=9，∴.a十a1 n(）广，即in}+e<x+e<n()'中 =7,∴.(a十a1)2=a2十a2十2=49，.a2十a2= 47.故选C. e(5)2,令f(t)=e十t,t>0,易知f(t)=e十t在 4.B【解析】由图象可知y=x”为偶函数，且在 0,+o)上单调递增，f(n）<f()< (0,十∞)上单调递增，故”∈(0,1)且m为偶数， fa(》)所以hx<h(),即-nx 又m、n∈N“且互质，故n是奇数.故选B. x-2lny,故x十2lny<0,x十lny>0,A错误，C 5.C【解析】因为y=2026在R上单调递增，所以a =202602>2026°=1：因为y=log.2x在 正确；BD选项，x>1,故2x十lny>x十lny>0,又 lny<0,故x+3lny<x+2lny<0,BD错误.故 (0,十∞)上单调递减，所以b=loga22026<1og0.21 选C. =0;又因为y=0.2在R上单调递减，所以0<c 0.22o26<0.2°=1.综上，a>c>b.故选C 二、选择题 9.ACD【解析】对于A,1+1=1+1=2,所以y=x 6.B【解析】对A,函数y=a十b单调递增，且图象与 y轴相交于x轴下方，所以a>1且b<-1,所以函数 十1(a为常数)恒过定点(1,2)，A正确：对于B,a-1 y=log。(x十b)单调递增且图象为y=logx向右平 =a°=1，所以y=a-1+2(a>0且a≠1)不过(1,2)， 移|b|>1个单位得到，不可能过原点，故A错误；对 故B错误；对于C,log.(2×1-1)=log。1=0,所以y B,函数y=log。(x十b)单调递增，且图象过原点，所 =log(2x-1)十2(a>0且a≠1)恒过定点(1,2)，C 以a>1且b=1,所以函数y=a十b单调递增，且图 正确；对于D,因为y=ax-a+2=a(x-1)+2,所 象为y=向上平移1个单位得到，故B正确；对C, 以当x=1时，y=2,故恒过定点（1,2)，D正确.故 函数y=a十b单调递减，且图象过原点，所以0<a< 选ACD. 1且b=-1,所以函数y=log.(x十b)=log(x-1) 10.ABD【解析】对于A,正数a,b满足3a+b=3,显 单调递减，且图象为y=log。x向右平移1个单位得 然3a<3a<1,放A正确：对于B名十古 到，不可能过原点，故C错误；对D,函数y=a十b单 调递减，且图象过原点，所以0<a<1且b=一1，所以 号(3a+6)(任+6)=3[10+3（台+公）门≥ 函数y=log。(x十b)单调递减，故D错误.故选B. 7.C【解析】在第一阶段，由7=0.1-0.01n(n+1)≤ 3(10+6)>4,故B正确：对于C,3a十b=3≥ 0.05,即1n(n十1)≥5，得n十1≥e≈148.413，而n∈ N·,所以解得n≥148，即n=148时第一阶段迭代结 2V5.ab是当且仅当3a=b=号时取等号， 束，所以1=148.在第二阶段，由7=0.05e01m-4》 故C错误：对于D,27”十3=3十3≥2√3a+5= ·18· AN ·数学· 2V尽=65，当且仅当3a=6=号时取等号，故D f(2023)]+…+[f(-2)十f(0)]十f(-1)=2025 ×4+2=8102. 正确.故选ABD 四、解答题 1.ACD【解析】对于A,ht=二，定义域为 15.解：(1)命题p:x∈(1,2]，f(x)<0为假命题， 则Hx∈(1,2]，f(x)≥0为真命题， R:sinh (-r)=ee=-ce=-sinh 2 2 a≥(-x-)xe1,2], 以shx为奇函数0血x=二，定义绒为R。 而一x一 <-2√·三=-25，当且仅当x cosh(一x)=ee=cosh,所以cosh为偶函 2 √3时等号成立， 数，故A正确；对于B,cosh'x十sinh'x= 因此实数a的取值范围是[-23，十o).(5分) (e兰)'+(2) (2)因为g(x)=f(x)-(a-2)x十a e2+e 2r +2e Xe :+e2r+e 2r-2e*Xer =(x+1)2十a+2≥a十2， 4 令t=g(x)≥a十2， 、,e≠1，故B错误：对于C,y二s过 sinh x 则y=g[g(x)]=g(t)=(t+1)2+a+2,t≥a+2, cosh x (7分) -号1号后R因为>0，所 则g(t)为图象开口向上，对称轴为t=一1的二次 函数， 1. -2 以e2十1>1，所以e中市∈(0,1)，e 当a十2<-1，即a<-3时， 2 则g(t)在[a十2，-1)上单调递减，在(-1，十o∞)上 （-2,0),所以y=1-e十∈（-1,1)，故C正 单调递增， 确；对于D,易知y=sinhx在R上单调递增，设 此时g(t)≥g(-1)=a十2=5，解得a=3,不满足 f(x)=sinh x-r0 (x)='e-1= 条件，舍去； (10分) 2 当a十2≥-1，即a≥-3时， g+e=2,因为e+e*>2,所以f(x)= 则g(t)在[a十2，十o∞)上单调递增， 2 此时g(t)≥g(a十2)=a2+7a十11=5， g十e一2>0，所以f(x)在(0，十∞)上单调递增， 2 解得a=-1或a=-6(舍去). (12分) 所以f(x)>f(0)=0,即sinh x>x,所以Hxo>0, 综上所述，a=-1. (13分) sinh(sinh ro)>sinh xo,故D正确.故选ACD. 三、填空题 16,解：)原武=1+子×（吉）叶（号）时 12.一2【解析】由于f(x)是定义在上的奇函数， (4分) 则f(0)=0,由于当x≥0时，f(x)=2+a,则f(0) =2°十a=0,则a=-1,f(l0g19)=219-1=4g13 2因为1og3x16e,4=是×张号=1 -1=2,则f(-1og19)=-f(1og19)=-2. 所以原式=(lg5)2+(1g10-lg5)(lg10+1g5) 13.125【解析】因为投入广告费用为3万元时，药品 -2+1=(1g5)2十1-(1g5)2-2+1=0.(9分) 利润为27万元，所以27=3“→a=3,即y=x3,当今 (3)2=6,6=24, 年投入广告费用5万元时，预计今年药品利润为5 故a=log26,b=logs24, =125万元. 14.8102【解析】依题意，f(x-1)一2=(x-1)十 ab-log:6.log:24-log:6.og24-log:24 1og26 3(x-1)2-2=x3-3x,显然f(-x-1)-2= =log24十log26=2十log26, (-x)3-3(-x)=-[f(x-1)-2],即函数y= f(x一1)一2是奇函数，因此函数f(x)=x十3.x2的 所以16g:六+2ab=-2be,6+2a6 图象的对称中心为(-1,2)，即f(-2-x)十f(x)= =-21og26+2×(2十log26)=4. (15分) 4,所以f(-2026)+f(-2025)+f(-2024)+… 17,解：(1)因为f(x)=(m2-m-1)xm是R上的幂 +f(-1)+f(0)+f(1)+…+f(2023)+f(2024) 函数， =[f(-2026)+f(2024)]+[f(-2025)+ 所以m2-m-1=1,解得m=2或m=-1, ·19· ·数学· 参考答案及解析 又f(x)是偶函数， 故由f(5-3x)>f(x十3)， 所以m=2, 可得|5-3x|>|x+3|, 所以f(x)=x, 所以(5-3x)2>(x十3)2， 所以g(x)=(x-2)2-1. (5分) 即2x2-9x十4=(2x-1)(x-4)>0, 因为g(x)=(x-2)2-1的值域为[-1，十o∞)， 解得x>4或x<立： 1 函数y=2在[一1，十∞)上单调递增， 所以y=2的值装为[宁十e)小 (7分) 故不等式的解集为(-，号)U(4,十∞).1分) (2)由(1)知f(x)=x2,由f(x)<x十a2-a, (3)f(x)=2+2, 得x2-x-(a-a)<0→(x-a)[x+(a-1)]<0. 所以g(x)=22x十22x-2mf(x) =22x+2-2x-2m(2+2) 当a=1-a,即a=号时，不等式r-x-(d2-a)<0 =(2+2x)2-2m(2+2x)-2, (14分) 无解： (10分) 令t=f(x)=2+2, 当a<1-a,即a<号时，不等式x-x-(a2-a)<0 由x∈[1，十∞)，f(x)在[0，十∞)上单调递增，得t 的解为a<x<1-a; (12分) ≥10=， 当a>1-a,即a>2时，不等式x-x-(a-a)<0 则g(x)可转化为关于t的函数h(t)=t-2mt-2= 的解为l-a<x<a. (1一m)一m-2≥号，对称轴为1=m 综上可得，当a=号时，不等式r-x-(d-a)<0 当m<号时，则1=号时，h()m=h(号)=（号） 的解集为⑦； 2m·号-2=-2解得m=号， 当a<号时，不等式r-x-(a-a)<0的解集 当m>号时，则=m时，h()m=A(m)=一m 为(a,1-a); 2=-2,解得m=0,舍去. 当a>时，不等式x-x-(a2-a)<0的解集为 综上m= (17分) (1-a,a). (15分) 18.解：(1)因为∫(x)=k·2十2x是定义域为R的 19.解：(1)若a=0,则不等式f(x)>2-ln2为 偶函数， -ln4x|+2>2-ln2, 则f(x)=f(-x), 即ln|4x|<ln2, 即k·2*十2x=k·21+2, 所以0<|4x|<2, 所以(k-1)2十(1-k)2x=0, 所以不等式的解集为(-之0)U(0,) (3分) 即k-10(2-)=0, 1 41=1,2+1 (2)设g(x)=·2-十22z·2定义域 所以k=1,f(x)=2+2,f(2)=4+1=17 是(-o0,0)U(0,十o∞)， 44 (5分) 12x十11,2十1」 则g(-x)=-2五·22·2-g(x), (2)由(1)可知f(x)=2十22， 所以g(x)是偶函数. 任取0≤x1<x2, 设0<x1<x2,则1<21<2,0<21-1<2？-1， 则251-22<0,1- 1 21*2>0, 1 1 故2->2>0， 则f(1)-f(x)=21-25+是- 1、1 2012*2 所以点>>0 =(2-2%)1-2)0, 又1>1>0， 所以f()<f(x2), 所以f(x)在[0，十∞)上单调递增， 所以2(）2() 又因为f(x)是偶函数， 即g(x1)>g(x2), ·20· AN ·数学· 故g(x)在(0，十∞)上是减函数. (7分) 即lnm-InIxl=m士n>o, f(x)=ag(x)-In 4x+2, 7m2n2 则f(-x)=ag(-x)-ln|-4x|十2=ag(x) 即Inlm>-Inlnl,所以|m>ln ln4x十2=f(x),则f(x)是偶函数， 设丹，则公1，h=, 当x∈(0，+oo)时，f(x)=ag(x)-ln(4x)+2, 又a>0,y=-ln(4x)在(0，十o∞)上单调递减， 解得m=十 In s ,+1 s2 In s' 所以f(x)在(0，+∞)上是减函数. 所以不等式f(3t-1)>f(t-2)等价于 所以m=1 (14分) s2In s' f(13t-1|)>f(1t-2|), 由单调性可得0<3-1<-2引，解得-合<！ 要证m->2,即证品>2 只需证-马 <且≠行 >2ns, 所以不等式f(3t-1)>F(t-2)的解集是 设)=-是-2(>1 (-23)U(3,是) (10分) 则(s)=2s+2s-2=2+-D>0, 5 (3)若a=0,则f(x)=-ln4x|+2, 所以h(s)在(1，十∞)上单调递增， 由f(m)+是=f(m)-是得-lm+是= 故h(s)>h(1)=0, 所以m2-n2>2. (17分) -lal da ·21·