专题8 平面向量（讲义）-2027版浙江省（单独考试）《数学二轮讲练测》 【解析版】

编写说明：2027版浙江省（单独考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 2027年浙江省（单独考试）《数学二轮讲练测》 专题8 平面向量 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 平面向量线性运算与坐标表示 向量加法坐标运算 2025-10 单选 3 向量坐标表示与共线向量 2024-18 单选 3 向量加法坐标运算 2023-18 单选 3 向量坐标表示 2022-4 单选 2 向量内积 向量内积坐标表示的运算 2026-8 单选 3 由向量夹角求参数范围 2022-27 填空 4 命题轨迹透视： 平面向量每年稳定考查，一般为1道选择题，少数年份出现填空题，分值3分，极少设置解答大题。依据中职数学课标，对向量的要求为：了解向量相关概念；掌握向量加减、数乘线性运算；了解向量坐标运算、数量积，不设置复杂综合难题，侧重基础概念与简单运算，面向中职学生认知水平，突出工具性，弱化复杂几何综合推演 。预测2027届高考中向量板块依旧保持1道小题（选择或填空），定位基础送分题，不会大幅提升难度，不会新增向量解答大题。取消旧考试大纲后，命题依据中职数学课程标准，考查范围基本不变，不会盲目对标普高向量综合题型。 【考点1：平面向量的线性运算与坐标表示】 1．（2025年浙江T10）已知正方形ABCD边长为，则的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题先确定各点坐标，再求向量坐标，最后相加即可. 【详解】因为正方形ABCD边长为， 所以， 可得点，，， 所以，， 所以. 故选：A. 2. （2024年浙江T18）在中，已知点的坐标为，点的坐标为，分别为边的中点，则向量的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形中位线的性质可知，再根据向量的坐标表示求出，即可得出向量的坐标. 【详解】在中，分别为边的中点， 所以为中以为底边的中位线， 所以， 因为点的坐标为，点的坐标为， 所以， 则. 故选：B. 3. （2023年浙江T18）已知点，向量，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先求向量,再根据点的坐标易得答案. 【详解】因为, 所以点坐标为. 故选:D. 4（2022年浙江T4）已知点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量的坐标表示先求，再求. 【详解】∵, ∴, ∴. 故选：D. 知识点1：平面向量线性运算的坐标表示 (1)两个向量和（差）的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以+=(+)+(+)=(+)+(+)，即+=(+,+).同理可得-=(-,-). 这就是说，两个向量和(差)的坐标分别等于这两个向量相应坐标的和(差). (2)向量数乘的坐标表示由=(x,y)，可得=x+y，则=(x+y)=x+y，即=(x,y). 这就是说，实数与向量的积的坐标等于用这个实数乘原来向量的相应坐标. 知识点2：平面向量长度（模）的坐标表示 若=(x,y)，则或. 其含义是：向量的长度(模)等于向量的横、纵坐标平方和的算术平方根. 如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为(,)，(,)，那么=(-,-)，||=. 知识点3：平面向量位置关系的坐标表示 (1)共线的坐标表示 ①两向量共线的坐标表示 设=(,)，=(,)，其中≠0.我们知道，，共线的充要条件是存在实数，使=.如果用坐标表示，可写为(,)=(,)，即，消去，得-=0.这就是说，向量， (≠0)共线的充要条件是-=0. ②三点共线的坐标表示 若A(,)，B(,)，C(,)三点共线，则有=， 从而(-,-)=(-,-)，即(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-)， 或由=得到(-)(-)=(-)(-). 由此可知，当这些条件中有一个成立时，A,B,C三点共线. 【温馨提醒】 易错点1：混淆向量平行（共线）与向量相等 向量平行（共线）只代表方向相同或相反，长度不一定相等；相等向量要求长度相等+方向完全相同； 易错点2：向量数量积，误用实数乘法的消去律 数量积不满足消去律：，只说明，不一定有 易错点3：，但不等价于 易错点4：零向量陷阱 （1） 向量方向任意； （2） 与任意向量平行（共线），和任意向量数量积为0 易错点5：向量夹角范围 向量夹角范围，两向量夹角为钝角不反向共线，很多考生只记得，漏掉排除反向共线这个条件，直接丢分。 题型1 向量线性运算的坐标表示 1. （2025届浙江温州市三模）已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 2.（2025届浙江省职教高考研究联合体高三第四次联合考试）已知向量，向量，则（   ） A． B． C． D． 3.（2024届浙江省温州市单独考试三模数学试题）已知点，，O为坐标原点，则（    ） A． B． C． D． 4.（2024届浙江省职教高考联合体高三二模）若则的坐标为（    ） A． B． C． D． 5.（2023浙江省职教高考研究联合体第三次调研考试数学试题）如图所示，在矩形中，向量的坐标为______. 6.（2026届浙江台州市第二次高职模拟考试数学试卷）如图所示，在平面直角坐标系中，正方形的边长为3，若，则的坐标是__________.    题型2 由线性运算结果求参数 7.（2023届浙江省职教高考研究联合体高三第三次联合考试）已知，，且，则x和y的值分别为（    ） A．， B．， C．， D．， 8. 已知平面向量，，，则x，y的值分别是（    ） A．，1 B．， C．，5 D．5，13 9. 已知向量，且，则______. 10. 若已知，，，则___________；若已知，则与的值分别为___________. 题型3 利用坐标求向量的模 11. （2023届浙江省宁波市高职复习第三次模拟考试）已知向量，，则是（    ） A． B．4 C．10 D． 12.（2022届浙江省高职考试研究联合体第四次调研考试）已知向量，，则（    ） A．10 B． C． D． 13. 若，，且，则（    ）． A．4 B． C． D． 14已知平面向量，且，则（    ） A． B． C． D． 15. 已知，则__________. 16. 已知，，则________. 题型4 共线向量的坐标表示及应用 17.已知向量，，且，共线，则实数的值是（    ） A． B． C． D． 18. 已知向量，，若，则（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 19.已知，且，则（    ） A． B． C．1 D．4 20.已知向量，，．若三点共线，则（   ） A． B． C．11 D． 21. 已知，两点，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 22.已知向量，，若，则结论正确的是（   ） A． B． C． D． 23. 已知，，且，则________． 24. 平面向量与的方向相反，则实数______． 25. 已知向量，，若，则实数________. 【答案与解析】 1. 【答案】A 【知识点】向量线性运算的坐标表示 【分析】由向量线性运算的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量，， 则. 故选：A. 2【答案】C 【知识点】向量线性运算的坐标表示 【分析】根据平面向量线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】因为向量，向量， 所以， 故选：. 3【答案】A 【知识点】向量线性运算的坐标表示 【分析】先求出的坐标，再由向量坐标的加法运算计算即可. 【详解】因为点，，O为坐标原点， 所以， 所以. 故选：A. 4【答案】B 【知识点】向量线性运算的坐标表示 【分析】利用向量数乘运算易得答案. 【详解】因为, 所以. 故选:B. 5【答案】 【知识点】向量线性运算的坐标表示 【分析】根据向量的坐标运算即可解得. 【详解】由图可知，，，， 则， . 故答案为： 6【答案】 【知识点】向量线性运算的坐标表示、向量的坐标表示 【分析】结合图象求出各点的坐标，根据向量的坐标表示以及向量线性运算的坐标表示即可求解. 【详解】因为，所以，则， 又，， 所以. 故答案为：. 7【答案】C 【知识点】由向量线性运算结果求参数、向量线性运算的坐标表示、向量减法的运算律、向量数乘的有关计算 【分析】根据向量的运算法则即可求解. 【详解】由题意得解得 故选：C 8【答案】D 【知识点】由向量线性运算结果求参数 【分析】利用向量线性运算的坐标表示即可得解. 【详解】因为，， 所以， 又，所以，则. 故选：D. 9【答案】2 【知识点】由向量线性运算结果求参数 【分析】根据题意，结合向量线性运算的坐标表示，即可求解. 【详解】因为向量，且， 所以，故. 故答案为：2. 10【答案】 ， 【知识点】由向量线性运算结果求参数、向量线性运算的坐标表示 【分析】利用向量线性运算的坐标表示可得的坐标，计算的坐标，列方程可得与的值. 【详解】因为，，，所以， ， 所以，， 所以，， 故答案为：；，. 11【答案】D 【知识点】向量线性运算的坐标表示、利用坐标求向量的模 【分析】应用向量坐标的运算求出的坐标，再求其模长即可. 【详解】因为向量，， 所以， 所以. 故选:D. 12【答案】A 【知识点】利用坐标求向量的模 【分析】由平面向量坐标的运算及向量的模的运算即可求解. 【详解】由于根据平面向量坐标的运算可得. . . 故选:A. 13【答案】C 【知识点】向量线性运算的坐标表示、利用坐标求向量的模 【分析】根据向量坐标的减法计算和向量的模计算即可解得. 【详解】由题，， 则， 又知， 即，解得， 故选：C 14【答案】D 【知识点】向量线性运算的坐标表示、利用坐标求向量的模、由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量的平行的坐标关系求出的值，算出，根据模长公式即可得解. 【详解】平面向量，且. 所以，解得. 所以. 所以. 所以. 故选：. 15【答案】6 【知识点】向量线性运算的坐标表示、利用坐标求向量的模 【分析】根据向量线性运算的坐标表示和向量模的坐标表示，即可求解. 【详解】由题意得，，. 所以. 故答案为：. 16【答案】 【知识点】向量线性运算的坐标表示、利用坐标求向量的模 【分析】根据向量运算的坐标表示及向量模的坐标表示计算即可. 【详解】∵，，∴， ∴， ∴. 故答案为：. 17【答案】D 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由向量共线的坐标表示即可得解. 【详解】且共线. . 解得. 故选:. 18【答案】D 【知识点】向量减法的法则、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量坐标的运算和向量平行的坐标表示即可解得 【详解】由题，， 又知， 则， 解得， 故选：D 19【答案】A 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】由已知，根据向量共线的坐标表示可求解. 【详解】由已知，根据向量共线的坐标表示可得， ， 解得. 故选：A 20【答案】C 【知识点】向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】由三点共线，根据向量平行的坐标表示即可得解. 【详解】∵向量，，， ∴， ∵A，C，D三点共线，∴， ∴，解得. 故选：C. 21【答案】C 【知识点】向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】设点，根据代入，即可得解. 【详解】设，则，. ∵，∴， 即， 可得解得 ∴. 故选：C. 22【答案】B 【知识点】向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】先利用向量线性运算的坐标表示，得两平行向量的坐标，再根据向量平行的坐标表示，列式可求解. 【详解】由题可得 ，. 又因为， 所以，化简得. 故选：B 23【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数 【分析】根据平行向量的性质求解. 【详解】∵，，且， ∴，得到. 故答案为：. 24【答案】 【知识点】平面向量共线定理的辨析、由向量共线（平行）求参数 【分析】先利用向量平行的坐标表示求得参数的值，再根据向量共线定理进行检验即可得解. 【详解】由题可得， ，解得， 当时，，，此时， 所以向量与的方向相同，不符合题意，舍去； 当时，，，此时， 所以向量与的方向相反，符合题意. 综上所述，. 故答案为： 25【答案】 【知识点】向量线性运算的坐标表示、由向量共线（平行）求参数 【分析】根据向量线性运算以及向量平行的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量，， 所以. 因为，所以，解得. 故答案为：. 【考点2：平面向量的内积】 1.（2026年浙江T8）已知点，，，求（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意结合平面向量的坐标表示及内积的坐标表示即可得解. 【详解】点，，， 则，， 所以， 故选：. 2. （2022年浙江T27）已知点，若动点使得，则实数t的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的内积运算，即可求解. 【详解】己知点和动点， 则， ， ， 得， 则实数t的取值范围为， 故答案为： 知识点1：平面向量数量积的坐标表示 (1)平面向量数量积的坐标表示 由于向量=(,)，=(,)等价于=+，=+，所以=(+)(+)=+++.又=1，=1，==0，所以=+.这就是说，两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. 知识点2：平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角. (1)数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. (2)模：|a|＝＝. (3)夹角：cos θ＝＝. (4)两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. (5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·. 知识点3：平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律). (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律). (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律). 【常用结论】 1．平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a＋b)·(a－b)＝a2－b2； (2)(a±b)2＝a2±2a·b＋b2. 2．有关向量夹角的两个结论 已知向量a，b. (1)若a与b的夹角为锐角，则a·b>0；若a·b>0，则a与b的夹角为锐角或0. (2)若a与b的夹角为钝角，则a·b<0；若a·b<0，则a与b的夹角为钝角或π. 题型1 向量内积的坐标表示与运算 1. 已知向量，，则（    ） A． B． C． D． 2.（2026届浙江省职教高考研究联合体高三第三次联合考试）已知向量，且，则（   ） A．5 B． C．10 D． 3.（2026届浙江省职教高考研究联合体第四次联合考试）已知向量，向量，则（   ） A． B．2 C． D．4 4.（2026届浙江省职教高考研究联合体适应性考试数学试卷）已知向量，向量，则（   ） A．0 B． C．4 D． 5. 设向量，则__________. 6. 已知向量，若，则________． 题型2 向量垂直的坐标表示 7. （2026届浙江省职教高考研究联合体第五次联考）已知向量，向量，且，则实数（   ） A．10 B．6 C．5 D． 8.（2026届浙江职教高考嘉兴、宁波第三次模拟考试）已知向量，，若，则（   ） A． B．9 C． D．4 9. 已知向量，若，则（ ） A． B．2 C． D．－2 10. 已知点，，，若与垂直则实数（    ） A． B． C． D． 11. 已知、为向量，向量，______（平行或垂直）. 12. 已知向量，，若，则的坐标为_____ 题型3 向量内积的应用（求参数，求夹角） 13. 已知向量，满足，，若，则（   ） A． B． C．1 D．0 14. 设，且，则x等于（    ） A． B． C． D． 15. 已知向量，若，则角（   ） A． B． C． D． 16.已知向量，且，则m=（　　） A．2 B． C．0 D． 17. 若向量，，则与的夹角等于（    ）. A． B． C． D． 18. 设，．若与的夹角为钝角，则m的取值范围是（ ） A． B． C． D． 19. 已知向量，向量，则_________，与的夹角为 _____________________（结果用弧度表示）. 20. 已知向量，，则________. 【答案与解析】 1【答案】B 【知识点】用定义求向量的内积 【分析】根据向量数量积的坐标运算公式求解. 【详解】向量与的内积计算公式为， 代入计算可得. 故选：B. 2【答案】A 【知识点】利用坐标求向量的模、用定义求向量的内积 【分析】根据题意利用模长公式求出，代入内积公式即可得解. 【详解】，则， ∴， 故选：. 3【答案】B 【知识点】内积的坐标表示 【分析】由向量的数量积运算的坐标表示求解即可. 【详解】向量，向量， 则. 故选：B. 4【答案】A 【知识点】向量线性运算的坐标表示、内积的坐标表示 【分析】根据向量减法及向量内积的坐标运算求解. 【详解】， . 故选：A. 5【答案】5 【知识点】向量线性运算的坐标表示、内积的坐标表示 【分析】根据向量的线性运算的坐标表示及内积的坐标表示可求解. 【详解】由已知，可得 ，， 所以. 故答案为：5 6【答案】 【知识点】由向量共线（平行）求参数、内积的坐标表示 【分析】利用向量平行求出，再计算 由，则，解得， ， ． 7【答案】D 【知识点】利用向量垂直求参数 【分析】根据平面向量垂直的性质列出方程即可得解. 【详解】向量，向量，且， 则，解得， 故选：. 8【答案】D 【知识点】利用内积求参数 【分析】根据平面向量内积的坐标表示即可得解. 【详解】向量，，且， 则，解得， 故选：. 9【答案】B 【知识点】已知弦（切）求切（弦）、利用向量垂直求参数 【分析】利用向量垂直的坐标表示得到等式，进而由同角三角函数的基本关系式求解即可. 【详解】因为，且， 所以， 则，又，所以. 故选：B． 10【答案】B 【知识点】向量线性运算的坐标表示、利用向量垂直求参数 【分析】首先由三点坐标得到向量的坐标，再利用向量垂直的坐标表示列出式子，计算得到答案. 【详解】已知点，，， 则，， 已知,由向量垂直的坐标表示，可得，解得， 故选：B. 11【答案】平行 【知识点】向量垂直的坐标表示、平行向量（共线向量） 【分析】通过判断两向量对应坐标的比例关系来确定两向量是平行还是垂直. 【详解】因为向量，， 所以. 故向量与平行. 故答案为：平行. 12【答案】或 【知识点】向量垂直的坐标表示、坐标计算向量的模 【分析】设的坐标为，再由向量垂直的坐标表示和向量模的坐标表示列方程求解即可. 【详解】已知向量，， 设的坐标为，由， 可得，即， 解得或， 所以的坐标为或， 故答案为：或. 13【答案】B 【知识点】利用内积求参数 【分析】根据向量内积的坐标表示求解即可. 【详解】因为向量，满足，，且， 所以，解得. 故选：B. 14【答案】A 【知识点】利用内积求参数 【分析】根据向量内积的坐标运算列方程求解即可. 【详解】已知， 由可得， 即，解得. 故选：A. 15【答案】B 【知识点】利用内积求参数、已知三角函数值求角 【分析】根据向量的内积的坐标表示列式，再由特殊角的三角函数值即可解答. 【详解】已知向量， 则， 所以，因为， 所以， 故选：B. 16【答案】C 【知识点】利用内积求参数、向量夹角的坐标表示 【分析】根据向量夹角的坐标公式列方程求解即可. 【详解】因为向量，所以， 解得. 故选：C. 17【答案】C 【知识点】向量线性运算的坐标表示、向量夹角的坐标表示 【分析】根据向量的数乘和加减运算求出与的坐标，再利用向量的夹角公式求出夹角. 【详解】已知，，可得， 则；， 可得：；， ， 设与的夹角为， 可得：， 因为两向量夹角的范围是，所以. 故选：C. 18【答案】D 【知识点】利用内积求参数、由向量共线（平行）求参数 【分析】由数量积坐标定义结合向量平行的坐标表示即可计算求解. 由题意可得， 所以. 故选：D 19【答案】 【知识点】向量夹角的坐标表示、内积的坐标表示 【分析】利用平面向量的内积的坐标运算求，利用向量夹角公式求出与的夹角. 【详解】∵，，∴， ∵，， 设与的夹角为，∴， ∵，∴. 故答案为：，. 20【答案】 【知识点】利用坐标求向量的模、向量夹角的坐标表示、内积的坐标表示 【分析】根据题意结合夹角公式即可得解. 【详解】向量，， ， 因为， 所以. 故答案为：. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $