4.1 整式 知识点梳理 2026-2027学年人教版数学七年级上册

4.1 整式 知 识 点 梳 理 2026—2027学年 · 人教版（2024）数学 · 七年级上册 第四章 整式的加减 4.1 整式 本讲版式：结构解构 · 项式分层版式 一、学习导航 课标要求：《义务教育数学课程标准（2022年版）》要求「理解单项式、多项式的概念」「能说出单项式的系数与次数、多项式的项与次数」「会用整式表示具体情境中的数量关系，发展符号意识与抽象能力」。 学习目标： 1. 了解单项式的概念，能判断一个代数式是不是单项式； 2. 会准确地找出单项式的系数与次数，会把单项式按次数命名； 3. 了解多项式的概念，能说出多项式的项、常数项与次数，会判断一个多项式是几次几项式； 4. 会把多项式按某一个字母的升幂或降幂排列； 5. 知道单项式与多项式统称整式，会用整式表示简单的数量关系。 本节在教材中的地位： 本节对应人教版（2024）数学七年级上册第四章 4.1 节（教材第 93 页起），下辖「单项式」「多项式」两个课时。 第三章已经学会把数量关系写成代数式，比如 92t、a²、0.9p、h 这些。本节要把这些代数式按「结构」分类整理：只看乘积的叫什么，几个这样的式子相加又叫什么；一个式子里的「数字部分」和「字母部分」分别叫什么名字。给式子的各个部位起好名字，后面才能研究它们的加减运算（4.2 节）。 换句话说：第三章解决「怎么写出一个代数式」，本节解决「写出来的代数式叫什么、由哪几部分组成」。这是整式加减、乃至今后学习方程与函数的必备「术语基础」。 课 时 核 心 内 容 关 键 方 法 第1课时 单项式 单项式的概念； 单项式的系数； 单项式的次数； 单项式的命名 先看是不是「数或字母的积」， 再定系数、后数指数和 第2课时 多项式 多项式的概念与项； 常数项； 多项式的次数； 升幂排列与降幂排列 项要带符号； 次数看最高的那一项； 排列时项要整体搬家 二、单项式（第 1 课时） （一）从具体问题说起 港珠澳大桥是集主桥、海底隧道和人工岛于一体的世界上最长的跨海大桥。一辆汽车从香港口岸行驶到东人工岛的平均速度为 96 km/h，在海底隧道和主桥上的平均速度分别是 72 km/h 和 92 km/h。 根据这些数据，我们可以列出一批代数式： （1）汽车在主桥上行驶 t h 的路程是 92t（km）； （2）边长为 a 的正方形的面积是 ； （3）一件商品的标价是 p 元，按九折出售，售价是 0.9p（元）； （4）底面积为 、高为 h 的几何体的体积是 h。 观察：92t、、0.9p、h 有什么共同特点？ 92t = 92×t， = a×a，0.9p = 0.9×p，h = ×a×a×h。它们的共同特点是：都只含有乘法运算，都是「数或字母的积」。 （二）单项式的概念 定义：由数或字母的积组成的代数式叫做单项式。 这个定义有两层意思要特别注意： （1）「数或字母的积」包含三种情形：数与数的积（如 −6）、数与字母的积（如 92t、0.9p）、字母与字母的积（如 ab、h）； （2）单独的一个数或一个字母也是单项式。例如 −6、0、π、x、a 都是单项式。 判断一个代数式是不是单项式，可以用下面四条「尺子」量一量： 判 断 要 点 说 明 示 例 ① 只有乘积运算 式子里不能出现加减号， 一旦出现加减号就不是单项式 3x 是单项式； 3x+1 不是 ② 单独一数或一字母也是 这是定义里明确写出的补充规定， 不要漏掉 −7、0、m 都是单项式 ③ 可以除以数，不能除以字母 分母上是数字就没问题； 分母上出现字母就不是单项式（也不是整式） 是单项式； 不是 ④ 含有具体意义的字母系数要看清 π 是圆周率，是一个确定的数， 不是字母，应与字母区别对待 π 是单项式 （三）单项式的系数 定义：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。 找系数的口诀是「把字母部分全部划掉，剩下的就是系数」。动手时要连符号一起看——系数是带符号的数字因数。 单 项 式 划 掉 字 母 后 剩 下 系 数 92t 92 92 −5b −5 −5 a 1（1 省略不写） 1 −x −1（1 省略不写） −1 y π π π 系数易错的三个地方： （1）系数是 1 或 −1 时，1 通常省略不写，找系数时要把省掉的 1 补回来：a 的系数是 1，−x 的系数是 −1。 （2）π 是常数，不是字母，所以 π 的系数是 π，不是 1；同理 −2π 的系数是 −2π，不是 −2。 （3）写成分数线形式的单项式，如 ，实质是 ·x，它的系数是 ，不是 3——「分数线」在这里起的是除号作用。 （四）单项式的次数 定义：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数。次数是 n 的单项式，叫做 n 次单项式。 数次数时抓三句话： （1）只数字母的指数，数字的指数不数、系数也不数； （2）字母右上角不写数字时，指数是 1，不要把它漏掉； （3）把各个字母的指数加起来，和就是次数。 单 项 式 各 字 母 的 指 数 指 数 之 和 命 名 92t t 的指数是 1 1 一次单项式 0.8 p 的指数是 3 3 三次单项式 mn m 的指数 1，n 的指数 1 1+1 = 2 二次单项式 h a 的指数 2，h 的指数 1 2+1 = 3 三次单项式 −5 a 的指数 2，b 的指数 3 2+3 = 5 五次单项式 −7 没有字母 0 规定为 0 次 特别注意：对于一个非零的数，规定它的次数为 0。所以 −7 是 0 次单项式，它没有字母，次数不能算成 1。 三、多项式（第 2 课时） （一）多项式的概念与项 定义：几个单项式的和叫做多项式。 在多项式里，每个单项式叫做这个多项式的项；其中不含字母的项叫做常数项。 把一个多项式写成「和」的形式，是数清项数的关键。以 3−2x+1 为例，它其实等于 3+(−2x)+1，所以它由 3、−2x、1 三个单项式相加而成，一共 3 项，常数项是 1。 数项的口诀：把减号「吃」进去，看成加一个负数——项必须连同它前面的符号一起读。 多 项 式 写成「和」的样子 各 项 常 数 项 项 数 3−2x+1 3+(−2x)+1 3、−2x、1 1 3 −5x+7 +(−5x)+7 、−5x、7 7 3 −+4a− (−)+4a+(−) −、4a、− 没有常数项 3 2y−3y+1 2y+(−3y)+1 2y、−3y、1 1 3 （二）多项式的次数与「几次几项式」 定义：多项式里次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 一个多项式含有 a 项、次数是 b，就称它叫做 b 次 a 项式。例如 3−2x+1 的最高次项是 3（次数 2），共 3 项，所以它是二次三项式。 多 项 式 各 项 的 次 数 最 高 次 项 次 数 项 数 命 名 3−2x+1 2、1、0 3 2 3 二次三项式 −5x+7 3、1、0 3 3 三次三项式 2y−3y+1 3、1、0 2y 3 3 三次三项式 −+4a− 2、1、2 −（或 −） 2 3 二次三项式 4−4+6−8 6、5、3、0 4 6 4 六次四项式 提醒：多项式的次数与「项数」是两回事——次数只看最高那一项，项数要一项一项数清楚；含多个字母时，某一项的次数要把各字母的指数相加。 （三）多项式的升幂排列与降幂排列 为了整齐、便于比较，常常把一个多项式按照某一个字母的指数顺序重新排列： 降幂排列：按照该字母的指数从大到小排列； 升幂排列：按照该字母的指数从小到大排列。 排列的要领：每一项连同它前面的符号一起「整体搬家」，搬完家后各项的符号不能变。 原 多 项 式 要 求 排 列 结 果 8−2++5x 按 x 的降幂排列 −2+5x+8 5x−2+7− 按 x 的降幂排列 −2−+5x+7 4−3+ 按 a 的升幂排列 4−3+ +4−3 按 a 的升幂排列 4−3+ 注意：不含该字母的项（含常数项）指数看作 0。降幂排列时它排在最后，升幂排列时它排在最前。 四、整式 （一）整式的定义 定义：单项式与多项式统称整式。 也就是说，我们学过的代数式可以这样归类： 类 别 含 义 举 例 单项式 数或字母的积； 单独一个数或一个字母也是单项式 −6、x、92t、π 多项式 几个单项式的和 3−2x+1、−5x+7 整式 单项式与多项式统称整式 上面这些式子都是整式 （二）整式与分式的区别 判断一个代数式是不是整式，最省事的办法是看「分母上有没有字母」： 分母上只有数字 → 是整式。例如 、 都是整式（都是单项式）； 分母上出现字母 → 不是整式。例如 、 都不是整式。 一句话记牢：字母不允许跑到分母上去。 五、用整式表示数量关系 本节的整式概念不是纸上谈兵——实际问题里的很多数量关系，写出来就是单项式或多项式。看下面几例： 实 际 情 境 数 量 关 系 得 到 的 整 式 三角形的一边长为 a， 这条边上的高为 h 面积 = ×底×高 ah（单项式） 长方体包装盒的长、宽、高 分别为 x cm、y cm、z cm 体积 = 长×宽×高 xyz（单项式，三次） 有理数 n 的相反数 相反数 = (−1)×n −n（单项式，系数 −1） 国旗旗面的长与高之比为 3∶2， 长为 a cm 宽 = a，面积 = 长×宽 （单项式） 某班男生 a 人、女生 b 人， 后来转走 3 人 现有人数 = 原有人数 − 3 a+b−3（多项式，二次二项式） 写完之后顺便养一个好习惯：把得到的整式再读一遍——它是单项式还是多项式？系数是多少？次数是多少？这个「回读」动作，能提前发现很多笔误。 六、易错点辨析 易 错 情 形 正 确 做 法 常 见 错 解 判断单项式时把「单独一个数」漏算 单独的一个数或一个字母也是单项式， 如 −6、0、π、m 都是单项式 认为 −6 不是单项式 把分母含字母的式子当作单项式 分母上出现字母的代数式既不是单项式， 也不是整式，如 、 把 当成单项式 数系数时把 π 当成字母 π 是一个确定的数，属于「数字因数」， π 的系数是 π 说 π 的系数是 1 系数是 1 或 −1 时漏掉这个 1 a 的系数是 1，−x 的系数是 −1 说 a 没有系数 数次数时漏掉指数为 1 的字母 字母右上角不写数字时指数就是 1； −5b 的次数是 2+1 = 3 说 −5b 是二次单项式 把非零常数的次数算成 1 规定非零的数的次数为 0， −7 是 0 次单项式 说 −7 是一次单项式 数多项式的项时不带符号 把多项式写成「和」的形式再数： 3−2x+1 的项是 3、−2x、1 说 3−2x+1 的项是 3、2x、1 把多项式的次数当成项数 次数只看最高次项的次数； 3−2x+1 的次数是 2、项数是 3 说它是三次二项式 排列多项式时漏掉项的符号 每一项连符号整体搬家； 5x−2+7− 按 x 降幂排列得 −2−+5x+7 把 −2 写成 2 七、数学文化小站 （一）「代数」这个词是怎么来的 「代数」的英文是 algebra，它来自阿拉伯语 al-jabr，意思是「还原」「移项」。公元 9 世纪，阿拉伯数学家花拉子米（al-Khwārizmī，约 780—850）写了一部《还原与对消的科学》，系统讲述如何解方程，这本书后来被译成拉丁文传入欧洲，al-jabr 也就成了「代数」的代名词。 我国古代用「天元术」表示未知数，宋元数学家李冶、朱世杰都留下了用文字表示未知数的著作。1859 年，清代数学家李善兰与英国传教士伟烈亚力合作翻译《代数学》，第一次把 algebra 译成「代数」——取的是「用字母代替数」这个意思。 想一想：我们这节课学的单项式、多项式，正是「用字母代替数」之后对式子的进一步整理；而「项」这个字，本义是「脖子的后部」，后来引申为「条目、分类」，恰好也说明了「项」的作用——把多项式拆成一条一条来研究。 （二）中西对照：从「天元」到「整式」 时 期 代 表 人 物 主 要 贡 献 公元 9 世纪 花拉子米（阿拉伯） 《还原与对消的科学》， 「代数」一词由此而来 公元 12—13 世纪 李冶、朱世杰（中国） 天元术、四元术， 用文字表示未知数并列方程 1859 年 李善兰、伟烈亚力（中国·清） 合译《代数学》， 首次把 algebra 译作「代数」 16 世纪 韦达（法国） 开始用字母表示已知量， 使代数式成为通用的数学语言 八、知识网络与口诀 概 念 关 键 抓 手 注 意 点 单项式 数或字母的积； 单独一个数或一个字母也是 不含加减运算； 分母上不能有字母 单项式的系数 单项式中的数字因数 带符号；1 与 −1 要补回来；π 是数 单项式的次数 所有字母的指数之和 指数为 1 的字母不能漏； 非零数的次数是 0 多项式 几个单项式的和 项要带符号； 不含字母的项叫常数项 多项式的次数 次数最高的那项的次数 别与项数混为一谈 整式 单项式与多项式统称整式 字母不能在分母上 口诀一（分类）：只有乘法叫单项，几个相加叫多项，两者合称是整式。 口诀二（系数）：划掉字母剩数字，带上符号才作数；系数是一莫偷懒，π 是数字不是母。 口诀三（次数）：数次数，看指数，各个字母相加和；指数是一莫漏掉，常数零次要记住。 口诀四（多项式）：减号吃进变加号，逐项带号慢慢数；次数只看最高项，几次几项分开说。 口诀五（排列）：升幂降幂看指数，整体搬家带上号。 九、达标自测 1. 由数或字母的积组成的代数式叫做 ____________；几个单项式的和叫做 ____________，二者统称 ____________。 2. 单项式 − 的系数是 ____________，次数是 ____________。 3. 单项式 −b 的系数是 ____________，次数是 ____________。 4. 多项式 3−2x+5 的项分别是 ____________，常数项是 ____________，它是 ____________ 次 ____________ 项式。 5. 把多项式 5x−2+7− 按 x 的降幂排列为 ____________。 6. 下列代数式中，属于整式的有 ____________（填序号）：① −7；② 3x+1；③ ；④ ；⑤ π；⑥ 。 7. 若单项式 −3 的次数是 5，则 m = ____________。 8. 观察下列单项式：x，−2，4，−8，……，按此规律，第 n 个单项式是 ____________，第 7 个单项式是 ____________。 自测答案： 1. 单项式；多项式；整式。这正是本节三个核心概念的定义。 2. −；2。− = −·xy，系数是 −；x 与 y 的指数都是 1，次数是 1+1 = 2。 3. −1；3。−b = −1·b，系数是 −1（1 省略不写）；a 的指数 2、b 的指数 1，次数是 2+1 = 3。 4. 3、−2x、5；5；二；三。把式子写成 3+(−2x)+5 就能看清各项；最高次项 3 的次数是 2，共 3 项。 5. −2−+5x+7。各项中 x 的指数依次为 1、3、0、2，按从大到小排列即得。 6. ①②④⑤。③ 与 ⑥ 的分母上都含有字母，不是整式；④ 的分母是数字 2，是整式（多项式）。 7. 3。由题意得 m+2 = 5，所以 m = 3。 8. ；64。先看系数：绝对值依次是 1、2、4、8，即 ；符号正负交替，第 n 个的符号为 ，所以第 n 个单项式是 ；当 n = 7 时， = 64。 学科网（北京）股份有限公司 $