江苏2027届高三物理一轮复习讲义 机械振动和机械波

专题　机械振动和机械波 【命题规律】 1.命题角度： （1）机械振动；（2）机械波；（3）振动图像与波的图像的综合应用. 2.常考题型：选择题或计算题 【知识荟萃】 ★考向一、机械振动 1.两种模型 （1）弹簧振子模型（水平弹簧振子、竖直弹簧振子、斜面弹簧振子）； （2）单摆模型. 2.简谐运动具有对称性和周期性 （1）位移x、回复力F、加速度a、速度v都随时间按“正弦”或“余弦”规律变化，它们的周期均相同； （2）振动质点来回通过相同的两点间所用时间相等； （3）振动质点关于平衡位置对称的两点，x、F、a、v、动能Ek、势能Ep的大小均相等，其中F、a与x方向相反，v与x的方向可能相同也可能相反. 3．简谐运动的规律 规律 x＝Asin（ωt＋φ） 图像 反映同一质点在各个时刻的位移 受力特征 回复力F＝－kx，F（或a）的大小与x的大小成正比，方向相反 运动特征 靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小 能量特征 振幅越大，能量越大．在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒 周期性特征 质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为 对称性特征 关于平衡位置O对称的两点，加速度的大小、速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等 4.简谐运动的应用——单摆—— 单摆周期表达式：T＝2π. 5.注意 （1）弹簧振子的回复力不一定等于弹簧的弹力. （2）单摆的周期与摆球的质量和振幅无关. ★考向二、机械波 1.波的传播问题 （1）沿波的传播方向上各质点的起振方向与波源的起振方向相同. （2）介质中各质点在平衡位置附近振动，但并不随波迁移. （3）沿波的传播方向上波每个周期传播一个波长的距离. （4）在波的传播方向上，平衡位置间的距离为nλ（n＝1，2，3…）的质点，振动步调总相同；平衡位置间的距离为（2n＋1）（n＝0，1，2，3…）的质点，振动步调总相反. 2.波的传播方向与质点振动方向的互判方法 （1）“上下坡”法； （2）“同侧”法； （3）“微平移”法. 3.波长、波速和频率的关系 （1）v＝λf或v＝. （2）波速v： 由介质本身的性质决定.（3）频率f：由波源决定，等于波源的振动频率. 4.波的多解问题 （1）波的图像的周期性：相隔时间为周期整数倍的两个时刻的波形相同，从而使题目出现多解的可能. （2）波传播方向的双向性：在题目未给出波的传播方向时，要考虑到波可沿正向或负向传播. 5.波的叠加问题 （1）两个振动情况相同的波源形成的波，在空间某点振动加强的条件为Δx＝nλ（n＝0，1，2，…），振动减弱的条件为Δx＝（2n＋1）（n＝0，1，2，…）.两个振动情况相反的波源形成的波，在空间某点振动加强的条件为Δx＝（2n＋1）（n＝0，1，2，…），振动减弱的条件为Δx＝nλ（n＝0，1，2，…）. （2）振动加强点的位移随时间而改变，振幅为两波振幅的和A1＋A2. 形成条件 （1）波源；（2）传播介质，如空气、水等． 传播特点 （1）机械波传播的只是振动的形式和能量，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不随波迁移． （2）介质中各质点振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同． （3）一个周期内，质点完成一次全振动，通过的路程为4A，位移为零． （4）一个周期内，波向前传播一个波长． 波的图像 （1）坐标轴：横轴表示各质点的平衡位置，纵轴表示该时刻各质点的位移． （2）意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开平衡位置的位移． 波长、波速和 频率的关系 （1）v＝λf；（2）v＝. 波的叠加 （1）两个振动情况相同的波源形成的波，在空间某点振动加强的条件为Δx＝nλ（n＝0，1，2…），振动减弱的条件为Δx＝（2n＋1）（n＝0，1，2…）． （2）振动加强点的位移随时间而改变，振幅为两波振幅的和A1＋A2. 波的多解问题 由于波的周期性、波传播方向的双向性，波的传播易出现多解问题. 【经典例题】 【例题1】如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为，则P做简谐运动的表达式为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【详解】由图可知，影子P做简谐运动的振幅为，以向上为正方向，设P的振动方程为 由图可知，当时，P的位移为，所用时间为 代入振动方程解得 则P做简谐运动的表达式为 故B正确，ACD错误。 故选B。 【例题2】如左图所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，右图为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是（　　） A．在时，弹簧振子的加速度为正向最大 B．在与两个时刻，弹簧振子的速度相同 C．从到时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动 D．在时，弹簧振子有最小的位移 【答案】 C【解析】A．在时，弹簧振子的位移为正向最大，根据 可知，加速度为负向最大。故A错误；B．因为图像中，某点的切线斜率表示该时刻振子的速度，所以在与两个时刻，弹簧振子的速度大小相等，方向相反。故B错误；C．根据前面选项的分析，同理可知，从到时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动。故C正确；D．在时，弹簧振子有负方向的最大位移。故D错误。 故选C。 【例题3】如图所示，木块在水中沿竖直方向做简谐运动。运动过程木块受到的合力F和动能Ek随相对平衡位置的位移x、运动的速度v和相对平衡位置的位移x随时间t变化的关系图像可能正确的是（　　） A．B．C．D． 【答案】 C【解析】A．根据简谐运动的规律可得，浮力与重力平衡，则有 则运动过程木块受到的合力F应该过二四象限，A错误； B．随着增大，势能增大，由能量守恒可得，动能应减小，B错误； CD．因为木块在水中沿竖直方向做简谐运动，故运动的速度v和相对平衡位置的位移x随时间t变化的关系图像都应该是三角函数的波形，D错误，C正确。 故选C。 4、一列简谐横波沿x轴正向传播，t=0时刻波的图像如图所示，质点P的平衡位置在x=4m处。该波的周期T=4s。下列说法正确的是（　　） A. t=13s时质点P位于波峰 B. 在0～3s内波传播的距离为12m C. 在0～3s内质点P通过的路程为30cm D. 质点P的振动方程是y=10sin0.5πt（cm） 【答案】C 【详解】A．简谐波沿x轴正方向传播，t=0时刻P点向下振动 此时，P通过的路程为 可知P点在波谷，故A错误； C．，P点运动的时间为，因此运动的路程为 故C正确； BD．由公式可知 在0～3s内波传播的距离为 有公式地 开始P点向下振动，因此P的振动方程为y=10sin（0.5πt+π）（cm） 故BD错误。 故选C。 5、很多智能手机都有加速度传感器，用手托着手机，迅速向下运动，然后停止，手机记录加速度a随时间t变化的图像如图所示，则（　　） A. t1时刻手机速度最大 B. t2时刻手机在最低点 C. t3时刻手受的压力最大 D. t4时刻手受的压力最小 【答案】C 【详解】A．图像的面积表示速度变化，所以t2时刻手机速度最大。A错误； B．手机停止时，位置最低，所以t4时刻手机在最低点。B错误； C．根据牛顿第二定律，手机加速度向上并且加速度最大时，手给手机的作用力最大，即手受到的压力最大，由图可知，t3时刻手受的压力最大。C正确； D．根据牛顿第二定律，手机加速度向下并且加速度最大时，手给手机的作用力最小，即手受到的压力最小，由图可知，t1时刻手受的压力最小。D错误。 故选C。 6、某同学借鉴伽利略研究自由落体运动“冲淡重力”的方法，探究单摆周期与重力加速度的关系。让摆球在光滑斜面上运动，实验中应仅改变（　　） A. 斜面的倾角 B. 摆球的质量 C. 摆球的振幅 D. 摆线的长度 【答案】A 【详解】由题知借鉴“冲淡重力”使小球在斜面上摆动，即利用斜面减小加速度，重力沿斜面向下的分力支持单摆的摆动，则有 要研究单摆周期与g模的关系，要改变g模，则改变倾角θ，故斜面在该实验中有两个作用，一是“冲淡重力”，增大T，使T易于测量，二是可改变g模，实现自变量变化并合理外推。故选A。 7、一根同种材料粗细均匀的弹性绳，右端固定在墙上，抓着绳子左端S点上下振动，产生向右传播的绳波，某时刻的波形如图所示。下列说法中正确的是（　　） A. 此时刻质点P在做减速运动 B. 波源的起振方向向上 C. 波的传播速度逐渐减小 D. 波源振动的频率逐渐减小 【答案】D 【详解】A．根据上下坡法则，此时刻质点P在上坡阶段，则质点P向下振动，回到平衡位置，则做加速运动，所以A错误；B．根据上下坡法则，刚要振动质点处于上坡阶段，则波源的起振方向向下，所以B错误； C．波的传播速度由介质决定，同一介质波速不变，所以C错误；D．由图可知该波的波长逐渐增大，根据 波源振动的频率逐渐减小，所以D正确；故选D。 8、如图所示，实线和虚线分别是沿x轴正方向传播的一列简谐横波在t1=0和t2=0.06s时刻的波形图，则该波的（　　） A. 周期可能为0.04s B. 周期可能为0.24s C. 传播速度可能为35m/s D. 传播速度可能为65m/s 【答案】C 【详解】AB．由图可知，在0.06s内，简谐波向x轴正方向传播了，即经过了个周期，故有 ， 解得，该简谐波的周期为， 无论n取何值，周期都不可能为0.04s和0.24s，故AB错误； CD．由图可知，该简谐波的波长，则该简谐波的传播速度为， 无论n取何值，传播速度都不可能为65m/s，当时，传播速度为35m/s，故C正确，D错误。故选C。 9、如图所示，当波源和障碍物都静止不动时，波源发出的波在障碍物处不能发生明显衍射，下列措施可能使波发生较为明显衍射的是（　　） A. 增大障碍物的长度 B. 波源远离障碍物运动 C. 波源靠近障碍物运动 D. 增大波源的振动频率 【答案】B 【解析】 【详解】A．发生明显衍射的条件是障碍物的尺寸与波长差不多或比波长短，由于波源发出的波在障碍物处不能发生明显衍射，表明障碍物的尺寸比波长大得多，为了使波发生较为明显的衍射，需要增大波长或减小障碍物的长度，可知增大障碍物的长度不能使波发生较为明显的衍射，A错误； B．波源远离障碍物将产生多普勒效应，障碍物处接收到的频率减小，根据 可知，波源远离障碍物，等效于增大波长，根据上述，该措施能使波发生较为明显的衍射，B正确； C．波源靠近障碍物将产生多普勒效应，障碍物处接收到的频率增大，根据 可知，波源靠近障碍物，等效于减小波长，根据上述，该措施不能使波发生较为明显的衍射，C错误； D．根据 可知，增大波源的振动频率时，波长减小，根据上述，该措施不能使波发生较为明显的衍射，D错误。 故选B。 10、一列向右传播横波在t=0时的波形如图所示，A、B两质点间距为8m，B、C两质点平衡位置的间距为3m，当t=1s时，质点C恰好通过平衡位置，该波的波速可能为（　　） A. 9m/s B. 10m/s C. 11m/s D. 12m/s 【答案】A 【详解】由图可知，波长 波向右传播，质点C恰好通过平衡位置时，波传播的距离可能是或，则波速 或 当时或 当时或 故A可能，BCD不可能。 故选A。 11、如图所示，甲、乙两列简谐横波传播速率相同，分别沿x轴负方向和正方向传播，t=0时刻两列波刚好分别传播到A点和B点，已知甲波的频率为5Hz，求： （1）波传播的速率v；（2）经过多长时间，x=0处的质点位移第一次为+6cm。 【答案】 （1）；（2） 【解析】（1）由图可得，甲波的波长 甲波的频率 两波波速相等，根据 （2）甲波振幅 乙波振幅 可得质点位移为+6cm的时刻两波在该点处刚好都到达波峰，根据波形图可得，甲波和乙波的波峰向前传播4m时，恰好同时到达 处，时间为 12、如图所示为干涉型消声器的结构图，声波达到管道A点时，分成两列声波，分别沿半圆管道和直管道传播，在点相遇，因干涉而相消。声波的波长为，则两点距离可能为（　　） A. B. C. D. 【答案】D【详解】两列波在B点相遇时因干涉而相消，则这两列声波由A点传播到B点的路程差满足（其中n=0，1，2，……） 即（其中n=0，1，2，……） 当时， 故选D。 13、图为水面上两列频率相同的波在某时刻的叠加情况，以波源为圆心的两组同心圆弧分别表示同一时刻两列波的波峰（实线）和波谷（虚线），两波源振幅均为，下列说法正确的是（　　） A．再过半个周期，质点B振动加强 B．再过半个周期，质点D运动到A处 C．B、C水平方向连线的中点是减弱点 D．质点A在该时刻的位移大小为，再过四分之一个周期，A的位移为0，且A的振动方向垂直水面向下 【答案】D【详解】A．干涉图样是稳定存在的，此刻质点B、C是振动减弱的点，之后也始终处于振动减弱的状态。故A错误； B．由题图可知，再过半个周期，质点D在正向最大位移处，不会随波迁移。故B错误； C．由干涉图样知，A、D竖直连线是加强区，B、C连线中点应该在加强区。故C错误； D．质点A处是波峰与波峰相遇，此时位移为，再过四分之一个周期，A从波峰向下振动到平衡位置，位移为0。故正确。故选D。 【精选习题】 1．如图甲所示，粗细均匀的筷子一头缠上铁丝竖直漂浮在水中，水面足够大。把筷子向下缓慢按压一小段距离后释放，以竖直向上为正方向，筷子振动图像如图乙所示。则（　　） A. 筷子在t1时刻浮力小于重力 B. 筷子在t2时刻动量最小 C. 筷子在t2到t3过程合外力的冲量方向竖直向下 D. 筷子在振动过程中机械能守恒 【答案】A 【详解】A．因为振动图像的斜率表示速度，故在t1时刻速度为零，处于最大位移处，即加速度向下，所以重力大于浮力，故A正确；B．由图知筷子在t2时刻速度最大，则动量最大，故B错误；C．因为t2到t3过程，物体向下减速，故合外力向上，故合外力的冲量方向竖直向上，故C错误；D．因为筷子在振动过程中，浮力对物体做功，则机械能不守恒，故D错误。 故选A。 2．一简谐波沿x轴传播，图（a）为时刻的波形图，P是平衡位置在处的质点，Q是平衡位置在处的质点，M是平衡位置在处的质点，图（b）为质点Q的振动图像，下列说法正确的说法是（　　） A．该简谐横波沿着x轴负方向运动 B．在时，质点P的位移为5cm C．在到，质点P通过的路程为 D．质点M简谐运动的表达式为 【答案】C A．图（b）为质点Q的振动图像，则知在时，质点Q正从平衡位置向波峰运动，所以时，质点Q向y轴正方向运动，由同侧法可知该波沿x轴正方向传播，故A错误； BC．由图乙可得 波速 设P质点简谐振动的表达式为 波形向右平移1m时，质点到达平衡位置，所用时间最短为 可知 解得 则质点简谐振动的表达式为 代入解得 质点从到第一次到达平衡位置的时间为0.025s，此过程路程为 再经过1s即的路程为 由对称性可知再经过0.025s的路程为 在到，质点P通过的路程为 故C正确，B错误； D．由波的周期性可知时刻质点M向下振动，质点M简谐运动的表达式为 代入数据得 解得 则质点M简谐运动的表达式为 故D错误。 故选C。 3．B超成像的基本原理是探头向人体发射一组超声波，遇到人体组织会产生不同程度的反射，探头接收到的超声波信号形成B超图像。如图为血管探头沿x轴正方向发送的简谐超声波图像，t=0时刻波恰好传到质点M。已知此超声波的频率为1×107 Hz，下列说法正确的是（　　） A．0～1.25×10-7 s内质点M运动的路程为2.4mm B．超声波在血管中的传播速度为1.4×105 m/s C．质点M开始振动的方向沿y轴正方向 D．t=1.5×10-7s时质点N恰好处于波谷 【答案】 D 【解析】 A．波的周期为 易知1.25×10-7 s=1.25T，则质点M运动的路程为 故A错误； B．根据图像可得该波的波长为 由波速与波长的关系式可得 故B错误； C．由波形图及波的传播方向为x轴正方向，可知质点M开始振动的方向沿y轴负方向。故C错误； D．由图可知，波传播过程中，离N点的最近的波谷与N点的距离为 波谷传播到N点的时间为 故D正确。 故选D。 4．一列简谐横波沿x轴传播，t＝0.1s时的波形图如图甲所示，P、Q为介质中平衡位置分别在xP＝2.5cm、xQ＝5.0cm处的质点，如图乙所示为质点Q的振动图像，则（　　） A．t＝0.25s时，Q的加速度沿＋y方向 B．波沿＋x方向传播 C．从t＝0.1s到t＝0.3s，质点Q沿－x方向移动10cm D．t＝0.28s时，P的速度沿＋y方向 【答案】 D 【解析】 A．根据Q点的振动图像可知，t＝0.25s时，Q在最高点，则其加速度沿-y方向，选项A错误； B．根据Q点的振动图像可知，t=0.1s时刻质点Q沿-y方向振动，结合波形图可知，波沿-x方向传播，选项B错误； C．机械波传播的过程中，质点只在自己平衡位置附近振动，而不随波迁移，选项C错误； D．t＝0.28s时，即从t=0.1s时刻经过，P的速度沿＋y方向，选项D正确。 故选D。 5．甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中传播，甲波沿轴正方向传播，乙波沿轴负方向传播，时刻两列波的波形如图所示。已知波速，下列说法正确的是（　　） A．波的频率 B．两列波波源的起振方向相同 C．在时刻，处质点第一次到达处 D．两列波相遇时，处质点第一次到达处 【答案】 C 【解析】 A．由图可知，波长为4m，由 解得 故A错误；B．波最前端起振方向和波源起振方向相同，由图可知，甲波最前端起振方向沿y轴正方向，乙波最前端起振方向沿y轴负方向，所以波源起振方向相反。故B错误； C．根据 可知在时刻，甲波传到处为波峰，位移为4cm，乙波传到处为波峰，位移为3cm，质点第一次到达波峰，即处。故C正确； D．由图可知，两列波相遇时，甲波的波峰传到处，质点第一次到达处。故D错误。 故选C。 6．如图所示为沿x轴负方向传播的一列简谐横波在t = 0时刻的波形图，其波速为10m/s。振源在x = 5m处。下列说法正确的是（     ） A．振源的振动频率为4Hz B．若观察者从x = 2m处沿x轴向负方向运动，则接收到波的频率可能为0.5Hz C．从t = 0时刻开始，经0.5s时间x = 3m处质点向x轴负方向迁移0.5m D．从t = 0时刻开始，质点b比质点a先回到平衡位置 【答案】 B 【解析】 A．由波速、波长、周期和频率的关系有 ， 得T = 0.4s，f = 2.5Hz A错误； B．波源不动，观察者沿x轴负方向运动，与波的传播方向相同，所以他接收到波的频率可能小于波的频率，B正确； C．质点在平衡位置往复运动，不随波移动，C错误； D．t = 0时刻，质点a回到平衡位置，由波的平移法可知需要将2m处的振动形式传递过来，距离为，同理b回到平衡位置传递的距离为，因，因此a先回到平衡位置，D错误。 故选B。 7．如图所示，劲度系数为k的轻弹簧下端悬挂一质量为M的圆盘，圆盘处于静止状态。现将质量为m的粘性小球自h高处由静止释放，与盘发生完全非弹性碰撞，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．圆盘将以碰后瞬时位置作为平衡位置做简谐运动 B．圆盘做简谐运动的振幅可能为 C．振动过程中圆盘的最大速度为 D．从碰后瞬时位置向下运动过程中，小球、圆盘与弹簧组成的系统势能先减小后增大 【答案】 D 【解析】 A．因为简谐运动的平衡位置是物体能够自由静止的位置，即应该是小球粘在盘子上一起静止的位置，所以应该比开始位置偏下，故A错误； B．因为振幅为从平衡位置到最大位移处的距离，根据对称性，则小球和盘再次回到都刚开始碰撞的位置时速度不为零，故开始的位置不是最大位移处，因为开始时 小球粘在盘子上一起静止的位置满足 所以刚开始碰撞的位置到平衡位置的距离为 故振幅应该大于，故B错误。 C．小球自h高处由静止释放，与盘发生完全非弹性碰撞，则 又因为 所以两者碰后速度为 而两者碰撞瞬间满足 即碰后两者向下做加速度减小的加速运动，当a=0时速度最大，之后做减速运动到最低点，故振动过程中圆盘的最大速度应该大于，故C错误； D．从碰后瞬时位置向下运动过程中，小球的动能先增大后减小，故由能量守恒定律可得，小球、圆盘与弹簧组成的系统势能先减小后增大，故D正确。 故选D。 8．一列简谐横波在均匀介质中沿x轴正方向传播，已知处质点的振动方程为，则时刻的波形图正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 9、一列简谐横波在t=1.0s时的波形图如图甲所示，P是介质中的质点，图乙是质点P的振动图像，已知该波在介质中的传播速度为10m/s，则（　　） A. 该波沿x轴负方向传播 B. 再经过0.6s，质点P运动的路程为6m C. t=1.0s时质点P离开平衡位置的位移 D. 质点P的平衡位置坐标为x=5m 【答案】D 【解析】 【详解】A．由乙图可知t=1.0s时 P点振动方向向上，根据上下坡法，波沿x轴正方向传播，A错误； B．经过1个周期1.2s，质点经过的路程 经过0.5个周期0.6s，经过的路程 以上规律质点在任何位置开始都适用，故再经过0.6s，质点P运动的路程为0.2m，B错误； C．由图乙可得简谐运动的表达式 当t=1.0s时，解得质点P离开平衡位置的位移为故C错误； D．由图乙可知，当时，P点振动到平衡位置，该波沿x轴正方向传播，此时的波形图如下图虚线 所以 解得 又由 所以 故D正确。故选D。 10．两列简谐横波分别沿x轴正方向和负方向传播，两波源分别位于x轴－0.2m和1.2m处，两波的波速均为0.4m/s，波源的振幅均为2cm。如图为t=0时刻两列波的图像，此刻平衡位置在x轴0.2m和0.8m的P、Q两质点开始振动。质点M、N的平衡位置分别处于x轴0.5m和0.6m处。求： （1）M点开始振动的时刻； （2）0~3.0s内质点N运动的路程。 【答案】 （1）；（2）4cm 【解析】 （1）由图像得，两列波同时到达M点（2）由图像得，λ=0.4m 右波传到N点的时间 左波传到N点的时间 1.0s后，N点始终处于振动减弱状态，静止不动，N点实际振动时间为0.5s，即半周期，N点的路程 s=2A=4cm 11．如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，t=0时刻摆球从A点开始释放，摆球将在竖直平面的A，C之间做简谐运动，其中B为运动中的最低位置，用力传感器测得细线对摆球拉力F的大小随时间t变化的曲线如图乙所示，Fm、Fn、t0均已知，重力加速度为g，求： （1）单摆的摆长L； （2）摆球的质量m。 【答案】 （1）；（2） 【解析】 （1）由图可知，单摆做简谐运动的周期为，根据单摆的周期公式，有 解得： （2）设单摆的摆角为时，摆球摆动到最高点，细线中拉力最小；摆到最低点时速度为v，有 摆球从最高点到最低点，根据动能定理有： 联立解得： 12．如图为沿x轴传播的一列简谐横波在某时刻的图像，该时刻P、Q两质点的位移相同，都为5cm，且P、Q两质点的平衡位置相距4m，此后质点P回到平衡位置的最短时间为0.1s，质点Q回到平衡位置的最短时间为0.5s。求： （1）质点的振动周期T； （2）该简谐波的波长λ； （3）该简谐波的传播速度的大小v和方向。 【答案】 （1）1.2s；（2）12m；（3）10m/s，向右传播 【解析】 （1）由题意可知P质点比Q质点先回到平衡位置，可得P质点向下振动，Q质点向上振动，它们周期相同，则 （2）（3）由（1）分析该时刻P点向下振动，由同侧法可知，波向右传播，当P点到达平衡位置后再经过0.4s，Q到达平衡位置，可得波速 由公式 13．一列沿x轴传播的简谐横波，在t=0时刻的波形如图实线所示，在t1=0.4s时刻的波形如图虚线所示，求： （1）若波向x轴负方向传播，且t1<T，写出x=1.5m处的质点的振动方程； （2）若波向x轴负方向传播，且T<t1<2T，求x=2m处的P质点第一次出现波谷的时刻； （3）若波向x轴正方向传播，求该波的波速。 【答案】 （1）cm；（2）；（3） 【解析】 （1）由图像可知，波长为，若波向x轴负方向传播，设波速为，则有 ， 解得 则周期为 x=1.5m处的质点的振动方程为 由图可知 联立解得cm （2）若波向x轴负方向传播，且T<t1<2T，设波速为 ，则有 ， 解得 x=2m处的P质点第一次出现波谷的时刻为 （3）若波向x轴正方向传播，则有 ， 解得 14、两列简谐横波P、Q在同一介质中分别沿x轴正方向和负方向传播，P、Q两列波在t=0时刻的波形分别如图甲中实线、虚线所示，x=1.5L处质点的振动图像如图乙所示。简谐波P的周期为TP，图中A1、A2已知，T0未知。求： （1）两列波在介质中的传播速度v及简谐波Q的周期TQ； （2）求T0及x=1.5L处质点从t=0时刻到T0时间内通过的路程s。 【答案】（1），；（2） 【解析】 【详解】（1）由图可知简谐波P、Q的波长， 根据，解得 波在同种介质中传播速度相等，则 解得 （2）时刻起到处质点再次出现波谷与波谷叠加经历的时间为，则 当，时，对应时间，则 由图乙可知，路程 第 1 页 共 17 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题　机械振动和机械波 【命题规律】 1.命题角度： （1）机械振动；（2）机械波；（3）振动图像与波的图像的综合应用. 2.常考题型：选择题或计算题 【知识荟萃】 ★考向一、机械振动 1.两种模型 （1）弹簧振子模型（水平弹簧振子、竖直弹簧振子、斜面弹簧振子）； （2）单摆模型. 2.简谐运动具有对称性和周期性 （1）位移x、回复力F、加速度a、速度v都随时间按“正弦”或“余弦”规律变化，它们的周期均相同； （2）振动质点来回通过相同的两点间所用时间相等； （3）振动质点关于平衡位置对称的两点，x、F、a、v、动能Ek、势能Ep的大小均相等，其中F、a与x方向相反，v与x的方向可能相同也可能相反. 3．简谐运动的规律 规律 x＝Asin（ωt＋φ） 图像 反映同一质点在各个时刻的位移 受力特征 回复力F＝－kx，F（或a）的大小与x的大小成正比，方向相反 运动特征 靠近平衡位置时，a、F、x都减小，v增大；远离平衡位置时，a、F、x都增大，v减小 能量特征 振幅越大，能量越大．在运动过程中，动能和势能相互转化，系统的机械能守恒 周期性特征 质点的位移、回复力、加速度和速度均随时间做周期性变化，变化周期就是简谐运动的周期T；动能和势能也随时间做周期性变化，其变化周期为 对称性特征 关于平衡位置O对称的两点，加速度的大小、速度的大小、动能、势能相等，相对平衡位置的位移大小相等 4.简谐运动的应用——单摆—— 单摆周期表达式：T＝2π. 5.注意 （1）弹簧振子的回复力不一定等于弹簧的弹力. （2）单摆的周期与摆球的质量和振幅无关. ★考向二、机械波 1.波的传播问题 （1）沿波的传播方向上各质点的起振方向与波源的起振方向相同. （2）介质中各质点在平衡位置附近振动，但并不随波迁移. （3）沿波的传播方向上波每个周期传播一个波长的距离. （4）在波的传播方向上，平衡位置间的距离为nλ（n＝1，2，3…）的质点，振动步调总相同；平衡位置间的距离为（2n＋1）（n＝0，1，2，3…）的质点，振动步调总相反. 2.波的传播方向与质点振动方向的互判方法 （1）“上下坡”法； （2）“同侧”法； （3）“微平移”法. 3.波长、波速和频率的关系 （1）v＝λf或v＝. （2）波速v： 由介质本身的性质决定.（3）频率f：由波源决定，等于波源的振动频率. 4.波的多解问题 （1）波的图像的周期性：相隔时间为周期整数倍的两个时刻的波形相同，从而使题目出现多解的可能. （2）波传播方向的双向性：在题目未给出波的传播方向时，要考虑到波可沿正向或负向传播. 5.波的叠加问题 （1）两个振动情况相同的波源形成的波，在空间某点振动加强的条件为Δx＝nλ（n＝0，1，2，…），振动减弱的条件为Δx＝（2n＋1）（n＝0，1，2，…）.两个振动情况相反的波源形成的波，在空间某点振动加强的条件为Δx＝（2n＋1）（n＝0，1，2，…），振动减弱的条件为Δx＝nλ（n＝0，1，2，…）. （2）振动加强点的位移随时间而改变，振幅为两波振幅的和A1＋A2. 形成条件 （1）波源；（2）传播介质，如空气、水等． 传播特点 （1）机械波传播的只是振动的形式和能量，质点只在各自的平衡位置附近做简谐运动，并不随波迁移． （2）介质中各质点振动周期和频率都与波源的振动周期和频率相同． （3）一个周期内，质点完成一次全振动，通过的路程为4A，位移为零． （4）一个周期内，波向前传播一个波长． 波的图像 （1）坐标轴：横轴表示各质点的平衡位置，纵轴表示该时刻各质点的位移． （2）意义：表示在波的传播方向上，某时刻各质点离开平衡位置的位移． 波长、波速和 频率的关系 （1）v＝λf；（2）v＝. 波的叠加 （1）两个振动情况相同的波源形成的波，在空间某点振动加强的条件为Δx＝nλ（n＝0，1，2…），振动减弱的条件为Δx＝（2n＋1）（n＝0，1，2…）． （2）振动加强点的位移随时间而改变，振幅为两波振幅的和A1＋A2. 波的多解问题 由于波的周期性、波传播方向的双向性，波的传播易出现多解问题. 【经典例题】 【例题1】如图所示，半径为R的圆盘边缘有一钉子B，在水平光线下，圆盘的转轴A和钉子B在右侧墙壁上形成影子O和P，以O为原点在竖直方向上建立x坐标系。时从图示位置沿逆时针方向匀速转动圆盘，角速度为，则P做简谐运动的表达式为（　　） A. B. C. D. 【例题2】如左图所示为以O点为平衡位置，在A、B两点间做简谐运动的弹簧振子，右图为这个弹簧振子的振动图像，由图可知下列说法中正确的是（　　） A．在时，弹簧振子的加速度为正向最大 B．在与两个时刻，弹簧振子的速度相同 C．从到时间内，弹簧振子做加速度增大的减速运动 D．在时，弹簧振子有最小的位移 【例题3】如图所示，木块在水中沿竖直方向做简谐运动。运动过程木块受到的合力F和动能Ek随相对平衡位置的位移x、运动的速度v和相对平衡位置的位移x随时间t变化的关系图像可能正确的是（　　） A．B．C．D． 4、一列简谐横波沿x轴正向传播，t=0时刻波的图像如图所示，质点P的平衡位置在x=4m处。该波的周期T=4s。下列说法正确的是（　　） A. t=13s时质点P位于波峰 B. 在0～3s内波传播的距离为12m C. 在0～3s内质点P通过的路程为30cm D. 质点P的振动方程是y=10sin0.5πt（cm） 5、很多智能手机都有加速度传感器，用手托着手机，迅速向下运动，然后停止，手机记录加速度a随时间t变化的图像如图所示，则（　　） A. t1时刻手机速度最大 B. t2时刻手机在最低点 C. t3时刻手受的压力最大 D. t4时刻手受的压力最小 6、某同学借鉴伽利略研究自由落体运动“冲淡重力”的方法，探究单摆周期与重力加速度的关系。让摆球在光滑斜面上运动，实验中应仅改变（　　） A. 斜面的倾角 B. 摆球的质量 C. 摆球的振幅 D. 摆线的长度 7、一根同种材料粗细均匀的弹性绳，右端固定在墙上，抓着绳子左端S点上下振动，产生向右传播的绳波，某时刻的波形如图所示。下列说法中正确的是（　　） A. 此时刻质点P在做减速运动 B. 波源的起振方向向上 C. 波的传播速度逐渐减小 D. 波源振动的频率逐渐减小 8、如图所示，实线和虚线分别是沿x轴正方向传播的一列简谐横波在t1=0和t2=0.06s时刻的波形图，则该波的（　　） A. 周期可能为0.04s B. 周期可能为0.24s C. 传播速度可能为35m/s D. 传播速度可能为65m/s 9、如图所示，当波源和障碍物都静止不动时，波源发出的波在障碍物处不能发生明显衍射，下列措施可能使波发生较为明显衍射的是（　　） A. 增大障碍物的长度 B. 波源远离障碍物运动 C. 波源靠近障碍物运动 D. 增大波源的振动频率 10、一列向右传播横波在t=0时的波形如图所示，A、B两质点间距为8m，B、C两质点平衡位置的间距为3m，当t=1s时，质点C恰好通过平衡位置，该波的波速可能为（　　） A. 9m/s B. 10m/s C. 11m/s D. 12m/s 11、如图所示，甲、乙两列简谐横波传播速率相同，分别沿x轴负方向和正方向传播，t=0时刻两列波刚好分别传播到A点和B点，已知甲波的频率为5Hz，求： （1）波传播的速率v；（2）经过多长时间，x=0处的质点位移第一次为+6cm。 12、如图所示为干涉型消声器的结构图，声波达到管道A点时，分成两列声波，分别沿半圆管道和直管道传播，在点相遇，因干涉而相消。声波的波长为，则两点距离可能为（　　） A. B. C. D. 13、图为水面上两列频率相同的波在某时刻的叠加情况，以波源为圆心的两组同心圆弧分别表示同一时刻两列波的波峰（实线）和波谷（虚线），两波源振幅均为，下列说法正确的是（　　） A．再过半个周期，质点B振动加强 B．再过半个周期，质点D运动到A处 C．B、C水平方向连线的中点是减弱点 D．质点A在该时刻的位移大小为，再过四分之一个周期，A的位移为0，且A的振动方向垂直水面向下 【精选习题】 1．如图甲所示，粗细均匀的筷子一头缠上铁丝竖直漂浮在水中，水面足够大。把筷子向下缓慢按压一小段距离后释放，以竖直向上为正方向，筷子振动图像如图乙所示。则（　　） A. 筷子在t1时刻浮力小于重力 B. 筷子在t2时刻动量最小 C. 筷子在t2到t3过程合外力的冲量方向竖直向下 D. 筷子在振动过程中机械能守恒 2．一简谐波沿x轴传播，图（a）为时刻的波形图，P是平衡位置在处的质点，Q是平衡位置在处的质点，M是平衡位置在处的质点，图（b）为质点Q的振动图像，下列说法正确的说法是（　　） A．该简谐横波沿着x轴负方向运动 B．在时，质点P的位移为5cm C．在到，质点P通过的路程为 D．质点M简谐运动的表达式为 3．B超成像的基本原理是探头向人体发射一组超声波，遇到人体组织会产生不同程度的反射，探头接收到的超声波信号形成B超图像。如图为血管探头沿x轴正方向发送的简谐超声波图像，t=0时刻波恰好传到质点M。已知此超声波的频率为1×107 Hz，下列说法正确的是（　　） A．0～1.25×10-7 s内质点M运动的路程为2.4mm B．超声波在血管中的传播速度为1.4×105 m/s C．质点M开始振动的方向沿y轴正方向 D．t=1.5×10-7s时质点N恰好处于波谷 4．一列简谐横波沿x轴传播，t＝0.1s时的波形图如图甲所示，P、Q为介质中平衡位置分别在xP＝2.5cm、xQ＝5.0cm处的质点，如图乙所示为质点Q的振动图像，则（　　） A．t＝0.25s时，Q的加速度沿＋y方向 B．波沿＋x方向传播 C．从t＝0.1s到t＝0.3s，质点Q沿－x方向移动10cm D．t＝0.28s时，P的速度沿＋y方向 5．甲、乙两列简谐横波在同一均匀介质中传播，甲波沿轴正方向传播，乙波沿轴负方向传播，时刻两列波的波形如图所示。已知波速，下列说法正确的是（　　） A．波的频率 B．两列波波源的起振方向相同 C．在时刻，处质点第一次到达处 D．两列波相遇时，处质点第一次到达处 6．如图所示为沿x轴负方向传播的一列简谐横波在t = 0时刻的波形图，其波速为10m/s。振源在x = 5m处。下列说法正确的是（     ） A．振源的振动频率为4Hz B．若观察者从x = 2m处沿x轴向负方向运动，则接收到波的频率可能为0.5Hz C．从t = 0时刻开始，经0.5s时间x = 3m处质点向x轴负方向迁移0.5m D．从t = 0时刻开始，质点b比质点a先回到平衡位置 7．如图所示，劲度系数为k的轻弹簧下端悬挂一质量为M的圆盘，圆盘处于静止状态。现将质量为m的粘性小球自h高处由静止释放，与盘发生完全非弹性碰撞，不计空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．圆盘将以碰后瞬时位置作为平衡位置做简谐运动 B．圆盘做简谐运动的振幅可能为 C．振动过程中圆盘的最大速度为 D．从碰后瞬时位置向下运动过程中，小球、圆盘与弹簧组成的系统势能先减小后增大 8．一列简谐横波在均匀介质中沿x轴正方向传播，已知处质点的振动方程为，则时刻的波形图正确的是（　　） A. B. C. D. 9、一列简谐横波在t=1.0s时的波形图如图甲所示，P是介质中的质点，图乙是质点P的振动图像，已知该波在介质中的传播速度为10m/s，则（　　） A. 该波沿x轴负方向传播 B. 再经过0.6s，质点P运动的路程为6m C. t=1.0s时质点P离开平衡位置的位移 D. 质点P的平衡位置坐标为x=5m 10．两列简谐横波分别沿x轴正方向和负方向传播，两波源分别位于x轴－0.2m和1.2m处，两波的波速均为0.4m/s，波源的振幅均为2cm。如图为t=0时刻两列波的图像，此刻平衡位置在x轴0.2m和0.8m的P、Q两质点开始振动。质点M、N的平衡位置分别处于x轴0.5m和0.6m处。求： （1）M点开始振动的时刻； （2）0~3.0s内质点N运动的路程。 11．如图甲所示，O点为单摆的固定悬点，t=0时刻摆球从A点开始释放，摆球将在竖直平面的A，C之间做简谐运动，其中B为运动中的最低位置，用力传感器测得细线对摆球拉力F的大小随时间t变化的曲线如图乙所示，Fm、Fn、t0均已知，重力加速度为g，求： （1）单摆的摆长L； （2）摆球的质量m。 12．如图为沿x轴传播的一列简谐横波在某时刻的图像，该时刻P、Q两质点的位移相同，都为5cm，且P、Q两质点的平衡位置相距4m，此后质点P回到平衡位置的最短时间为0.1s，质点Q回到平衡位置的最短时间为0.5s。求： （1）质点的振动周期T； （2）该简谐波的波长λ； （3）该简谐波的传播速度的大小v和方向。 13．一列沿x轴传播的简谐横波，在t=0时刻的波形如图实线所示，在t1=0.4s时刻的波形如图虚线所示，求： （1）若波向x轴负方向传播，且t1<T，写出x=1.5m处的质点的振动方程； （2）若波向x轴负方向传播，且T<t1<2T，求x=2m处的P质点第一次出现波谷的时刻； （3）若波向x轴正方向传播，求该波的波速。 14、两列简谐横波P、Q在同一介质中分别沿x轴正方向和负方向传播，P、Q两列波在t=0时刻的波形分别如图甲中实线、虚线所示，x=1.5L处质点的振动图像如图乙所示。简谐波P的周期为TP，图中A1、A2已知，T0未知。求： （1）两列波在介质中的传播速度v及简谐波Q的周期TQ； （2）求T0及x=1.5L处质点从t=0时刻到T0时间内通过的路程s。 第 1 页 共 9 页 学科网（北京）股份有限公司 $