江苏2027届高三物理一轮复习专题讲义 万有引力定律及应用

万有引力定律及应用 考点一　开普勒定律 基础回扣 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 技巧点拨 1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理． 2．由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小． 3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间． 例1　如图所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有(　　) A．TA＝TB B．EkA>EkB C．SA＝SB D.＝ 1．(对开普勒三定律的理解)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　) A．太阳位于木星运行轨道的中心 B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 2．(对开普勒第二定律的理解和应用)如图，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中(　　) A．从P到M所用的时间等于 B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大 C．从P到Q阶段，速率逐渐变小 D．从M到N阶段，万有引力对它一直做负功 考点二　万有引力定律 基础回扣 1．内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比． 2．表达式 F＝G，G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定． 3．适用条件 (1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点． (2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离． 技巧点拨 1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F可分解为：重力mg；提供物体随地球自转的向心力F向． (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R. (2)在两极上：G＝mg0. (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和． 越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg. 2．星球上空的重力加速度g′ 星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝.所以＝. 3．万有引力的“两点理解”和“两个推论” (1)两点理解 ①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力． ②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力． (2)两个推论 ①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0. ②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G. 　　　　　 万有引力定律的理解 例12019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是(　　) 万有引力定律的应用 例1　假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(　　) A．1－ B．1＋ C.2 D.2 1．在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略，空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L，如题图1所示，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物，在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为、角速度为的匀速圆周运动，运动到A点停下，然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t到达B点，A、B间的距离为L。 （1）求货物做匀速圆周运动时受到合力提供的向心力大小； （2）求货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率P。 （3）在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如题图2所示，它们在同一直线上，货物与空间站同步做匀速圆周运动，已知空间站轨道半径为r，货物与空间站中心的距离为d，忽略空间站对货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比。 2.(割补法在计算万有引力中的应用)如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体．从中挖去一个半径为 的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力 大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)(　　) A．G B．0 C．4G D．G 考点三　天体质量和密度的计算 应用万有引力定律估算天体的质量、密度 (1)利用天体表面重力加速度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R. ①由G＝mg，得天体质量M＝. ②天体密度ρ＝＝＝. (2)利用运行天体 测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T. ①由G＝mr，得M＝. ②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝. ③若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度． 　　　　　 利用运行天体计算中心天体质量 例1　2018年7月25日消息称，科学家们在火星上发现了第一个液态水湖，这表明火星上很可能存在生命．美国的“洞察”号火星探测器曾在2018年11月降落到火星表面．假设该探测器在着陆火星前贴近火星表面运行一周用时为T，已知火星的半径为R1，地球的半径为R2，地球的质量为M，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则火星的质量为(　　) A. B. C. D. 　　　　　 利用重力加速度g求中心天体质量 例1　某球形天体可视为质量均匀分布的球体，其密度为，万有引力常量为G。 （1）对于环绕在密度相同的球形天体表面运行的卫星，求其运动周期T。 （2）若球形天体“北极点”处的重力加速度是“赤道”处重力加速度的k倍（），求天体自转周期。 （3）若球形天体可视为质量均匀分布的球体，半径为R，自转的角速度为，表面周围空间充满厚度（小于同步卫星距天体表面的高度）的均匀介质，已知同步卫星距天体表面的高度，求均匀介质的密度。 1．(天体质量和密度的计算)(2021·江苏扬州市期中)2020年7月31日“北斗三号”全球卫星导航系统正式开通．其中一颗卫星轨道近似为圆，轨道半径为r，周期为T，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是(　　) A．该卫星运动的线速度为 B．地球的质量为 C．地球的质量为 D．地球的密度为 2、“嫦娥四号”月球探测器成功在月球背面软着陆，这是人类首次成功登陆月球背面。如图所示，假设“嫦娥四号”在半径为r的圆形轨道Ⅰ上绕月球运行，周期为T.某时刻“嫦娥四号”在A点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，在月球表面的B点贴近月球表面飞行，三点在一条直线上.已知月球的半径为R，引力常量为G，则（　　） A. 在轨道Ⅱ上A和B两点的加速度之比为 B. 在轨道Ⅱ上A和B两点的线速度之比为 C. 从A点运动到B点的时间为 D. 月球的平均密度为 课时精练 1．2020年11月28日，嫦娥五号在距月面约200公里的A处成功实施变轨进入环月椭圆轨道Ⅰ。绕月三圈后进行第二次近月变轨，进入环月圆轨道Ⅱ，如图所示，则嫦娥五号（　　） A. 在轨道Ⅰ的运行周期小于在轨道Ⅱ的运行周期 B. 在轨道Ⅱ上的速度小于月球的第一宇宙速度 C. 在轨道Ⅰ上A点的加速度小于轨道Ⅱ上B点的加速度 D. 在轨道Ⅱ上B点的机械能大于轨道Ⅰ上C点的机械能 2．如图所示为火星绕太阳运动的椭圆轨道，M、N、P是火星依次经过的三位置，F1、F2为椭圆的两个焦点．火星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，火星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S1和S2.已知由M到N过程中，太阳的引力对火星做正功．下列判断正确的是(　　) A．太阳位于焦点F1处 B．S1>S2 C．在M和N处，火星的动能EkM>EkN D．在N和P处，火星的加速度aN>aP 3．2020年12月3日23时10分，嫦娥五号上升器携带月球样品从月面起飞，约6分钟后进入高度约的预定环月圆轨道。已知万有引力常量，月球质量约，直径约。根据以上信息不能估算（　　） A. 月球表面重力加速度大小 B. 样品在环月圆轨道运动时速度大小 C. 上升器在月面时所受月球引力大小 D. 上升器在环月圆轨道运动时向心加速度大小 4．为了验证地面上物体的重力与地球吸引月球、太阳吸引行星的力是同一性质的力，同样遵从平方反比规律的猜想，牛顿做了著名的“月—地检验”，并把引力规律做了合理的外推，完成了物理学的第一次大统一．已知月球绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍．下列说法中正确的是(　　) A．物体在月球轨道上运动的加速度大小大约是在地面附近下落时的加速度大小的 B．物体在月球表面下落时的加速度大小是在地球表面下落时的加速度大小的 C．月球绕地球运行的周期是近地卫星绕地球运行周期的60倍 D．月球绕地球运行的线速度大小是近地卫星绕地球运行线速度大小的 5．已知在地球赤道上空有一颗运动方向与地球自转方向相同的卫星A，对地球赤道覆盖的最大张角α=60°，赤道上有一个卫星监测站B（图中未画出）。设地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，那么监测站B能连续监测到卫星A的最长时间为（　　） A. B. C. D. 6．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处．若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计．则(　　) A．g′∶g＝5∶1 B．g′∶g＝5∶2 C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80 7．我国实施“嫦娥三号”卫星的发射和落月任务，进一步获取月球的相关数据．如果该卫星在月球上空绕月做匀速圆周运动，经过时间t，卫星行程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是1弧度，万有引力常量为G，根据以上数据估算月球的质量是(　　) A. B. C. D. 8．若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是(　　) A. B. C. D. 9．据美国宇航局消息，在距离地球40光年的地方发现了三颗可能适合人类居住的类地行星．假设某天我们可以穿越空间到达某一类地行星，测得以初速度10 m/s竖直上抛一个小球可到达的最大高度只有1 m，而其球体半径只有地球的一半，则其平均密度和地球的平均密度之比为(地球表面重力加速度g取10 m/s2)(　　) A．5∶2 B．2∶5 C．1∶10 D．10∶1 10．若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶.已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R.由此可知，该行星的半径约为(　　) A.R B.R C．2R D.R 11．质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程．已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力．若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为(　　) A．m B．m C．m D．m 12．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为(　　) A. B. C. D. 卫星变轨问题　双星模型 目标要求　1.会处理人造卫星的变轨和对接问题.2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题． 题型一　卫星的变轨和对接问题 1．变轨原理 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图1所示． (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ. (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ. 2．变轨过程分析 (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB. (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同． (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3. (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3. 例1　2020年7月23日，我国火星探测器“天问一号”在海南文昌航天发射场由长征五号运载火箭发射升空，随后准确地进入预定地火转移轨道．如图2所示为探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹示意图，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆．探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的交点，轨道上的O、P、Q三点与火星中心在同一直线上，O、Q分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点．已知火星的半径为R，OQ＝4R，轨道Ⅱ上经过O点的速度为v，关于探测器，下列说法正确的是(　　) A．沿轨道Ⅰ运动时，探测器与P点连线在相等时间内扫过的面积相等 B．沿轨道Ⅱ的运动周期小于沿轨道Ⅲ的运动周期 C．沿轨道Ⅲ运动时，经过O点的速度大于v D．沿轨道Ⅲ运动时，经过O点的加速度等于 例2　宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动．若飞船想与前方的空间站对接，飞船为了追上空间站，可采取的方法是(　　) A．飞船加速直到追上空间站，完成对接 B．飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接 C．飞船加速至一个较高轨道，再减速追上空间站，完成对接 D．无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接 1．(卫星变轨)回收嫦娥五号返回器采用了“太空水漂”技术。先让返回器高速进入大气层，再借助大气提供的升力跃出大气层，然后再扎入大气层，返回地面。”下图为其示意图，虚线大圆为大气层的边界，已知地球半径为，点到地心的距离为，地球表面重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A. 航天器从到运动过程中处于完全失重状态 B. 航天器从到点的机械能一直减小 C. 航天器运动到点时的加速度为 D. 航天器在点和点的速度相同 2、如图，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ．则下列说法中的错误的有（　　） A. 在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度 B. 卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度小于第一宇宙速度7.9km/s C. 在轨道Ⅱ上经过Q的加速度大于在轨道Ⅰ上经过Q的加速度 D. 卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ 2．图为嫦娥五号奔月过程示意图，点和点分别为嫦娥五号的近地变轨位置和近月变轨位置，关于嫦娥五号，下列说法正确的是（　　） A. 嫦娥五号在轨道②上经过点时的加速度小于在轨道③上经过点时的加速度 B. 嫦娥五号在轨道①上运行的机械能等于在轨道②上运行的机械能 C. 嫦娥五号在轨道④上由点无动力运动到点过程中，其动能先减小后增大 D. 嫦娥五号由轨道④进入轨道⑤，需要在点点火加速 题型二　双星或多星模型 1．双星模型 (1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示． (2)特点： ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 ＝m1ωr1，＝m2ω22r2 ②两颗星的周期及角速度都相同，即 T1＝T2，ω1＝ω2. ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L. 　　　　　 双星模型 例1　2017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　) A．质量之积 B．各自的质量 C．速率之和 D．各自的自转角速度 1、(双星模型)有一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统，如图7所示．若图中双黑洞的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动．根据所学知识，下列说法中正确的是(　　) A．双黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M2∶M1 B．双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M1∶M2 C．双黑洞的线速度大小之比v1∶v2＝M1∶M2 D．双黑洞的向心加速度大小之比a1∶a2＝M2∶M1 课时精练 1．目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是(　　) A．卫星的动能逐渐减小 B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小 C．由于稀薄气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变 D．卫星克服稀薄气体阻力做的功等于引力势能的减小量 2．1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动．如图1所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G.则(　　) A．v1＞v2，v1＝ B．v1＞v2，v1＞ C．v1＜v2，v1＝ D．v1＜v2，v1＞ 3．在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成在引力作用下都绕某点做匀速圆周运动；但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动．我们把前一种假设叫“模型一”，后一种假设叫“模型二”．已知月球中心到地球中心的距离为L，月球运动的周期为T.利用(　　) A．“模型一”可确定地球的质量 B．“模型二”可确定月球的质量 C．“模型一”可确定月球和地球的总质量 D．“模型二”可确定月球和地球的总质量 4.人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道．如图2所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星从圆轨道Ⅰ的A点先变轨到椭圆轨道Ⅱ，然后在B点变轨进入地球同步轨道Ⅲ，则下列说法正确的是(　　) A．该卫星的发射速度应大于11.2 km/s且小于16.7 km/s B．该卫星在轨道Ⅱ上经过A点时的加速度比在轨道Ⅲ上经过B点时的加速度小 C．该卫星在B点通过减速实现由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ D．若该卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上运动的周期分别为T1、T2、T3，则T1＜T2＜T3 5．银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G.由此可求出S2的质量为(　　) A. B. C. D. 6．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为(　　) A.T B.T C.T D.T 7.2019年人类天文史上首张黑洞图片正式公布．在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统．在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”．天鹅座X－1就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图3所示．在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是(　　) A．它们的万有引力大小变小 B．它们的万有引力大小不变 C．恒星做圆周运动的轨道半径将变大，线速度也变大 D．恒星做圆周运动的轨道半径将变小，线速度也变小 第 1 页 共 12 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 万有引力定律及应用 考点一　开普勒定律 基础回扣 定律 内容 图示或公式 开普勒第一定律(轨道定律) 所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上 开普勒第二定律(面积定律) 对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等 开普勒第三定律(周期定律) 所有行星轨道的半长轴的三次方跟它的公转周期的二次方的比都相等 ＝k，k是一个与行星无关的常量 技巧点拨 1．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理． 2．由开普勒第二定律可得v1·Δt·r1＝v2·Δt·r2，解得＝，即行星在两个位置的速度之比与到太阳的距离成反比，近日点速度最大，远日点速度最小． 3．开普勒第三定律＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间． 例1　如图所示，两质量相等的卫星A、B绕地球做匀速圆周运动，用R、T、Ek、S分别表示卫星的轨道半径、周期、动能、与地心连线在单位时间内扫过的面积．下列关系式正确的有(　　) A．TA＝TB B．EkA>EkB C．SA＝SB D.＝ 答案　D 解析　根据开普勒第三定律知，A错误，D正确；由＝和Ek＝mv2可得Ek＝，因RA>RB，则EkA<EkB，B错误；根据开普勒第二定律知，同一轨道上的卫星绕地球做圆周运动，与地心连线在单位时间内扫过的面积相等，对于卫星A、B，SA不等于SB，C错误． 1．(对开普勒三定律的理解)火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知(　　) A．太阳位于木星运行轨道的中心 B.火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等 C．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方 D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积 答案　C 解析　由开普勒第一定律(轨道定律)可知，太阳位于木星运行轨道的一个焦点上，故A错误；火星和木星绕太阳运行的轨道不同，运行速度的大小不可能始终相等，故B错误；根据开普勒第三定律(周期定律)知，太阳系中所有行星轨道的半长轴的三次方与它的公转周期的平方的比值是一个常数，故C正确；对于太阳系某一个行星来说，其与太阳连线在相同的时间内扫过的面积相等，不同行星在相同时间内扫过的面积不相等，故D错误． 2．(对开普勒第二定律的理解和应用)如图2，海王星绕太阳沿椭圆轨道运动，P为近日点，Q为远日点，M、N为轨道短轴的两个端点，运行的周期为T0.若只考虑海王星和太阳之间的相互作用，则海王星在从P经M、Q到N的运动过程中(　　) A．从P到M所用的时间等于 B．从Q到N阶段，机械能逐渐变大 C．从P到Q阶段，速率逐渐变小 D．从M到N阶段，万有引力对它一直做负功 答案　C 解析　根据开普勒第二定律，行星与太阳的连线在相等时间内扫过的面积相等，所以从P到M所用的时间小于从M到Q所用的时间，而从P到Q所用的时间为，所以从P到M所用的时间小于，选项A错误；从Q到N阶段，只有万有引力对海王星做功，机械能保持不变，选项B错误；从P到Q阶段，海王星从近日点运动至远日点，速率逐渐减小，选项C正确；从M到Q阶段，万有引力做负功，从Q到N阶段，万有引力做正功，选项D错误． 考点二　万有引力定律 基础回扣 1．内容 自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物体的质量m1和m2的乘积成正比、与它们之间距离r的二次方成反比． 2．表达式 F＝G，G为引力常量，G＝6.67×10－11 N·m2/kg2，由英国物理学家卡文迪什测定． 3．适用条件 (1)公式适用于质点间的相互作用，当两个物体间的距离远大于物体本身的大小时，物体可视为质点． (2)质量分布均匀的球体可视为质点，r是两球心间的距离． 技巧点拨 1．万有引力与重力的关系 地球对物体的万有引力F可分解为：重力mg；提供物体随地球自转的向心力F向． (1)在赤道上：G＝mg1＋mω2R. (2)在两极上：G＝mg0. (3)在一般位置：万有引力G等于重力mg与向心力F向的矢量和． 越靠近南、北两极，向心力越小，g值越大．由于物体随地球自转所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即＝mg. 2．星球上空的重力加速度g′ 星球上空距离星体中心r＝R＋h处的重力加速度为g′，mg′＝，得g′＝.所以＝. 3．万有引力的“两点理解”和“两个推论” (1)两点理解 ①两物体相互作用的万有引力是一对作用力和反作用力． ②地球上的物体(两极除外)受到的重力只是万有引力的一个分力． (2)两个推论 ①推论1：在匀质球壳的空腔内任意位置处，质点受到球壳的万有引力的合力为零，即∑F引＝0. ②推论2：在匀质球体内部距离球心r处的质点(m)受到的万有引力等于球体内半径为r的同心球体(M′)对其的万有引力，即F＝G. 　　　　　 万有引力定律的理解 例12019年1月，我国嫦娥四号探测器成功在月球背面软着陆．在探测器“奔向”月球的过程中，用h表示探测器与地球表面的距离，F表示它所受的地球引力，能够描述F随h变化关系的图像是(　　) 答案　D 解析　在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律，可知随着h的增大，探测器所受的地球引力逐渐减小，但不是均匀减小的，故能够描述F随h变化关系的图像是D. 万有引力定律的应用 例1　假设地球是一半径为R、质量分布均匀的球体．一矿井深度为d，已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，则矿井底部和地面处的重力加速度大小之比为(　　) A．1－ B．1＋ C.2 D.2 答案　A 解析　如图所示，根据题意，地面与矿井底部之间的环形部分对处于矿井底部的物体引力为零．设地面处的重力加速度为g，地球质量为M，地球表面的物体m受到的重力近似等于万有引力，故mg＝G，又M＝ρπR3，故g＝ρπGR；设矿井底部的重力加速度为g′，其半径r＝R－d，则g′＝ρπG(R－d)，联立解得＝1－，A正确． 1．在轨空间站中物体处于完全失重状态，对空间站的影响可忽略，空间站上操控货物的机械臂可简化为两根相连的等长轻质臂杆，每根臂杆长为L，如题图1所示，机械臂一端固定在空间站上的O点，另一端抓住质量为m的货物，在机械臂的操控下，货物先绕O点做半径为、角速度为的匀速圆周运动，运动到A点停下，然后在机械臂操控下，货物从A点由静止开始做匀加速直线运动，经时间t到达B点，A、B间的距离为L。 （1）求货物做匀速圆周运动时受到合力提供的向心力大小； （2）求货物运动到B点时机械臂对其做功的瞬时功率P。 （3）在机械臂作用下，货物、空间站和地球的位置如题图2所示，它们在同一直线上，货物与空间站同步做匀速圆周运动，已知空间站轨道半径为r，货物与空间站中心的距离为d，忽略空间站对货物的引力，求货物所受的机械臂作用力与所受的地球引力之比。 【参考答案】（1）；（2）；（3） 【命题意图】本题考查牛顿运动定律、圆周运动、瞬时功率及其相关知识点。 【解题思路】 （1）质量为的货物绕点做匀速圆周运动，半径为，根据牛顿第二定律可知 （2）货物从静止开始以加速度做匀加速直线运动，根据运动学公式可知 解得 货物到达点时的速度大小为 货物在机械臂的作用下在水平方向上做匀加速直线运动，机械臂对货物的作用力即为货物所受合力，所以经过时间，货物运动到点时机械臂对其做功的瞬时功率为 （3）空间站和货物同轴转动，角速度相同，对质量为空间站，质量为的地球提供向心力 解得 货物在机械臂的作用力和万有引力的作用下做匀速圆周运动，则 货物受到的万有引力 解得机械臂对货物的作用力大小为 则 2.(割补法在计算万有引力中的应用)如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体．从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为(已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零)(　　) A．G B．0 C．4G D．G 答案　D 解析　若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对质点的万有引力等于完整大球体对质点的万有引力与挖去的小球体对质点的万有引力之差，挖去的小球体球心与质点重合，对质点的万有引力为零，则剩余部分对质点的万有引力等于完整大球体对质点的万有引力．以完整大球体球心为中心分离出半径为的球，易知其质量为M，则分离后的均匀球壳对质点的万有引力为零．综上可知，剩余部分对质点的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律，F＝G＝G，故D正确． 考点三　天体质量和密度的计算 应用万有引力定律估算天体的质量、密度 (1)利用天体表面重力加速度 已知天体表面的重力加速度g和天体半径R. ①由G＝mg，得天体质量M＝. ②天体密度ρ＝＝＝. (2)利用运行天体 测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r和周期T. ①由G＝mr，得M＝. ②若已知天体的半径R，则天体的密度ρ＝＝＝. ③若卫星绕天体表面运行，可认为轨道半径r等于天体半径R，则天体密度ρ＝，故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T，就可估算出中心天体的密度． 　　　　　 利用运行天体计算中心天体质量 例1　2018年7月25日消息称，科学家们在火星上发现了第一个液态水湖，这表明火星上很可能存在生命．美国的“洞察”号火星探测器曾在2018年11月降落到火星表面．假设该探测器在着陆火星前贴近火星表面运行一周用时为T，已知火星的半径为R1，地球的半径为R2，地球的质量为M，地球表面的重力加速度为g，引力常量为G，则火星的质量为(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　绕地球表面运动的物体由牛顿第二定律可知：G＝mg 同理，对绕火星表面运动的物体有：＝m()2R1 结合两个公式可解得：M火＝，故A对． 　　　　　 利用重力加速度g求中心天体质量 例1　某球形天体可视为质量均匀分布的球体，其密度为，万有引力常量为G。 （1）对于环绕在密度相同的球形天体表面运行的卫星，求其运动周期T。 （2）若球形天体“北极点”处的重力加速度是“赤道”处重力加速度的k倍（），求天体自转周期。 （3）若球形天体可视为质量均匀分布的球体，半径为R，自转的角速度为，表面周围空间充满厚度（小于同步卫星距天体表面的高度）的均匀介质，已知同步卫星距天体表面的高度，求均匀介质的密度。 【答案】(1)；(2)；(3) 【详解】(1)设天体质量为M，半径为R，卫星质量为m，由向心力公式可得 天体质量满足 联立可解得 (2)设在赤道的重力加速度为g，质量为m1的物体满足 在北极点满足 联立代入数据可解得 (3)设同步卫星的质量为m0，均匀介质的质量为，由向心力公式可得 又满足 联立代入数据可解得。 1．(天体质量和密度的计算)2020年7月31日“北斗三号”全球卫星导航系统正式开通．其中一颗卫星轨道近似为圆，轨道半径为r，周期为T，地球表面的重力加速度为g，地球半径为R，引力常量为G，下列说法正确的是(　　) A．该卫星运动的线速度为 B．地球的质量为 C．地球的质量为 D．地球的密度为 答案　C 解析　根据圆周运动的规律可知，卫星运动的线速度v＝，故A错误；在地球表面，质量为m的物体受到的重力近似等于万有引力，即mg＝，解得地球的质量M＝，故B错误；卫星绕地球做圆周运动，万有引力提供向心力，由牛顿第二定律得G＝mr，解得地球的质量M＝，故C正确；地球的密度为ρ＝＝＝，故D错误． 2、“嫦娥四号”月球探测器成功在月球背面软着陆，这是人类首次成功登陆月球背面。如图所示，假设“嫦娥四号”在半径为r的圆形轨道Ⅰ上绕月球运行，周期为T.某时刻“嫦娥四号”在A点变轨进入椭圆轨道Ⅱ，在月球表面的B点贴近月球表面飞行，三点在一条直线上.已知月球的半径为R，引力常量为G，则（　　） A. 在轨道Ⅱ上A和B两点的加速度之比为 B. 在轨道Ⅱ上A和B两点的线速度之比为 C. 从A点运动到B点的时间为 D. 月球的平均密度为 【答案】C 【解析】 【详解】A．“嫦娥四号”在轨道Ⅱ上A和B两点的万有引力分别为 则加速度之比为 故A错误； B．由开普勒第二定律，有 整理，可得 故B错误； C．椭圆轨道半长轴为 设在椭圆轨道上运行的周期为，由开普勒第三定律有 从A点运动到B点的时间为 解得 故C正确； D．月球的平均密度为 “嫦娥四号”在轨道Ⅰ上绕月球做匀速圆周运动，有 月球的体积可以表示为 联立，可得 故D错误。 故选C。 课时精练 1．2020年11月28日，嫦娥五号在距月面约200公里的A处成功实施变轨进入环月椭圆轨道Ⅰ。绕月三圈后进行第二次近月变轨，进入环月圆轨道Ⅱ，如图所示，则嫦娥五号（　　） A. 在轨道Ⅰ的运行周期小于在轨道Ⅱ的运行周期 B. 在轨道Ⅱ上的速度小于月球的第一宇宙速度 C. 在轨道Ⅰ上A点的加速度小于轨道Ⅱ上B点的加速度 D. 在轨道Ⅱ上B点的机械能大于轨道Ⅰ上C点的机械能 【答案】B 【详解】A．根据开普勒第三定律，轨道Ⅰ的半长轴大于轨道Ⅱ的半径，所以嫦娥五号在轨道Ⅰ的运行周期大于在轨道Ⅱ的运行周期。A错误； B．月球的第一宇宙速度即为近月卫星的线速度，因为轨道Ⅱ的半径大于月球半径，所以嫦娥五号在轨道Ⅱ上的速度小于月球的第一宇宙速度。B正确； C．嫦娥五号在轨道Ⅰ上A点与轨道Ⅱ上B点卫星受到的万有引力大小相等，所以其加速度大小相等。C错误； D．嫦娥五号由轨道Ⅰ变为轨道Ⅱ需要减速，所以机械能减少，而在各自的轨道上机械能处处一样，即嫦娥五号在轨道Ⅰ上的机械能要大于轨道Ⅱ的机械能。D错误。 故选B。 2．如图所示为火星绕太阳运动的椭圆轨道，M、N、P是火星依次经过的三位置，F1、F2为椭圆的两个焦点．火星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，火星与太阳中心的连线扫过的面积分别为S1和S2.已知由M到N过程中，太阳的引力对火星做正功．下列判断正确的是(　　) A．太阳位于焦点F1处 B．S1>S2 C．在M和N处，火星的动能EkM>EkN D．在N和P处，火星的加速度aN>aP 答案　B 解析　已知由M到N过程中，太阳的引力对火星做正功，所以太阳位于焦点F2处，故A错误；根据开普勒行星运动定律得火星由M到P的过程中速度增大，火星由M到N和由N到P的过程中，通过的路程相等，所以火星由M到N的运动时间大于由N到P的运动时间，所以S1＞S2，故B正确；已知由M到N过程中，太阳的引力对火星做正功，根据动能定理得火星的动能EkM＜EkN，故C错误；根据万有引力公式得火星在N处受到的引力小于在P处受到的引力，根据牛顿第二定律得aN＜aP，故D错误． 3．2020年12月3日23时10分，嫦娥五号上升器携带月球样品从月面起飞，约6分钟后进入高度约的预定环月圆轨道。已知万有引力常量，月球质量约，直径约。根据以上信息不能估算（　　） A. 月球表面重力加速度大小 B. 样品在环月圆轨道运动时速度大小 C. 上升器在月面时所受月球引力大小 D. 上升器在环月圆轨道运动时向心加速度大小 【答案】C 【详解】A．根据月球表面的物体受到的重力等于万有引力 得 故A能估算； B．上升器绕月球的运动可看作匀速圆周运动，万有引力提供向心力 解得 故B能估算； C．万有引力提供向心力 因为上升器的质量未知，故C不能估算； D．万有引力提供向心力 解得 故D能估算；故选C 4．为了验证地面上物体的重力与地球吸引月球、太阳吸引行星的力是同一性质的力，同样遵从平方反比规律的猜想，牛顿做了著名的“月—地检验”，并把引力规律做了合理的外推，完成了物理学的第一次大统一．已知月球绕地球运动的轨道半径约为地球半径的60倍．下列说法中正确的是(　　) A．物体在月球轨道上运动的加速度大小大约是在地面附近下落时的加速度大小的 B．物体在月球表面下落时的加速度大小是在地球表面下落时的加速度大小的 C．月球绕地球运行的周期是近地卫星绕地球运行周期的60倍 D．月球绕地球运行的线速度大小是近地卫星绕地球运行线速度大小的 答案　A 解析　由G＝ma可知，a＝G，所以加速度大小之比为1∶602，故A正确；由于不知道月球半径及质量，故B错误；由开普勒第三定律有()2＝()3可知＝()＝60，故C错误；由G＝m可知，＝＝，故D错误． 5．已知在地球赤道上空有一颗运动方向与地球自转方向相同的卫星A，对地球赤道覆盖的最大张角α=60°，赤道上有一个卫星监测站B（图中未画出）。设地球半径为R，自转周期为T，地球表面重力加速度为g，那么监测站B能连续监测到卫星A的最长时间为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【详解】设地球质量为M，卫星A的质量为m，根据万有引力提供向心力，有 由题图可知卫星A的轨道半径为r=2R 在地球表面根据万有引力等于重力 联立解得 如图所示，卫星A的通讯信号视为沿直线传播，由于地球遮挡，使卫星A和地面测控站B不能一直保持直接通讯，也就监测不到。设无遮挡时间为t，则它们转过的角度之差最多为2θ时就不能通讯 根据几何关系可得 则有 联立以上解得 故C正确，ABD错误。 6．宇航员在地球表面以一定初速度竖直上抛一小球，经过时间t小球落回原处．若他在某星球表面以相同的初速度竖直上抛同一小球，需经过时间5t小球落回原处．已知该星球的半径与地球半径之比为R星∶R地＝1∶4，地球表面重力加速度为g，设该星球表面附近的重力加速度为g′，空气阻力不计．则(　　) A．g′∶g＝5∶1 B．g′∶g＝5∶2 C．M星∶M地＝1∶20 D．M星∶M地＝1∶80 答案　D 解析　设初速度为v0，由对称性可知竖直上抛的小球在空中运动的时间t＝，因此得＝＝，选项A、B错误；由G＝mg得M＝，则＝＝×2＝，选项C错误，D正确． 7．我国实施“嫦娥三号”卫星的发射和落月任务，进一步获取月球的相关数据．如果该卫星在月球上空绕月做匀速圆周运动，经过时间t，卫星行程为s，卫星与月球中心连线扫过的角度是1弧度，万有引力常量为G，根据以上数据估算月球的质量是(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　由题意可知，该卫星的线速度大小v＝，角速度ω＝，转动半径R＝＝s，由万有引力提供向心力得＝m，解得M＝，选项B正确． 8．若一均匀球形星体的密度为ρ，引力常量为G，则在该星体表面附近沿圆轨道绕其运动的卫星的周期是(　　) A. B. C. D. 答案　A 解析　根据卫星受到的万有引力提供其做圆周运动的向心力可得G＝m()2R，球形星体质量可表示为：M＝ρ·πR3，由以上两式可得：T＝，A正确． 9．据美国宇航局消息，在距离地球40光年的地方发现了三颗可能适合人类居住的类地行星．假设某天我们可以穿越空间到达某一类地行星，测得以初速度10 m/s竖直上抛一个小球可到达的最大高度只有1 m，而其球体半径只有地球的一半，则其平均密度和地球的平均密度之比为(地球表面重力加速度g取10 m/s2)(　　) A．5∶2 B．2∶5 C．1∶10 D．10∶1 答案　D 解析　根据h＝和g＝可得，M＝，即ρπR3＝，行星平均密度ρ＝∝，在地球表面以初速度10 m/s竖直上抛一个小球可到达的最大高度h地＝＝5 m．据此可得，该类地行星和地球的平均密度之比为10∶1，选项D正确． 10．若在某行星和地球上相对于各自的水平地面附近相同的高度处以相同的速率平抛一物体，它们在水平方向运动的距离之比为2∶.已知该行星质量约为地球的7倍，地球的半径为R.由此可知，该行星的半径约为(　　) A.R B.R C．2R D.R 答案　C 解析　由平抛运动规律：x＝v0t，h＝gt2，得x＝v0，两种情况下，抛出的速率相同，高度相同，故＝；由G＝mg，可得g＝，故＝＝，解得R行＝2R，选项C正确． 11．质量为m的着陆器在着陆火星前，会在火星表面附近经历一个时长为t0、速度由v0减速到零的过程．已知火星的质量约为地球的0.1倍，半径约为地球的0.5倍，地球表面的重力加速度大小为g，忽略火星大气阻力．若该减速过程可视为一个竖直向下的匀减速直线运动，此过程中着陆器受到的制动力大小约为(　　) A．m B．m C．m D．m 答案　B 解析　着陆器向下做匀减速直线运动时的加速度大小a＝.在天体表面附近，有mg＝G，则＝·()2，整理得g火＝0.4g，由牛顿第二定律知，着陆器减速运动时有F－mg火＝ma，则制动力F＝m(0.4g＋)，选项B正确． 12．假设地球可视为质量均匀分布的球体．已知地球表面重力加速度在两极的大小为g0，在赤道的大小为g，地球自转的周期为T，引力常量为G.地球的密度为(　　) A. B. C. D. 答案　B 解析　物体在地球的两极时，有mg0＝G，物体在赤道上时，有mg＋m()2R＝G，又M＝πR3ρ，联立以上三式解得地球的密度ρ＝，故选项B正确，A、C、D错误 卫星变轨问题　双星模型 目标要求　1.会处理人造卫星的变轨和对接问题.2.掌握双星、多星系统，会解决相关问题． 题型一　卫星的变轨和对接问题 1．变轨原理 (1)为了节省能量，在赤道上顺着地球自转方向发射卫星到圆轨道Ⅰ上，如图1所示． (2)在A点(近地点)点火加速，由于速度变大，万有引力不足以提供卫星在轨道Ⅰ上做圆周运动的向心力，卫星做离心运动进入椭圆轨道Ⅱ. (3)在B点(远地点)再次点火加速进入圆形轨道Ⅲ. 2．变轨过程分析 (1)速度：设卫星在圆轨道Ⅰ和Ⅲ上运行时的速率分别为v1、v3，在轨道Ⅱ上过A点和B点时速率分别为vA、vB.在A点加速，则vA>v1，在B点加速，则v3>vB，又因v1>v3，故有vA>v1>v3>vB. (2)加速度：因为在A点，卫星只受到万有引力作用，故不论从轨道Ⅰ还是轨道Ⅱ上经过A点，卫星的加速度都相同，同理，卫星在轨道Ⅱ或轨道Ⅲ上经过B点的加速度也相同． (3)周期：设卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道上的运行周期分别为T1、T2、T3，轨道半径分别为r1、r2(半长轴)、r3，由开普勒第三定律＝k可知T1<T2<T3. (4)机械能：在一个确定的圆(椭圆)轨道上机械能守恒．若卫星在Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ轨道的机械能分别为E1、E2、E3，则E1<E2<E3. 例1　2020年7月23日，我国火星探测器“天问一号”在海南文昌航天发射场由长征五号运载火箭发射升空，随后准确地进入预定地火转移轨道．如图2所示为探测器经过多次变轨后登陆火星的轨迹示意图，其中轨道Ⅰ、Ⅲ为椭圆，轨道Ⅱ为圆．探测器经轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ运动后在Q点登陆火星，O点是轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ的交点，轨道上的O、P、Q三点与火星中心在同一直线上，O、Q分别是椭圆轨道Ⅲ的远火星点和近火星点．已知火星的半径为R，OQ＝4R，轨道Ⅱ上经过O点的速度为v，关于探测器，下列说法正确的是(　　) A．沿轨道Ⅰ运动时，探测器与P点连线在相等时间内扫过的面积相等 B．沿轨道Ⅱ的运动周期小于沿轨道Ⅲ的运动周期 C．沿轨道Ⅲ运动时，经过O点的速度大于v D．沿轨道Ⅲ运动时，经过O点的加速度等于 答案　D 例2　宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动．若飞船想与前方的空间站对接，飞船为了追上空间站，可采取的方法是(　　) A．飞船加速直到追上空间站，完成对接 B．飞船从原轨道减速至一个较低轨道，再加速追上空间站完成对接 C．飞船加速至一个较高轨道，再减速追上空间站，完成对接 D．无论飞船采取何种措施，均不能与空间站对接 答案　B 解析　飞船在轨道上正常运行时，有G＝m.当飞船直接加速时，所需向心力m增大，则G<m，故飞船做离心运动，轨道半径增大，将导致不在同一轨道上，A错误；飞船若先减速，它的轨道半径将减小，但运行速度增大，故在低轨道上飞船可接近空间站，当飞船运动到合适的位置再加速，回到原轨道，即可追上空间站，B正确，D错误；若飞船先加速，它的轨道半径将增大，但运行速度减小，再减速故而追不上空间站，C错误． 1．(卫星变轨)回收嫦娥五号返回器采用了“太空水漂”技术。先让返回器高速进入大气层，再借助大气提供的升力跃出大气层，然后再扎入大气层，返回地面。”下图为其示意图，虚线大圆为大气层的边界，已知地球半径为，点到地心的距离为，地球表面重力加速度为。下列说法正确的是（　　） A. 航天器从到运动过程中处于完全失重状态 B. 航天器从到点的机械能一直减小 C. 航天器运动到点时的加速度为 D. 航天器在点和点的速度相同 【答案】C 【详解】A．航天器从到的运动是曲线运动，合力指向曲线内侧，由此可知航天器有竖直向上的加速度分量，航天器处于超重状态，A错误； B．航天器从点到点，有大气阻力做负功，航天器机械能减小，航天器从点到点只有引力做功，航天器机械能不变，因此航天器从到点的过程中，航天器的机械能先减小后不变，B错误； C．航天器运动到点时，万有引力提供加速度 又因为 解得 C正确； D．从点到点外力做功为零，航天器在点和点的速度大小相同，方向不同，D错误。故选C。 2、如图，在发射地球同步卫星的过程中，卫星首先进入椭圆轨道Ⅰ，然后在Q点通过改变卫星速度，让卫星进入地球同步轨道Ⅱ．则下列说法中的错误的有（　　） A. 在轨道Ⅰ上，卫星在P点的速度大于在Q点的速度 B. 卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度小于第一宇宙速度7.9km/s C. 在轨道Ⅱ上经过Q的加速度大于在轨道Ⅰ上经过Q的加速度 D. 卫星在Q点通过加速实现由轨道Ⅰ进入轨道Ⅱ 【答案】C 【详解】A．在轨道Ⅰ上，由P点向Q点运动，万有引力做负功，动能减小，所以P点的速度大于Q点的速度，A正确； B．7.9km/s是第一宇宙速度，是卫星绕地球做匀速圆周运动的最大速度，所以卫星在同步轨道Ⅱ上的运行速度小于第一宇宙速度7.9km/s，B正确； C．在同一个点，受到的万有引了是相同的，所以在轨道Ⅱ上经过Q的加速度等于在轨道Ⅰ上经过Q的加速度，C错误； D．卫星在轨道Ⅰ上的Q点，需加速，做离心运动，进入轨道Ⅱ，D错误。 故选C。 3．图为嫦娥五号奔月过程示意图，点和点分别为嫦娥五号的近地变轨位置和近月变轨位置，关于嫦娥五号，下列说法正确的是（　　） A. 嫦娥五号在轨道②上经过点时的加速度小于在轨道③上经过点时的加速度 B. 嫦娥五号在轨道①上运行的机械能等于在轨道②上运行的机械能 C. 嫦娥五号在轨道④上由点无动力运动到点过程中，其动能先减小后增大 D. 嫦娥五号由轨道④进入轨道⑤，需要在点点火加速 【答案】C 【详解】A．探测器在不同轨道上A点的位置相同，受到的万有引力相同，根据F=ma知加速度相等，故A错误； B．嫦娥五号在轨道①变轨到轨道②时需要点火加速做离心运动，此过程中机械能增大，则嫦娥五号在轨道①上运行时的机械能小于在轨道②上运行时的机械能，故B错误； C．嫦娥五号在轨道④上由A点无动力运动到B点过程中，刚开始的时候地球对嫦娥五号的引力大于月球对嫦娥五号的引力，引力做负功，所以动能要减小，之后当地球的引力小于月球的引力时，引力做正功，卫星的动能就开始增大，故C正确； D．嫦娥五号由轨道④进入轨道⑤，做近心运动，所需要的向心力要小于提供的向心力，所以需要在B点点火减速，故D错误。故选C。 题型二　双星或多星模型 1．双星模型 (1)模型构建：绕公共圆心转动的两个星体组成的系统，我们称之为双星系统，如图所示． (2)特点： ①各自所需的向心力由彼此间的万有引力提供，即 ＝m1ωr1，＝m2ω22r2 ②两颗星的周期及角速度都相同，即 T1＝T2，ω1＝ω2. ③两颗星的轨道半径与它们之间的距离关系为：r1＋r2＝L. 　　　　　 双星模型 例12017年，人类第一次直接探测到来自双中子星合并的引力波．根据科学家们复原的过程，在两颗中子星合并前约100 s时，它们相距约400 km，绕二者连线上的某点每秒转动12圈．将两颗中子星都看作是质量均匀分布的球体，由这些数据、万有引力常量并利用牛顿力学知识，可以估算出这一时刻两颗中子星(　　) A．质量之积 B．各自的质量 C．速率之和 D．各自的自转角速度 答案　C 解析　两颗中子星运动到某位置的示意图如图所示 每秒转动12圈，角速度已知 中子星运动时，由万有引力提供向心力得 ＝m1ω2r1① ＝m2ω2r2② l＝r1＋r2③ 由①②③式得＝ω2l，所以m1＋m2＝，质量之和可以估算，但不能估算各自的质量． 由线速度与角速度的关系v＝ωr得 v1＝ωr1④ v2＝ωr2⑤ 由③④⑤式得v1＋v2＝ω(r1＋r2)＝ωl，速率之和可以估算． 质量之积和各自的自转角速度无法求解，故选C. 1、(双星模型)有一对相互环绕旋转的超大质量双黑洞系统，如图7所示．若图中双黑洞的质量分别为M1和M2，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动．根据所学知识，下列说法中正确的是(　　) A．双黑洞的角速度之比ω1∶ω2＝M2∶M1 B．双黑洞的轨道半径之比r1∶r2＝M1∶M2 C．双黑洞的线速度大小之比v1∶v2＝M1∶M2 D．双黑洞的向心加速度大小之比a1∶a2＝M2∶M1 答案　D 解析　双黑洞绕连线的某点做匀速圆周运动的周期相等，所以角速度也相等，故A错误；双黑洞做匀速圆周运动的向心力由它们间的万有引力提供，向心力大小相等，设双黑洞的距离为L，由M1ω2r1＝M2ω2r2，得r1∶r2＝M2∶M1，故B错误；由v＝ωr得双黑洞的线速度大小之比为v1∶v2＝r1∶r2＝M2∶M1，故C错误；由a＝ω2r得双黑洞的向心加速度大小之比为a1∶a2＝r1∶r2＝M2∶M1，D正确． 课时精练 1．目前，在地球周围有许多人造地球卫星绕着它运转，其中一些卫星的轨道可近似为圆，且轨道半径逐渐变小．若卫星在轨道半径逐渐变小的过程中，只受到地球引力和稀薄气体阻力的作用，则下列判断正确的是(　　) A．卫星的动能逐渐减小 B．由于地球引力做正功，引力势能一定减小 C．由于稀薄气体阻力做负功，地球引力做正功，机械能保持不变 D．卫星克服稀薄气体阻力做的功等于引力势能的减小量 答案　B 解析　地球引力做正功，引力势能一定减小，卫星轨道半径变小，动能增大，由于稀薄气体阻力做负功，机械能减小，选项A、C错误，B正确；根据动能定理，卫星动能增大，卫星克服稀薄气体阻力做的功小于地球引力做的正功，而地球引力做的正功等于引力势能的减小量，所以卫星克服阻力做的功小于引力势能的减小量，选项D错误． 2．1970年成功发射的“东方红一号”是我国第一颗人造地球卫星，该卫星至今仍沿椭圆轨道绕地球运动．如图1所示，设卫星在近地点、远地点的速度分别为v1、v2，近地点到地心的距离为r，地球质量为M，引力常量为G.则(　　) A．v1＞v2，v1＝ B．v1＞v2，v1＞ C．v1＜v2，v1＝ D．v1＜v2，v1＞ 答案　B 解析　“东方红一号”环绕地球在椭圆轨道上运动的过程中，只有万有引力做功，因而机械能守恒，其由近地点向远地点运动时，万有引力做负功，卫星的势能增加，动能减小，因此v1＞v2；“东方红一号”离开近地点开始做离心运动，则由离心运动的条件可知G＜m，解得v1＞，B正确，A、C、D错误． 3．在地月系统中，若忽略其他星球的影响，可以将月球和地球看成在引力作用下都绕某点做匀速圆周运动；但在近似处理问题时，常常认为月球是绕地心做圆周运动．我们把前一种假设叫“模型一”，后一种假设叫“模型二”．已知月球中心到地球中心的距离为L，月球运动的周期为T.利用(　　) A．“模型一”可确定地球的质量 B．“模型二”可确定月球的质量 C．“模型一”可确定月球和地球的总质量 D．“模型二”可确定月球和地球的总质量 答案　C 解析　对于“模型一”，是双星问题，设月球和地球做匀速圆周运动的轨道半径分别为r和R，间距为L，运行周期为T，根据万有引力定律有G＝MR＝mr 其中R＋r＝L 解得M＋m＝ 可以确定月球和地球的总质量，A错误，C正确； 对于“模型二”，月球绕地球做匀速圆周运动，万有引力提供向心力，有G＝mL 解得地球的质量为M＝，可以确定地球的质量，无法确定月球的质量，B、D错误． 4.人造卫星的发射过程要经过多次变轨方可到达预定轨道．如图2所示，在发射地球同步卫星的过程中，卫星从圆轨道Ⅰ的A点先变轨到椭圆轨道Ⅱ，然后在B点变轨进入地球同步轨道Ⅲ，则下列说法正确的是(　　) A．该卫星的发射速度应大于11.2 km/s且小于16.7 km/s B．该卫星在轨道Ⅱ上经过A点时的加速度比在轨道Ⅲ上经过B点时的加速度小 C．该卫星在B点通过减速实现由轨道Ⅱ进入轨道Ⅲ D．若该卫星在轨道Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ上运动的周期分别为T1、T2、T3，则T1＜T2＜T3 答案　D 5．银河系的恒星中大约四分之一是双星，某双星由质量不等的星体S1和S2构成，两星在相互之间的万有引力作用下绕两者连线上某一定点C做匀速圆周运动．由天文观察测得其运动周期为T，S1到C点的距离为r1，S1和S2的距离为r，已知引力常量为G.由此可求出S2的质量为(　　) A. B. C. D. 答案　D 解析　取S1为研究对象，S1做匀速圆周运动，由牛顿第二定律得：G＝m1()2r1，得：m2＝，故D正确． 6．双星系统由两颗恒星组成，两恒星在相互引力的作用下，分别围绕其连线上的某一点做周期相同的匀速圆周运动．研究发现，双星系统演化过程中，两星的总质量、距离和周期均可能发生变化．若某双星系统中两星做圆周运动的周期为T，经过一段时间演化后，两星总质量变为原来的k倍，两星之间的距离变为原来的n倍，则此时圆周运动的周期为(　　) A.T B.T C.T D.T 答案　B 解析　设原来双星间的距离为L，质量分别为M、m，圆周运动的圆心距质量为m的恒星距离为r.双星间的万有引力提供向心力，对质量为m的恒星：G＝m()2·r，对质量为M的恒星：G＝M()2(L－r)，得G＝·L，即T2＝；则当总质量为k(M＋m)，间距为L′＝nL时，T′＝T，选项B正确． 7.2019年人类天文史上首张黑洞图片正式公布．在宇宙中当一颗恒星靠近黑洞时，黑洞和恒星可以相互绕行，从而组成双星系统．在相互绕行的过程中，质量较大的恒星上的物质会逐渐被吸入到质量较小的黑洞中，从而被吞噬掉，黑洞吞噬恒星的过程也被称之为“潮汐瓦解事件”．天鹅座X－1就是一个由黑洞和恒星组成的双星系统，它们以两者连线上的某一点为圆心做匀速圆周运动，如图3所示．在刚开始吞噬的较短时间内，恒星和黑洞的距离不变，则在这段时间内，下列说法正确的是(　　) A．它们的万有引力大小变小 B．它们的万有引力大小不变 C．恒星做圆周运动的轨道半径将变大，线速度也变大 D．恒星做圆周运动的轨道半径将变小，线速度也变小 答案　C 解析　质量较大的M1和质量较小的M2之间的万有引力F＝G，结合数学知识可知M1＝M2时，M1M2有最大值，根据题意，质量较小的黑洞M2吞噬质量较大的恒星M1，所以万有引力变大，A、B错误；对于两天体，万有引力提供向心力，有G＝M1R1，G＝M2R2，解得两天体质量的表达式M2＝R1，M1＝R2，两天体总质量的表达式M1＋M2＝(R1＋R2)＝，两天体的总质量不变，天体之间的距离L不变，所以天体运动的周期T不变，较小质量的黑洞M2质量增大，所以恒星做圆周运动的半径R1增大，根据v＝可知恒星的线速度增大，C正确，D错误． 第 15 页 共 27 页 学科网（北京）股份有限公司 $