10.1 计数原理（讲义）-2027年山东省（春季高考）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明:2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 概率与统计 10.1 计数原理 【复习目标】 掌握分类、分步计数原理，会用这两个原理解决有关问题. 【知识梳理内容】 考点1 分类计数原理 1.完成一件事情，有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法，…，在第n类方法中有mn种不同方法，无论哪一类的哪一种方法，都可以完成这件事，那么完成这件事共有N＝ 种不同方法． 2.分类计数原理是分类计数方法，又称为加法原理；即完成这件事的方法总数等于各类方法数之 . 3.分类计数原理——一步完成. 【即时训练】 1.某实训任务只能选用手工登记、扫码登记或语音登记中的一种，三类方式分别有2，4，3个入口，可选入口总数为(  ) A. B. C. D. 2.中职生技能大赛设置了焊接、汽修、护理3个专业类别，每个类别各有2个项目，一名学生选择一个项目参赛，不同的选法有(  ) A.3种 B.5种 C.6种 D.12种 3.从甲地到乙地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发5次，火车发6次，轮船发2次，则一天内乘坐这三种交通工具的不同走法种数为(  ) A.5 B.7 C.11 D.13 4.某处办理业务可选择自助机2台中的一台，或人工窗口3个中的一个，选择一个办理入口的方法数为(  ) A. B. C. D. 5.由数字1，2，3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为(  ) A.15 B.12 C.10 D.5 6.设集合，A与B是U的不同子集，若，则称为一个“理想匹配”，规定与是两个不同的“理想匹配”，那么符合条件的“理想匹配”的个数是(  ) A.8 B.9 C. D. 7.某学校要从甲、乙两个年级选学生参加市里的演讲比赛，其中甲年级有3名男生、2名女生符合条件，乙年级有2名男生、4名女生符合条件，若只选1名学生参加比赛(不分年级与性别)，则共有___________种不同的选法． 8.甲将一颗骰子抛掷一次，所得向上的点数为，则方程，有两个不相等实根的情况为________种. 考点2 分步计数原理 1.完成一件事情，需要分n个步骤，做第一步共有m1种不同方法，做第二步有m2种不同方法，…，做第n步有mn种不同方法，必须经过每一步骤才能完成这件事，那么完成这件事共有N＝ 种不同方法． 2.分步计数原理是分步计数方法，又称为 法原理；即完成这件事的方法总数等于各步方法数之 ． 3.分步计数原理——一步不能完成，需多个步骤才能完成. 【即时训练】 9.由数字1，2，3，4能组成数字允许重复的三位数的个数是(  ) A.12 B.24 C.81 D.64 10.从5名男生和4名女生中各选1名代表，有(  )种 A.9 B.10 C.16 D.20 11.现有3本不同的语文辅导书和4本不同的数学辅导书，从中任选2本书，恰有1本语文辅导书的选法有(  )种． A.12 B.7 C.4 D.3 12.现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则不同的安排种数是(  ) A.10 B.5 C.32 D.25 13.由数字0，1，2，3组成各位数字允许重复的三位数的个数为(  ) A.24 B.48 C.64 D.81 14.景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同走法的种数是(  ) A.6 B.10 C.12 D.20 15.解决计数应用题时，最先应判断的是(  ) A.是分类还是分步 B.数字是否相等 C.是否能开平方 D.是否有图形面积 16.某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是(  ) A. B. C. D. 17.5名同学参加同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择参加其中的1个讲座，则不同选择的种数是(  ) A.20 B.60 C.125 D.243 18.从甲地到乙地，每天有直达汽车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，则从甲地到乙地不同的乘车方法有(  ) A.12种 B.19种 C.32种 D.60种 19.二十大报告指出，在过去的五年，人民生活水平日益提高，居住环境不断改善，全国已改造棚户区住房四千二百多万套．某辖区原定的3个小区已安排好开工顺序，开工前又有2个小区也需要改造，现要把这2个小区插入到原先安排的计划中，那么不同的安排种数为(  ) A.12 B.20 C.36 D.120 20.某活动可选一个室内项目，或选一个室外项目并配一名教练，其中室内项目4个、室外项目个、教练人，方案数为(  ) A.种 B.种 C.种 D.种 21.甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为(  ) A. B. C. D. 22.代码由1个字母和3个互不相同的数字组成.字母可从A、B、C中选，数字从1、2、3、4中选. (1)字母有多少种选择； (2)三位数字有多少种顺序； (3)代码总数是多少？ 23.现有来自高一4个班的学生34人，其中7人、8人、9人、10人分别来自一、二、三、四班，他们自愿组成数学课外小组． (1)从来自同一班的学生中各选1名组长，共有多少种不同的选法？ (2)推选2人做中心发言，这2人须来自不同的班级，共有多少种不同的选法？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题10 概率与统计 10.1 计数原理 【复习目标】 掌握分类、分步计数原理，会用这两个原理解决有关问题. 【知识梳理内容】 考点1 分类计数原理 1.完成一件事情，有n类方法，在第一类方法中有m1种不同方法，在第二类方法中有m2种不同方法，…，在第n类方法中有mn种不同方法，无论哪一类的哪一种方法，都可以完成这件事，那么完成这件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn种不同方法． 2.分类计数原理是分类计数方法，又称为加法原理；即完成这件事的方法总数等于各类方法数之和. 3.分类计数原理——一步完成. 【即时训练】 1.某实训任务只能选用手工登记、扫码登记或语音登记中的一种，三类方式分别有2，4，3个入口，可选入口总数为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据题意，结合分类加法计数原理即可求解. 【详解】因为只能从三种中选一种，选择手工登记有2种方法，选择扫码登记有4种方法，选择语音登记有3种方法， 所以可选入口的总数为种. 故选:C. 2.中职生技能大赛设置了焊接、汽修、护理3个专业类别，每个类别各有2个项目，一名学生选择一个项目参赛，不同的选法有(  ) A.3种 B.5种 C.6种 D.12种 【答案】C 【分析】先按 “专业类别” 分类，再统计每类的项目数，最后求和即可. 【详解】选择参赛项目分3类： ①焊接类，有2种项目；②汽修类，有2种项目；③护理类，有2种项目. 根据分类加法原理，总选法数为种. 故选:C. 3.从甲地到乙地，可乘汽车、火车、轮船三种交通工具，如果一天内汽车发5次，火车发6次，轮船发2次，则一天内乘坐这三种交通工具的不同走法种数为(  ) A.5 B.7 C.11 D.13 【答案】D 【分析】利用分类加法计数原理求解. 【详解】任选1种交通工具，分3类， 从汽车中任选1个有5种，从火车中任选1个有6种，从轮船中任选1个有2种， ∴不同的取法种数为种. 故选:D. 4.某处办理业务可选择自助机2台中的一台，或人工窗口3个中的一个，选择一个办理入口的方法数为(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】使用分类加法计数原理即可得出结果. 【详解】自助机2种，人工窗口3种，总方法数. 故选: 5.由数字1，2，3组成的无重复数字的整数中，偶数的个数为(  ) A.15 B.12 C.10 D.5 【答案】D 【分析】写出组成一位整数，两位整数，三位整数中偶数的情况即可得解. 【详解】当组成一位整数，偶数有； 当组成两位整数，其中偶数有，； 当组成三位整数，其中偶数有，； 所以共有偶数5个， 故选:. 6.设集合，A与B是U的不同子集，若，则称为一个“理想匹配”，规定与是两个不同的“理想匹配”，那么符合条件的“理想匹配”的个数是(  ) A.8 B.9 C. D. 【答案】A 【分析】根据理想匹配的概念一一列举，再由分类计数原理计算即可. 【详解】已知集合，且A与B是U的不同子集， 因为， 若，则，，，共个“理想匹配”， 若，则，，共个“理想匹配”， 若，则，，共个“理想匹配”， 若，则，共个“理想匹配”， 所以符合条件的“理想匹配”的个数是个， 故选:A. 7.某学校要从甲、乙两个年级选学生参加市里的演讲比赛，其中甲年级有3名男生、2名女生符合条件，乙年级有2名男生、4名女生符合条件，若只选1名学生参加比赛(不分年级与性别)，则共有___________种不同的选法． 【答案】11 【分析】根据题意结合加法计数原理即可得解. 【详解】选1名学生参加比赛可分为两类： 从甲年级选，或从乙年级选．从甲年级选，符合条件的学生有人，即有5种不同的选法； 从乙年级选，符合条件的学生有人，即有6种不同的选法， 根据加法计数原理，总选法数为两类选法数之和:(种)， 故答案为:. 8.甲将一颗骰子抛掷一次，所得向上的点数为，则方程，有两个不相等实根的情况为________种. 【答案】4 【分析】根据方程有两个不相等的实根列不等式，求出的取值范围，即可解答. 【详解】因为方程有两个不相等实根， 所以，解得或， 可取3，4，5，6，共4种. 故答案为:4. 考点2 分步计数原理 1.完成一件事情，需要分n个步骤，做第一步共有m1种不同方法，做第二步有m2种不同方法，…，做第n步有mn种不同方法，必须经过每一步骤才能完成这件事，那么完成这件事共有N＝m1×m2×…×mn种不同方法． 2.分步计数原理是分步计数方法，又称为乘法原理；即完成这件事的方法总数等于各步方法数之积． 3.分步计数原理——一步不能完成，需多个步骤才能完成. 【即时训练】 9.由数字1，2，3，4能组成数字允许重复的三位数的个数是(  ) A.12 B.24 C.81 D.64 【答案】D 【分析】根据分步计数原理可求解. 【详解】第一步，排百位，共有4种排法；第二步，排十位，共有4种排法；第三步，排个位，共有4种排法. 所以组成三位数的个数为:(种) 故选:D 10.从5名男生和4名女生中各选1名代表，有(  )种 A.9 B.10 C.16 D.20 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理即可求解. 【详解】从5名男生和4名女生中各选1名代表，有种选法. 故选:D. 11.现有3本不同的语文辅导书和4本不同的数学辅导书，从中任选2本书，恰有1本语文辅导书的选法有(  )种． A.12 B.7 C.4 D.3 【答案】A 【分析】根据分步计数原理求解即可； 【详解】依次任选1本语文辅导书和1本数学辅导书， 根据分步计数原理，共有(种)可能， 故选:A 12.现有5位老师，若每人随机进入两间教室中的任意一间听课，则不同的安排种数是(  ) A.10 B.5 C.32 D.25 【答案】C 【分析】根据题意，结合分步乘法计数原理，即可求解. 【详解】由题意，5位老师每个人都有2种不同的选择， 根据分步乘法计数原理可得，不同的安排种数是种. 故选:C. 13.由数字0，1，2，3组成各位数字允许重复的三位数的个数为(  ) A.24 B.48 C.64 D.81 【答案】B 【分析】根据分步计数原理求解. 【详解】三位数百位上的数字只可能是1，2，3，有3种可能. ∵各位数字允许重复，∴十位上的数字有4种可能，个位上的数字有4种可能. 根据分步计数原理，三位数的总个数为:. 故选:B. 14.景区中有一座山，山的南面有2条道路，山的北面有3条道路，均可用于游客上山或下山，假设没有其他道路，某游客计划从山的一面走到山顶后，接着从另一面下山，则不同走法的种数是(  ) A.6 B.10 C.12 D.20 【答案】C 【分析】利用分步计数原理即可得出答案. 【详解】上山有2种，下山有3种，或者上山有3种，下山有2种，符合分步计数原理，. 故选:C. 15.解决计数应用题时，最先应判断的是(  ) A.是分类还是分步 B.数字是否相等 C.是否能开平方 D.是否有图形面积 【答案】A 【分析】根据分类计数原理与分步计数原理即可得解. 【详解】在计数问题中，判断是分类计数还是分步计数是解决计数应用题的首要步骤， 而数字是否相等、是否能开平方、是否有图形面积与计数应用题的核心判断并无直接关联， 故选:A. 16.某班级计划举办手抄报展览，确定了“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，若小明和小亮每人随机选择其中一个主题，则他们恰好选择同一个主题的概率是(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】由分步计数原理和古典概型概率公式计算即可. 【详解】小明从“5G时代”、“北斗卫星”、“高铁速度”三个主题，选择一个共有种情况， 小亮也有种情况，故小明和小亮选择主题的所有可能为种， 他们恰好选择同一个主题有种情况， 故他们恰好选择同一个主题的概率是. 故选:C. 17.5名同学参加同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择参加其中的1个讲座，则不同选择的种数是(  ) A.20 B.60 C.125 D.243 【答案】D 【分析】根据分步乘法计数原理即可得解. 【详解】5名同学参加同时举行的3个课外知识讲座，每名同学可自由选择参加其中的1个讲座， 则每名同学可以选择的种数为， 所以名同学可以选择的种数为， 故选:. 18.从甲地到乙地，每天有直达汽车4班，从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车，则从甲地到乙地不同的乘车方法有(  ) A.12种 B.19种 C.32种 D.60种 【答案】B 【分析】由分类和分步计数原理计算即可. 【详解】因为从甲地到乙地，每天有直达汽车4班，方法数为种， 从甲地到丙地，每天有5个班车，从丙地到乙地，每天有3个班车， 所以从甲地经过丙地到乙地的乘车的方法数为种， 所以从甲地到乙地不同的乘车方法有种. 故选:B. 19.二十大报告指出，在过去的五年，人民生活水平日益提高，居住环境不断改善，全国已改造棚户区住房四千二百多万套．某辖区原定的3个小区已安排好开工顺序，开工前又有2个小区也需要改造，现要把这2个小区插入到原先安排的计划中，那么不同的安排种数为(  ) A.12 B.20 C.36 D.120 【答案】B 【分析】分二步，第一步，先将第一个小区插入到原先安排的计划中，共有4种方法；第二步，插入第二个小区，此时有5个空，故有5种不同的方法，根据分步计数原理可求解. 【详解】分二步，第一步，先将第一个小区插入到原先安排的计划中，共有4种方法； 第二步，插入第二个小区，此时有5个空，故有5种不同的方法. 按分步计数原理可知，不同的安排种数为:(种). 故选:B 20.某活动可选一个室内项目，或选一个室外项目并配一名教练，其中室内项目4个、室外项目个、教练人，方案数为(  ) A.种 B.种 C.种 D.种 【答案】A 【分析】根据题意，结合分类加法计数原理和分步乘法计数原理，即可求解. 【详解】由题意，选室内项目有种方案，选室外项目有种方案， 故共有方案数种. 故选：A. 21.甲、乙、丙三人去看电影，每人可在《惊蛰无声》、《飞驰人生3》、《熊猫计划之部落奇遇记》、《重返狼群》、《熊出没·年年有熊》五部电影中任选一部，则三人看同一部电影的概率为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【详解】根据题意，三人的选择组合共有种， 其中看同一部电影的情况有种， 所以三人看同一部电影的概率为． 22.代码由1个字母和3个互不相同的数字组成.字母可从A、B、C中选，数字从1、2、3、4中选. (1)字母有多少种选择； (2)三位数字有多少种顺序； (3)代码总数是多少？ 【答案】(1)3种 (2)24种 (3)72种 【分析】(1)直接选取可选字母数量即可. (2)分步选取不同数字，利用分步乘法计数原理计算排列数即可. 3结合前两问结果，用分步乘法计数原理求代码总数即可. 【详解】(1)字母从A、B、C 中选取，一共有3种选择. (2)从4个数字中选3个互不相同数字依次排列. 第一位数字有4种选择，第二位剩余3种，第三位剩余2种. 即三位数字种顺序. (3)由题意，先选字母，再选三位数字排列，即代码总数是种. 23.现有来自高一4个班的学生34人，其中7人、8人、9人、10人分别来自一、二、三、四班，他们自愿组成数学课外小组． (1)从来自同一班的学生中各选1名组长，共有多少种不同的选法？ (2)推选2人做中心发言，这2人须来自不同的班级，共有多少种不同的选法？ 【答案】(1)5040 (2)431 【分析】(1)由分步乘法计算原理即可求解； (2)先分2人来自哪两个班，再用分步乘法计算原理求解. (1)分四步:第一、二、三、四步分别为从一、二、三、四班的学生中选1名组长． 所以，共有(种)不同的选法． (2)分六类，每一类又分两步： 从一、二班的学生中各选1人，有(种)不同的选法； 从一、三班的学生中各选1人，有(种)不同的选法； 从一、四班的学生中各选1人，有(种)不同的选法； 从二、三班的学生中各选1人，有(种)不同的选法； 从二、四班的学生中各选1人，有(种)不同的选法； 从三、四班的学生中各选1人，有(种)不同的选法． 所以，共有(种)不同的选法． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $