3.3 数量之间的关系 课时作业 2026-2027学年冀教版数学 七年级上册

冀教版七年级数学上册　3.3 数量之间的关系　课时作业 3.3　数量之间的关系　课时作业 冀教版　七年级数学（上册）　第三章　代数式 班级：____________　姓名：____________　得分：__________ 【学习目标】 1．能分析实际问题中的数量关系，并用代数式把它们表示出来。 2．掌握行程、工程、销售、几何等常见问题中的基本数量关系。 3．会用字母表示公式，并能进行简单的公式变形。 4．进一步体会数学与现实生活的密切联系，发展应用意识。 一、知识点梳理 知识点 1　行程问题中的数量关系 基本关系：路程＝速度×时间，即 s＝vt；由此可得 v＝，t＝。 （1）相遇问题：甲、乙两人从两地相向而行，相遇时，甲走的路程＋乙走的路程＝两地间的距离。 （2）追及问题：同向而行，追上时，快者走的路程－慢者走的路程＝原来两者的距离。 （3）顺逆水问题：顺水速度＝船速＋水速，逆水速度＝船速－水速。 （甲、乙两人从 A、B 两地相向而行） 知识点 2　工程问题中的数量关系 基本关系：工作量＝工作效率×工作时间。 通常把总工作量看作 1，若某人独做需 a 天完成，则他的工作效率为 。 两人合作 t 天的工作量为 (＋)t。 知识点 3　销售与百分数问题中的数量关系 （1）利润＝售价－进价；利润率＝利润÷进价×100%； （2）售价＝标价×折扣（打 x 折即按标价的 出售）； （3）增长（降低）后的量＝原量×(1＋增长率)（或 1－降低率）。 知识点 4　几何图形中的数量关系 （1）长方形：C＝2(a＋b)，S＝ab；正方形：C＝4a，S＝a2； （2）三角形：S＝ah；梯形：S＝(a＋b)h；圆：C＝2πr，S＝πr2； （3）组合图形的面积常用“大减小”或“分割求和”的方法表示。 如图，长为 a、宽为 b 的长方形菜地四周有一条宽为 1 的小路，则菜地（白色部分）的面积为 (a－2)(b－2)。 （长方形菜地四周的小路宽为 1） 温馨提示：列几何问题中的代数式，要先在图上标出已知量，再按“整体－部分”或“分块相加”的思路写式子。 二、典例精析 【例1】甲、乙两人分别从相距 s km 的 A、B 两地同时出发相向而行，甲的速度为 a km/h，乙的速度为 b km/h。（1）用代数式表示 2 h 后两人共走的路程；（2）用代数式表示 2 h 后两人之间的距离（假设还未相遇）；（3）用代数式表示两人从出发到相遇所用的时间。 （例 1 图） 【解析】（1）甲走 2a km，乙走 2b km，共走 (2a＋2b) km。 （2）两人之间的距离为 [s－(2a＋2b)] km，即 (s－2a－2b) km。 （3）相遇时两人共走完全程 s km，两人的速度和为 (a＋b) km/h， 所以相遇所用时间为 h。 【方法归纳】相遇问题抓“路程和＝总路程”，追及问题抓“路程差＝原距离”。 【例2】某商品的进价为 a 元，商店按进价提高 40% 标价，为了促销，又按标价打七折出售。（1）用代数式表示标价；（2）用代数式表示实际售价；（3）用代数式表示每件商品的利润；（4）当 a＝200 时，求每件商品的利润。 【解析】（1）标价＝a(1＋40%)＝1.4a（元）。 （2）售价＝标价×0.7＝1.4a×0.7＝0.98a（元）。 （3）利润＝售价－进价＝0.98a－a＝－0.02a（元），即每件亏损 0.02a 元。 （4）当 a＝200 时，利润＝－0.02×200＝－4（元），即每件亏损 4 元。 【方法归纳】先涨价再打折，要一步一步算，不能把 40% 与七折简单相加减。 三、课时作业 （一）选择题（每小题 3 分，共 30 分） 1．一辆汽车的速度是 v km/h，行驶 t h 所走的路程是（　　）km。 A．v＋t　　B．vt　　C．　　D． 2．甲、乙两地相距 s km，某人以 v km/h 的速度从甲地到乙地，所用的时间是（　　）h。 A．sv　　B．　　C．　　D．s－v 3．一项工作，甲单独做需要 a 天完成，则甲的工作效率是（　　） A．a　　B．　　C．　　D．1－a 4．某商品的标价为 m 元，若按标价的八折出售，则售价为（　　）元。 A．0.8m　　B．8m　　C．m－0.8　　D． 5．船在静水中的速度为 a km/h，水流速度为 b km/h，则船逆水航行 t h 所走的路程是（　　）km。 A．(a＋b)t　　B．(a－b)t　　C．at－b　　D．a－bt 6．某工厂今年的产值为 a 万元，计划明年比今年增长 15%，则明年的计划产值为（　　）万元。 A．1.15a　　B．0.15a　　C．a＋15　　D．1.5a 7．如图，长为 a、宽为 b 的长方形菜地四周有一条宽为 1 的小路，则菜地（白色部分）的面积为（　　） （第 7 题图） A．ab－2　　B．(a－1)(b－1)　　C．(a－2)(b－2)　　D．ab－4 8．甲、乙两人从相距 60 km 的两地同时出发相向而行，甲的速度为 a km/h，乙的速度为 b km/h，则两人相遇所用的时间为（　　）h。 A．　　B．　　C．60(a＋b)　　D． 9．如图，把一个长方形分成 n 个大小相同的小长方形，若大长方形的面积为 S，则每个小长方形的面积是（　　） （第 9 题图） A．nS　　B．S－n　　C．　　D． 10．某种商品的进价为 a 元，售价为 b 元，则它的利润率是（　　） A．×100%　　B．×100% C．×100%　　D．(b－a)×100% （二）填空题（每小题 3 分，共 24 分） 11．行程问题的基本数量关系是：路程＝　　　×　　　。 12．一项工程，甲单独做 a 天完成，乙单独做 b 天完成，则两人合作 1 天完成这项工程的 　　　　　。 13．某商品进价 a 元，售价 b 元，每件的利润是 　　　 元，卖出 50 件的总利润是 　　　　　 元。 14．如图，梯形的上底为 a，下底为 b，高为 h，则它的面积是 　　　　　。 （第 14 题图） 15．甲、乙两车从相距 300 km 的两地同时出发同向而行，甲在后，速度为 a km/h，乙在前，速度为 b km/h（a＞b），则甲追上乙需要 　　　　　 h。 16．一个两位数的十位数字是 a，个位数字是 b，这个两位数是 　　　　；把它的十位数字与个位数字交换位置后得到的新两位数是 　　　　。 17．某商品原价 m 元，先涨价 20%，再降价 20%，现价是 　　　　 元。 18．水池中有水 a m3，每小时放出 b m3，则 t h 后池中剩余的水为 　　　　　 m3。 （三）解答题（共 62 分） 19．（10 分）甲、乙两人从相距 40 km 的 A、B 两地同时出发相向而行，甲的速度为 x km/h，乙的速度为 y km/h。（1）用代数式表示 3 h 后两人之间的距离（设此时还未相遇）；（2）用代数式表示两人相遇所需的时间；（3）当 x＝6，y＝4 时，求相遇时间。 （第 19 题图） 20．（10 分）一项工程，甲队单独做需 a 天完成，乙队单独做需 b 天完成。（1）用代数式表示甲、乙两队的工作效率；（2）用代数式表示两队合作 5 天完成的工作量；（3）当 a＝10，b＝15 时，求两队合作 5 天完成的工作量。 21．（10 分）某商店购进一批衬衣，每件进价 a 元，按进价提高 50% 标价，后来又按标价的八折出售。（1）用代数式表示标价；（2）用代数式表示售价；（3）用代数式表示每件衬衣的利润；（4）当 a＝80 时，求每件衬衣的利润。 22．（10 分）如图，一块长为 a m、宽为 b m 的长方形空地，四周修一条宽为 1 m 的小路，中间是花圃。（1）用代数式表示花圃的长和宽；（2）用代数式表示花圃的面积；（3）当 a＝20，b＝12 时，求小路的面积。 （第 22 题图） 23．（12 分）某市居民用电实行阶梯电价：每月用电量不超过 180 度时，每度 0.5 元；超过 180 度的部分，每度 0.6 元。（1）若某户居民某月用电 x 度（x＞180），用含 x 的代数式表示该月应交的电费；（2）当 x＝300 时，求应交的电费。 24．（10 分）一艘轮船在静水中的速度为 a km/h，水流速度为 b km/h（a＞b）。（1）用代数式表示轮船的顺水速度和逆水速度；（2）用代数式表示轮船顺水航行 4 h、逆水航行 5 h 共走的路程；（3）当 a＝25，b＝3 时，求这段路程。 参考答案与解析 3.3　数量之间的关系 （一）选择题 1．B　　2．B　　3．B　　4．A　　5．B　　6．A　　7．C　　8．A　　9．C　　10．A 1．【答案】B 【解析】路程＝速度×时间＝vt（km），故选 B。 2．【答案】B 【解析】时间＝路程÷速度＝（h），故选 B。 3．【答案】B 【解析】把总工作量看作 1，工作效率＝工作量÷工作时间＝，故选 B。 4．【答案】A 【解析】打八折即按标价的 80% 出售，售价为 0.8m 元，故选 A。 5．【答案】B 【解析】逆水速度＝船速－水速＝(a－b) km/h，路程＝(a－b)t km，故选 B。 6．【答案】A 【解析】明年产值＝a(1＋15%)＝1.15a（万元），故选 A。 7．【答案】C 【解析】菜地的长为 a－2×1＝a－2，宽为 b－2×1＝b－2，所以面积为 (a－2)(b－2)，故选 C。 8．【答案】A 【解析】相遇时两人共走 60 km，速度和为 (a＋b) km/h，时间＝ h，故选 A。 9．【答案】C 【解析】n 个小长方形大小相同，每个的面积为 ，故选 C。 10．【答案】A 【解析】利润率＝利润÷进价×100%＝×100%，故选 A。 （二）填空题 11．【答案】速度　　时间 【解析】即 s＝vt，由此还可得 v＝，t＝。 12．【答案】＋ 【解析】甲的效率为 ，乙的效率为 ，合作 1 天的工作量为它们的和。 13．【答案】(b－a)　　50(b－a) 【解析】利润＝售价－进价，总利润＝每件利润×件数。 14．【答案】(a＋b)h 【解析】梯形面积＝(上底＋下底)×高÷2。 15．【答案】 【解析】追及问题中，追及时间＝路程差÷速度差＝（h）。 16．【答案】10a＋b　　10b＋a 【解析】两位数＝十位数字×10＋个位数字。 17．【答案】0.96m 【解析】涨价后为 1.2m 元，再降价 20% 得 1.2m×(1－20%)＝1.2m×0.8＝0.96m（元）。 18．【答案】(a－bt) 【解析】t h 共放出 bt m3，剩余 a－bt（m3）。 （三）解答题 19．【答案】（1）(40－3x－3y) km；（2） h；（3）4 h。 【解析】（1）3 h 甲走 3x km，乙走 3y km，两人之间的距离为 40－3x－3y（km）。 （2）相遇时两人共走 40 km，速度和为 (x＋y) km/h，所以相遇时间为 h。 （3）当 x＝6，y＝4 时，相遇时间＝＝＝4（h）。 答：（3）相遇需要 4 h。 20．【答案】（1），；（2）5(＋)；（3）。 【解析】（1）把总工作量看作 1，甲的工作效率为 ，乙的工作效率为 。 （2）合作 5 天完成的工作量为 5(＋)。 （3）当 a＝10，b＝15 时，原式＝5×(＋)＝5×＝。 答：两队合作 5 天完成这项工程的 。 21．【答案】（1）1.5a 元；（2）1.2a 元；（3）0.2a 元；（4）16 元。 【解析】（1）标价＝a(1＋50%)＝1.5a（元）。 （2）售价＝1.5a×0.8＝1.2a（元）。 （3）利润＝售价－进价＝1.2a－a＝0.2a（元）。 （4）当 a＝80 时，利润＝0.2×80＝16（元）。 答：每件衬衣的利润为 16 元。 22．【答案】（1）(a－2) m，(b－2) m；（2）(a－2)(b－2) m2；（3）60 m2。 【解析】（1）花圃的长为 (a－2) m，宽为 (b－2) m。 （2）花圃的面积为 (a－2)(b－2) m2。 （3）当 a＝20，b＝12 时，空地面积为 20×12＝240（m2）， 花圃面积为 (20－2)×(12－2)＝18×10＝180（m2）， 所以小路的面积为 240－180＝60（m2）。 答：小路的面积为 60 m2。 23．【答案】（1）(0.6x－18) 元；（2）162 元。 【解析】（1）不超过 180 度的部分应交 180×0.5＝90（元）， 超过的部分为 (x－180) 度，应交 0.6(x－180) 元。 所以总电费为 90＋0.6(x－180)＝90＋0.6x－108＝(0.6x－18)（元）。 （2）当 x＝300 时，电费＝0.6×300－18＝180－18＝162（元）。 答：（1）(0.6x－18) 元；（2）162 元。 24．【答案】（1）(a＋b) km/h，(a－b) km/h；（2）(9a－b) km；（3）222 km。 【解析】（1）顺水速度为 (a＋b) km/h，逆水速度为 (a－b) km/h。 （2）总路程＝4(a＋b)＋5(a－b)＝4a＋4b＋5a－5b＝(9a－b)（km）。 （3）当 a＝25，b＝3 时，总路程＝9×25－3＝225－3＝222（km）。 答：（3）共走 222 km。 第 页　共 页 学科网（北京）股份有限公司 $