10.1 计数原理（练习）-2027年山东省（春季高考）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》练习 专题十 10.1 计数原理 【考点1 分类计数原理】 1.若从4名男生和3名女生中任选一名担任班长，则不同的选法种数有(  ) A.7种 B.12种 C.16种 D.9种 2.现某学校自愿组成数学建模社团，其中高一年级3人，高二年级4人，高三年级6人，选其中一人为负责人，有多少种不同的选法?(  ) A.13 B.78 C.18 D.20 3.某服务可走快捷入口6个之一，也可走咨询入口4个之一，小李只选一个入口，选择数为(  ) A. B. C.6 D.4 4.从甲站到乙站，可乘公交条线路或地铁条线路，若只选一种交通方式，则路线选择共有(  ) A.条 B.条 C.5条 D.3条 5.某景区出口有东门个、西门个、南门个，游客只从一个出口离开，共有______种选择. 6.书架上有工具书本、文学书本，任取一本共有______种取法. 7.一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有小球的颜色各不相同，从两个口袋内任取1个小球，有________种取法． 【考点2 分步计数原理】 8.使用分步计数原理时，各步骤(  ) A.缺一不可 B.互相替代 C.只需任选一步 D.方法数必须相同 9.代数式展开后共有(  ) A.7项 B.12项 C.64项 D.81项 10.若x，y分别在0，1，2，…，10中取值，则点在第一象限中的个数是(  ) A.100 B.99 C.121 D.81 11.有3封信，4个信筒，把3封信都寄出，寄信方法种数为(  ) A.64 B.32 C.12 D.8 12.书架上有5本不同的课外书，有3位同学每人从书架上各取一本，不同取法的种数是(  ) A.10 B.60 C.125 D.243 13.从甲地经乙地到丙地，甲乙有5条路、乙丙有3条路，则去程有(  )种 A.8 B.10 C.15 D.30 14.某人用这个数字来设定6位数的支付宝密码，则此人最多有(  )个密码可供选择． A. B. C. D. 15.有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中任取多面体和旋转体各1个，则不同取法的种数是(  ) A.14 B.23 C.48 D.120 16.下列情境适合把方法数相乘的是(  ) A.从两类手册中只取一本 B.先定班次再定座位 C.从三个窗口任选一个 D.纸质或电子任选一种 17.某登记表要么选纸质模板一种，要么选电子模板并设置字体，纸质模板种，电子模板种，字体种，则选择方法共有(  )种 A. B. C. D. 18.设学校图书馆一楼到二楼有4个楼梯可走，从二楼以上都有三个楼梯可走，则从一楼到五楼的不同的走法有几种？(  ) A.4 B.13 C.108 D.24 19.某地到终点可直达，汽车3班、火车2班；也可经中转站，前段4班、后段3班. (1)直达有多少种； (2)中转有多少种； (3)总共有多少种？ 【考点1 分类计数原理】 20.在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数共有(  ) A.30个 B.35个 C.36个 D.50个 21.下列情形适合直接相加计数的是(  ) A.乘公交或骑车任选一种方式到校 B.先选上衣再选裤子 C.先编号再装订 D.先登记再缴费 22.设椭圆的焦点在轴上，其中，，则满足上述条件的椭圆个数为(  ) A. B. C. D. 23.某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动，选2个班参加社会实践，要求这2个班不同年级，有__________种不同的选法． 【考点2 分步计数原理】 24.某校一年级有四个班，4位老师各教一个班的数学，在该年级某次数学考试中，要求每位数学老师均不在本班监考，则不同的监考安排方法种数是(  ) A.8 B.9 C.12 D.24 25.十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有(  ) A.24种 B.16种 C.12种 D.10种 26.小李进行手机银行转账时，忘记了账户密码的前两位，只记得第一位是，，中的一个字母，第二位是5，6，7，8中的一个数字，则小李输入一次密码，能够成功登录手机银行账户的概率是(  ) A. B. C. D. 27.甲、乙两人计划从，，三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有(  ) A.3种 B.6种 C.9种 D.12种 28．三名同学每人均从崂山，大珠山，艾山和大泽山四座山中任选一座山旅游，则这四座山中仅有崂山未被选中的概率为(  ) A. B. C. D. 29.用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(  ) A.243 B.252 C.261 D.279 30.从名男生和名女生中选人参加演讲，或选男女参加双人展示，两类方案合计(  ) A.种 B.种 C.种 D.种 31.用红、蓝、黄、绿四种不同颜色的涂料涂在图中1，2，3，4的四个区域内，若一个区域只涂一种颜色的涂料，且有公共边的相邻区域不能涂同一种颜色的涂料，则共有种涂法(  ) A.24 B.32 C.48 D.56 32.某职业学校毕业典礼上原定的6个学生节目已排成节目单，开演前又增加了3个教师节目，如果将这3个教师节目插入节目单中，那么不同的插法种数为(  ) A. B. C. D. 33.将一个骰子先后抛掷两次，其中向上的点数之和是6的概率为______(用分数表示). 34.二次函数，其中，，由此得到不同的二次函数的个数有__________个. 35.现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营． (1)若从中选1人作为总负责人，共有多少种不同的选法？ (2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？ (3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种不同的选法？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》练习 专题十 10.1 计数原理 【考点1 分类计数原理】 1.若从4名男生和3名女生中任选一名担任班长，则不同的选法种数有(  ) A.7种 B.12种 C.16种 D.9种 【答案】A 【分析】运用分类加法计数原理求解. 【详解】从名男生中任选一名担任班长，有种不同的选法， 从名女生中任选一名担任班长，有种不同的选法， 则不同的选法种数共有种， 故选:A. 2.现某学校自愿组成数学建模社团，其中高一年级3人，高二年级4人，高三年级6人，选其中一人为负责人，有多少种不同的选法?(  ) A.13 B.78 C.18 D.20 【答案】A 【分析】根据分类加法计数原理直接计算即可. 根据题意，选择其中一人为负责人，共有三种情况： 若选出的是高一学生，有3种情况； 若选出的是高二学生，有4种情况； 若选出的是高三学生，有6种情况. 由分类加法计数原理可得：共有种不同的选法. 故选:A 3.某服务可走快捷入口6个之一，也可走咨询入口4个之一，小李只选一个入口，选择数为(  ) A. B. C.6 D.4 【答案】B 【分析】使用分类加法计数原理即可得出结果. 【详解】由题意可得，选择数. 故选:B 4.从甲站到乙站，可乘公交条线路或地铁条线路，若只选一种交通方式，则路线选择共有(  ) A.条 B.条 C.5条 D.3条 【答案】A 【分析】根据题意，结合分类加法计数原理，即可求解. 【详解】由题意，公交线路与地铁线路是并列选择，故共有条路线选择. 故选:A. 5.某景区出口有东门个、西门个、南门个，游客只从一个出口离开，共有______种选择. 【答案】6 【分析】根据分类计数原理求解． 【详解】根据题意，不同方向出口互不重叠，所以选择方法共种. 故答案为:6. 6.书架上有工具书本、文学书本，任取一本共有______种取法. 【答案】15 【分析】根据题意，结合分类加法计数原理，即可求解. 【详解】由题意，任取一本共有种取法. 故答案为:15. 7.一个口袋内装有3个小球，另一个口袋内装有4个小球，所有小球的颜色各不相同，从两个口袋内任取1个小球，有________种取法． 【答案】7 【分析】根据分类计数原理即可得解. 【详解】从两个口袋内任取1个小球，有种取法． 故答案为:. 【考点2 分步计数原理】 8.使用分步计数原理时，各步骤(  ) A.缺一不可 B.互相替代 C.只需任选一步 D.方法数必须相同 【答案】A 【分析】根据分步计数原理的运用即可求解. 【详解】使用分步计数原理时，各步骤缺一不可. 故选:A. 9.代数式展开后共有(  ) A.7项 B.12项 C.64项 D.81项 【答案】B 【分析】根据分步计数原理即可求解. 【详解】由题意得，代数式的展开分为两步， 第一步，从第一个括号里任选一个字母(连同符号)有三种取法， 第二步，从第二个括号里任选一个字母(连同符号)有四种取法. 所以代数式展开后共有项. 故选:B. 10.若x，y分别在0，1，2，…，10中取值，则点在第一象限中的个数是(  ) A.100 B.99 C.121 D.81 【答案】A 【分析】第一象限的点的坐标是横坐标大于0，纵坐标大于0，选出点的横坐标，共有10种结果，再选出纵坐标，共有10种结果，根据分步计数原理得到结果． 【详解】第一象限的点的坐标特点，横坐标大于0，纵坐标大于0， 首先选出点的横坐标，共有10种结果， 再选出纵坐标，共有10种结果， 根据分步乘法计数原理知共有种结果. 故选:A． 11.有3封信，4个信筒，把3封信都寄出，寄信方法种数为(  ) A.64 B.32 C.12 D.8 【答案】A 【分析】需分3步完成，第一步，寄出1封信，第二步，再寄出1封信，第三步，寄出最后1封信，分别求得其方法数，根据分步计数原理可求解. 【详解】分3步完成寄出3封信的任务： 第一步，寄出1封信，有4种方法； 第二步，再寄出1封信，有4种方法； 第三步，寄出最后1封信，有4种方法，完成任务， 根据分步计数原理，共有种寄信方法. 故选:A 12.书架上有5本不同的课外书，有3位同学每人从书架上各取一本，不同取法的种数是(  ) A.10 B.60 C.125 D.243 【答案】B 【分析】根据分步计数原理即可求解. 【详解】有5本不同课外书，有3位同学，每人各取一本， 则有种取法. 故选:B. 13.从甲地经乙地到丙地，甲乙有5条路、乙丙有3条路，则去程有(  )种 A.8 B.10 C.15 D.30 【答案】C 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】由题意得，甲乙有5条路、乙丙有3条路，则从甲地经乙地到丙地去程有种. 故选:C. 14.某人用这个数字来设定6位数的支付宝密码，则此人最多有(  )个密码可供选择． A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据分步计数原理求解. 【详解】由题可知密码各位数字都可重复， 则共有个密码可供选择， 故选:A. 15.有5个不同的棱柱、3个不同的棱锥、4个不同的圆台、2个不同的球，若从中任取多面体和旋转体各1个，则不同取法的种数是(  ) A.14 B.23 C.48 D.120 【答案】C 【分析】利用分类计数原理和分步计数原理即可得解. 【详解】分两步：第1步，取多面体，分两类， 可以从5个不同的棱柱或3个不同的棱锥中取一个， 根据分类加法计数原理有(种)不同的取法； 第2步，取旋转体，分两类，可以从4个不同的圆台或2个不同的球中取一个， 根据分类加法计数原理有(种)不同的取法． 所以根据分步乘法计数原理知不同的取法种数是． 故选:C． 16.下列情境适合把方法数相乘的是(  ) A.从两类手册中只取一本 B.先定班次再定座位 C.从三个窗口任选一个 D.纸质或电子任选一种 【答案】B 【分析】根据分类计数原理及分步计数原理的定义即可得解. 【详解】从两类手册中只取一本，适用于分类计数原理，故错误； 先定班次再定座位，两项都要完成，适用于分步计数原理，方法数相乘，故正确； 从三个窗口任选一个，适用于分类计数原理，故错误； 纸质或电子任选一种，适用于分类计数原理，故错误； 故选:. 17.某登记表要么选纸质模板一种，要么选电子模板并设置字体，纸质模板种，电子模板种，字体种，则选择方法共有(  )种 A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据计数原理求解. 【详解】纸质模板种；电子模板需再选字体，有种， 所以选择方法共有种. 故选:D . 18.设学校图书馆一楼到二楼有4个楼梯可走，从二楼以上都有三个楼梯可走，则从一楼到五楼的不同的走法有几种？(  ) A.4 B.13 C.108 D.24 【答案】C 【分析】根据分步乘法计数原理求解即可. 【详解】因为一楼到二楼有4个楼梯可走，从二楼以上都有三个楼梯可走， 所以从二楼到三楼有3个楼梯可走，从三楼到四楼有3个楼梯可走，从四楼到五楼有3个楼梯可走， 进而从一楼到五楼的不同的走法有种. 故选:C. 19.某地到终点可直达，汽车3班、火车2班；也可经中转站，前段4班、后段3班. (1)直达有多少种； (2)中转有多少种； (3)总共有多少种？ 【答案】(1)5种 (2)12种 (3)17种 【分析】(1)根据分类计数原理即可得解. (2)根据分步计数原理即可得解. (3)根据计数原理的应用即可得解. 【详解】(1)某地到终点可直达，汽车3班、火车2班，则直达的有种. (2)某地到终点可经中转站，前段4班、后段3班，共有种. (3)某地到终点可直达也可中转，则有种. 【考点1 分类计数原理】 20.在所有的两位数中，个位数字比十位数字大的两位数共有(  ) A.30个 B.35个 C.36个 D.50个 【答案】C 【分析】按个位数字的不同情况讨论，由分类加法计数原理得出结果. 【详解】个位数字是9，则十位数字可以是1，2，3，4，5，6，7，8中的一个，共有8个； 个位数字是8，则十位数字可以是1，2，3，4，5，6，7中的一个，共有7个； 个位数字是7，则十位数字可以是1，2，3，4，5，6中的一个，共有6个； 个位数字是6，则十位数字可以是1，2，3，4，5中的一个，共有5个； 个位数字是5，则十位数字可以是1，2，3，4中的一个，共有4个； 个位数字是4，则十位数字可以是1，2，3中的一个，共有3个； 个位数字是3，则十位数字可以是1，2中的一个，共有2个； 个位数字是2，则十位数字是1，共有1个； 由分类加法计数原理知，满足条件的两位数有个． 故选:C. 21.下列情形适合直接相加计数的是(  ) A.乘公交或骑车任选一种方式到校 B.先选上衣再选裤子 C.先编号再装订 D.先登记再缴费 【答案】A 【分析】根据分类和分步计数原理的适用情况即可得出结果. 【详解】选项:公交、骑车二选一，一步完成，适合加法； 选项:先上衣、后裤子，两步，分步乘法； 选项:先编号、后装订，两步，分步乘法； 选项:先登记、后缴费，两步，分步乘法. 故选: 22.设椭圆的焦点在轴上，其中，，则满足上述条件的椭圆个数为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据椭圆的焦点在轴上，得出，再分别列出所有可能，即可解答. 【详解】已知椭圆的焦点在轴上， 则，且，， 当时，，有6个， 当时，，有5个， 当时，，有4个， 当时，，有3个， 当时，，有2个， 由分类加法计数原理得(个). 故选:A. 23.某校高中部，高一有6个班，高二有7个班，高三有8个班，学校利用星期六组织学生到某厂进行社会实践活动，选2个班参加社会实践，要求这2个班不同年级，有__________种不同的选法． 【答案】146 【分析】根据分类加法计数原理易得答案. 【详解】选2个班参加社会实践，这2个班不同年级， 若2个班为高一和高二各一个班有， 若2个班为高二和高三各一个班有， 若2个班为高三和高一各一个班有， 所以不同的选法共有42+56+48=146. 故答案为:． 【考点2 分步计数原理】 24.某校一年级有四个班，4位老师各教一个班的数学，在该年级某次数学考试中，要求每位数学老师均不在本班监考，则不同的监考安排方法种数是(  ) A.8 B.9 C.12 D.24 【答案】B 【分析】根据分步计数原理分析即可求解. 【详解】设四个班分别是A，B，C，D，对应的数学老师分别是，，，． 让老师先选，可从B，C，D班中选一个，有3种选法， 不妨假设老师选的是B，则老师从剩下的三个班级中任选一个，有3种选法， 剩下的两位老师都只有1种选法，由分步乘法计数原理， 知共有种不同的安排方法． 故选:B. 25.十字路口来往的车辆，如果不允许掉头，则行车路线共有(  ) A.24种 B.16种 C.12种 D.10种 【答案】C 【分析】车的行驶路线起点有4种，行驶方向有3种，按分步计数原理可得结果. 【详解】根据题意，车的行驶路线起点有4种，行驶方向有3种， 所以行车路线共有(种) 故选:C 26.小李进行手机银行转账时，忘记了账户密码的前两位，只记得第一位是，，中的一个字母，第二位是5，6，7，8中的一个数字，则小李输入一次密码，能够成功登录手机银行账户的概率是(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】由古典概型的应用即可得解. 【详解】密码的前两位共有种可能， 所以小李输入一次密码能够成功登录手机银行账户的概率是. 故选:B. 27.甲、乙两人计划从，，三个景点中各选择两个游玩，则两人所选景点不全相同的选法共有(  ) A.3种 B.6种 C.9种 D.12种 【答案】B 【分析】根据乘法计数原理结合排除法即可求解. 【详解】甲、乙两人从，，三个景点中各选两个游玩，共有3×3=9(种)， 但两人所选景点不能完全相同，所以排除3种完全相同的选择，故共有种选法. 故选:B. 28．三名同学每人均从崂山，大珠山，艾山和大泽山四座山中任选一座山旅游，则这四座山中仅有崂山未被选中的概率为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】利用乘法原理、古典概型概率计算公式可得答案. 【详解】三名同学去旅游的所有情况有种情况， 仅有崂山未被选中的情况有种情况， 所以这四座山中仅有崂山未被选中的概率为. 故选:C. 29.用0，1，…，9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为(  ) A.243 B.252 C.261 D.279 【答案】B 【分析】由分步乘法计数原理，先求组成三位数的个数，再求组成没有重复数字的三位数的个数，利用剔除法可求解. 【详解】由分步乘法计数原理知， 用0，1，…，9十个数字组成三位数的个数为:， 组成没有重复数字的三位数的个数为:， 所以可以组成有重复数字的三位数的个数为:. 故选:B 30.从名男生和名女生中选人参加演讲，或选男女参加双人展示，两类方案合计(  ) A.种 B.种 C.种 D.种 【答案】B 【分析】根据分类计数原理与分步计数原理求解即可. 【详解】从名男生和名女生中选人参加演讲，方案有种， 从名男生和名女生中选男女参加双人展示，方案有种， 则两类方案合计种. 故选:B. 31.用红、蓝、黄、绿四种不同颜色的涂料涂在图中1，2，3，4的四个区域内，若一个区域只涂一种颜色的涂料，且有公共边的相邻区域不能涂同一种颜色的涂料，则共有种涂法(  ) A.24 B.32 C.48 D.56 【答案】C 【分析】按照区域编号的顺序依次确定每个区域的涂色方法数，然后根据分步乘法计数原理求得结果. 【详解】根据题意，分四步进行涂色： 第一步，涂区域1，有4种颜色可选； 第二步，涂区域2，由于区域2与区域1相邻，颜色不能相同，故有3种颜色可选； 第三步，涂区域3，由于区域3与区域1、区域2均相邻，且区域1与区域2颜色不同，故区域3有种颜色可选； 第四步，涂区域4，由于区域4与区域2、区域3均相邻，且区域2与区域3颜色不同（因为它们相邻），故区域4有种颜色可选. 根据分步乘法计数原理，共有种不同的涂法. 故选:C. 32.某职业学校毕业典礼上原定的6个学生节目已排成节目单，开演前又增加了3个教师节目，如果将这3个教师节目插入节目单中，那么不同的插法种数为(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据分步计数原理计算即可. 【详解】6个节目共有个空， 第一步，插入第一个教师节目，有7种方法， 7个节目形成个空， 第二步，插入第二个教师节目，有8种方法， 8个节目形成个空， 第三步，插入第三个教师节目，有9种方法． 故共有种不同的插法． 故选：A. 33.将一个骰子先后抛掷两次，其中向上的点数之和是6的概率为______(用分数表示). 【答案】 【分析】先求出将一个骰子先后抛掷两次的基本事件总数为36，再用列举法求出两次点数之和为6包含的基本事件的个数，根据古典概型计算公式可求解． 【详解】设｛向上的点数之和是6｝，由题知 一个骰子先后抛掷两次，共有36个基本事件，而事件A包含共5个基本事件， 根据古典概型计算公式，可得. 故答案为: 34.二次函数，其中，，由此得到不同的二次函数的个数有__________个. 【答案】180 【分析】根据二次函数的二次项，其他项没有要求求解即可. 【详解】在二次函数中，，则a有5种选择， 其中b与c都有6种选法， 由此得到不同的二次函数的个数有个. 故答案为:180. 35.现有高一学生50人，高二学生42人，高三学生30人，组成冬令营． (1)若从中选1人作为总负责人，共有多少种不同的选法？ (2)若每年级各选1名负责人，共有多少种不同的选法？ (3)若从中推选两人作为中心发言人，要求这两人要来自不同的年级，则有多少种不同的选法？ 【答案】(1)122 (2)63000 (3)4860 【分析】(1)利用分类加法计数原理将三个年级人数相加即可； (2)利用分步乘法计数原理将三个年级人数相乘即可； (3)结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理分为三类，每一类分成两步相乘再求和即可. 【详解】(1)从高一选1人作为总负责人有50种选法； 从高二选1人作为总负责人有42种选法； 从高三选1人作为总负责人有30种选法． 由分类加法计数原理，可知共有50(种)选法． (2)从高一选1名负责人有50种选法； 从高二选1名负责人有42种选法； 从高三选1名负责人有30种选法． 由分步乘法计数原理，可知共有(种)选法． (3)①从高一和高二中各选1人作为中心发言人，有(种)选法； ②从高二和高三中各选1人作为中心发言人，有(种)选法； ③从高一和高三中各选1人作为中心发言人，有(种)选法． 故共有(种)选法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $