2.4 一元二次方程的应用 重难点检测2026-2027学年北师大版九年级数学上册

2.4 一元二次方程的应用 重难点检测2026-2027学年 北师大版九年级数学上册 一、单选题 1．秋冬季节是我国流感等急性呼吸道传染病高发期，有1人患了流感，经过两轮传染后共有168人患了流感，设每轮传染中平均一个人传染了x个人，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 2．某公司自主研发并生产的仿生蝴蝶飞行器，能高度还原蝴蝶飞行动作．今年3月份此款飞行器产量为1200台，5月份的产量为1600台．若设该公司此款飞行器这两个月产量的月平均增长率为，则下列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 3．如图，在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，若种植花苗的面积为，依题意列方程为（   ） A． B． C． D． 4．若一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一，且个位数字比十位数字大5，则这个两位数是（    ） A．27 B．72 C．27或16 D．或 5．某超市销售一批羽绒服，平均每天可售24件，每件盈利50元，为扩大销售增加盈利，超市决定适当降价，如果每件羽绒服降价1元，平均每天可多售出3件，如果超市要保证平均每天盈利2520元，同时又要顾客得到实惠，那么每件羽绒服应降价多少元？设每件羽绒服应降价元，下列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 6．《四元玉鉴》是中国元代数学重要著作之一，由数学家朱世杰所著．书中有这样一道方程的应用题：今有锦一匹，先卖三尺，余卖得钱二贯九百七十五文．只云匹长不及尺价四十七文，问匹长、尺价各几何？译文：今有一匹锦，先卖掉三尺，剩下的卖了二贯九百七十五文；已知这匹锦的长度数比一尺锦的价格数少四十七，问：这匹锦的长和每尺的价格各是多少？（备注：1贯＝1000文），设这匹锦的长为x尺，根据题意可列方程为（   ） A． B． C． D． 7．广西首创的全区性县级足球主客场联赛（广西县超）正在火热开赛中，参加“县超”大区赛的每两个县队之间都要进行两场比赛，共要比赛60场，如果设有个队参加比赛，根据题意，列出方程为（   ） A． B． C． D． 8．如图，在中，，，动点P从点A开始以的速度沿边向点B运动；动点Q从点B开始以的速度沿边向点C运动．如果P，Q两点分别从A，B两点同时出发，设运动时间为t秒． ①当时，的面积为； ②t有两个不同的值，都使的面积为； ③的面积可以为 其中，正确结论的个数是（   ） A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 9．一种电脑病毒在局域网中的传播速度非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后就会有121台电脑被感染．每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则可列出方程______． 10．下表是某公司1月份至5月份的收入统计表．其中，2月份和5月份被墨水污染，若2月份与3月份的增长率相同，设它们的增长率为，则可列出方程为______． 月份 1 2 3 4 5 收入/万元 10    12 14    11．如图，边长为的正方形纸片，剪去阴影部分四个全等的等腰直角三角形．再沿着虚线折起，可以得到一个长方体盒子，点A，B，C，D正好重合于上底面一点．且此长方体盒子的表面积为，其中，若设的长为，则可列方程为________． 12．“国庆”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手28次，则参加聚会的人数是______． 13．利用图形的分、和、移、补探索图形关系，是我国传统数学的一种重要方法．如图1，是矩形的对角线，将分割成两对全等的直角三角形和一个正方形，然后按图2重新摆放，观察两图，若，则矩形的面积是______．    三、解答题 14．某校为响应我市全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆，据统计，第一天进馆64人次，进馆人数逐日增加，第三天进馆100人次，若进馆人次的日平均增长率相同． (1)求进馆人次的日平均增长率； (2)因条件限制，学校图书馆每日接纳能力不超过120人次，在进馆人次的日平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接纳第四天的进馆人次，并说明理由． 15．一个两位数，个位数字比十位数字大4，把这个数的个位数字和十位数字对调后，得到新的两位数，原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数，求原来的两位数． 16．已知：如图，在中，，，．点P从点A开始沿边向点以的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以的速度移动．设运动时间为． (1)填空：______，______．（用含t的代数式表示） (2)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的面积等于？ (3)如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，的长度等于？ 17．匀变速直线运动中，每个时间段内的平均速度（初始速度与末速度的算术平均数）与路程，时间的关系为．现有一个小球以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动． (1)小球的滚动速度平均每秒减少多少？ (2)小球滚动约用了多少秒（结果保留小数点后一位，参考数据：） 18．阅读下列材料，并解答问题： 赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了解方程，即的方法．首先构造了如图1所示的图形，图中的大正方形面积是 其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，据此易得． (1)参照上述图解一元二次方程的方法，请在下面三个构图中选择能够用几何法求解方程的正确构图是_______；（从序号①②③中选择） (2)请你结合上述问题的学习，在图2的网格中设计用几何法求解方程的构图（类比图1标明相关数据），并写出解答过程； (3)构图序号①对应的方程是_____________________． 试卷第1页，共2页 试卷第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D C C A D D A C 1．【答案】D 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】利用两轮总患病人数为，建立方程即可得解． 【详解】解：∵初始患病人数为1，每轮传染中平均1人传染个人， ∴第一轮传染后，新增患病人数为，总患病人数为， 第二轮传染中，个患者每人传染人，新增患病人数为， ∴两轮传染后总患病人数为，由题意两轮后共有168人患病，因此列方程为． 2．【答案】C 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】根据月平均增长率依次表示出各月产量，结合5月份实际产量列出等式即可． 【详解】解：∵3月份产量为台，月平均增长率为 ， ∴4月份产量为台 ， ∴5月份产量为台 ， 又∵5月份实际产量为台 ， ∴可列方程为． 3．【答案】C 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，根据在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，得出种植花苗的长为，宽为，又因为种植花苗的面积为，故，即可作答． 【详解】解：∵在一块长，宽的矩形花园基地上修建两横一纵三条等宽的道路，剩余空地种植花苗，设道路的宽为，且种植花苗的面积为， ∴， 故选：C 4．【答案】A 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设十位上的数字为，则个位上的数字为，根据“一个两位数等于它的十位数字与个位数字和的平方的三分之一”列出一元二次方程，解方程即可得出答案，理解题意，找准等量关系，正确列出方程是解此题的关键． 【详解】解：设这个两位数的十位数字为x，则个位数字为，根据题意得： ， 整理得， 解得，(不合题意，舍去)， ∴，， ∴这个两位数是27． 故选：A． 5．【答案】D 【知识点】营销问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了列一元二次方程，找准等量关系是解题关键．先求出每件羽绒服的盈利为元，平均每天的销量为件，再根据利润每件的盈利平均每天的销量列出方程即可得． 【详解】解：设每件羽绒服应降价元，则每件羽绒服的盈利为元，平均每天的销量为件， 则可列方程为． 故选：D． 6．【答案】D 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题主要考查了一元二次方程，熟练运用实际问题列一元二次方程是解题的关键．由题意可得这匹锦卖掉三尺后的长和一尺锦的价格，再列出方程即可． 【详解】这匹锦的长为x尺，则这匹锦卖掉三尺后的长为尺，一尺锦的价格为文， 根据题意，得． 故选：D． 7．【答案】A 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】根据比赛规则计算总比赛场数，即可列出对应方程． 【详解】解：∵共有个队参加比赛，每个队需要与除自身外的个队进行比赛， 又∵每两个县队之间都要进行两场比赛， ∴总比赛场数可列方程为． 8．【答案】C 【知识点】动态几何问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及三角形的面积，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． ①当时，，，利用三角形的面积公式，可求出的面积为；②当运动时间为秒时，，，根据的面积为，可列出关于t的一元二次方程，解之即可得出结论；③假设的面积可以为，根据的面积为，可列出关于t的一元二次方程，由根的判别式，可得出原方程没有实数根，进而可得出假设不成立，即的面积不能为 【详解】解：①当时，，， ，结论①正确； ②秒，秒， 当运动时间为秒时，，， 根据题意得：， 整理得：， 解得：，， 有两个不同的值，都使的面积为，结论②正确； ③假设的面积可以为， 根据题意得：， 整理得：， ， 原方程没有实数根， 假设不成立，即的面积不能为，结论③不正确． 综上所述，正确的结论有2个． 故选：C． 9．【答案】 【知识点】传播问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用． 根据每轮感染中平均一台电脑感染的电脑台数，结合经过两轮感染后被感染的电脑总数，来建立方程。关键在于理解每轮感染后被感染电脑数量的计算方式，即第一轮感染后被感染的电脑数量加上第二轮感染后被感染的电． 【详解】解：第1轮​​：这1台感染x台，新增x台，总被感染数． 第2轮​​：现有的台被感染的电脑，每台感染x台，新增台，总被感染数为． 两轮后的总数是． 题目说两轮后是121台，因此． 故答案为：． 10．【答案】 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】本题考查一元二次方程的应用， 3月份的收入月份的收入月收入的增长率，由此可解． 【详解】解：由题意知，1月份收入10万元， 则2月份收入万元，3月份收入万元， 则可列方程为：， 故答案为：． 11．【答案】 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用) 【分析】设的长为，则的长为，利用长方体盒子的表面积＝正方形纸片的面积等腰直角三角形的面积，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 【详解】解：设的长为，则的长为， 根据题意得：， 即， 故答案为：． 12．【答案】8 【知识点】握手、循环赛问题（一元二次方程的应用） 【分析】设参加聚会的人数是x人，根据题意列方程解答即可． 【详解】设有x个人参加聚会， 根据题意可得：， 所以， 解得，（不合题意舍去）， 所以参加聚会的人数是有8人． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，根据题意准确找出等量关系是解答本题的关键． 13．【答案】30 【知识点】其他问题(一元二次方程的应用)、根据矩形的性质求面积 【分析】设小正方形的边长为，利用、、表示矩形的面积，再用、、表示三角形以及正方形的面积，根据面积列出关于、、的关系式，解出，即可求出矩形面积． 【详解】解：设小正方形的边长为， 矩形的长为 ，宽为 ， 由图1可得：， 整理得：， ，， ， ， 矩形的面积为 ． 故答案为：30． 【点睛】本题主要考查列代数式，一元二次方程的应用，设出小正方形的边长列一元二次方程和整体代换是解题的关键． 14．【答案】(1) 进馆人次的日平均增长率为 (2) 校图书馆不能接纳第四天的进馆人次 【知识点】增长率问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）设进馆人次的日平均增长率为，根据第一天进馆64人次，第三天进馆100人次，列出方程进行求解即可； （2）根据增长率求出第四天的进馆人数，进行判断即可. 【详解】（1）解：设进馆人次的日平均增长率为， 由题意，， 解得或（舍去）； 答：进馆人次的日平均增长率为； （2）解：不能，理由如下： ， 故校图书馆不能接纳第四天的进馆人次. 15．【答案】原来的两位数为26． 【知识点】数字问题(一元二次方程的应用) 【分析】设原来的两位数十位上的数字为，根据“原两位数与其十位数字的乘积加上10正好等于新的两位数”列出一元二次方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设原来的两位数的十位数字为， ， 整理得：， 解得：，（不符合题意，舍去）， ， 答：原来的两位数为26． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实际运用，读懂题意，正确列出一元二次方程是解题的关键． 16．【答案】(1)， (2)点，分别从点A，同时出发，2秒或3秒后，的面积等于 (3)点，分别从点A，同时出发，5秒后，的长度等于 【知识点】列代数式、动态几何问题(一元二次方程的应用)、用勾股定理解三角形 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，根据题意列出方程是解决本题的关键． （1）根据运动路程等于速度乘以时间即可求出，再根据即可解答； （2）根据的面积等于，列出方程进行求解即可； （3）根据的长度等于，利用勾股定理，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：根据题意得，， ∵， ∴， 故答案为：，； （2）解：∵，， ∴， ， ， 解得或， 答：点，分别从点A，同时出发，2秒或3秒后，的面积等于； （3）解：∵，， ∴， ∴， ， ，即， ， 解得（此时，两点重合）或（舍去）， 答：点，分别从点A，同时出发，5秒后，的长度等于． 17．【答案】(1)小球的滚动速度平均每秒减少 (2)小球滚动约用了秒 【知识点】行程问题(一元二次方程的应用) 【分析】（1）根据以的速度开始向前滚动，并且均匀减速，后小球停止运动列式计算即可； （2）设小球滚动约用了秒，由时间速度路程，列出一元二次方程，解方程即可． 【详解】（1）解：小球的滚动速度平均每秒减少， 答：小球的滚动速度平均每秒减少． （2）解：设小球滚动约用了秒， 由题意得：， 整理得：， 解得：或， 当时，，不符题意，舍去， ， 答：小球滚动约用了秒． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 18．【答案】(1)③ (2)解：如图， 图中的大正方形面积是，其中四个全等的小矩形面积分别为，中间的小正方形面积为，所以大正方形的面积又可表示为，进一步可知大正方形的边长为8，所以，解得． (3)或 【知识点】与图形有关的问题(一元二次方程的应用)、归纳与类比 【分析】（1）通过方程变形找到两个正数的积与差，验证构图结构，选出正确答案即可； （2）模仿材料的几何法，构造大正方形，利用面积和差列方程求解，再画图并标注； （3）分析构图的边长关系，大正方形由四个全等小矩形和中间小正方形组成，先从图中提取边长关系，再进一步推导对应的二次方程． 【详解】（1）解：方程可变形为，即每个小矩形面积为21，观察图形①②③，三个图形中小矩形面积分别为12，12，21，再进一步进行验证，可得方程的正确构图为③； （2）略； （3）解：由图①可设对应的方程为或，其中， ∴图①对应的方程为或． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $