9.5平面与平面的位置关系（练习）-2027年山东省（春季高考）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》练习 专题九 9.5 平面与平面的位置关系 【考点1 两平面的位置关系及平面与平面平行】 1.若点平面，平面，则与的位置关系是(  ) A.平行 B.相交 C.异面 D.无法确定 2.若两个平面平行，则任一第三平面与它们相交所得交线(存在时)(  ) A.平行 B.垂直 C.重合为一点 D.必定异面 3.下列说法正确的是(  ) A.若两个平面没有公共点，则它们平行 B.若一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 C.若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行 D.若两个平面都垂直于同一条直线，则它们相交 4.给出下列四个命题： ①垂直于同一平面的两条直线相互平行； ②若两条直线与同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行； ③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行； ④若一条直线垂直于一个平面内任意直线，那么这条直线垂直于这个平面． 其中真命题的个数是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 5.设a，b是两条直线，，是两个平面，若，，则“”是“”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 6.下列结论中错误的个数为(  ) ①垂直于同一直线的两条直线相互平行； ②垂直于同一平面的两个平面相互平行； ③垂直于同一平面的两条直线相互平行； ④平行于同一直线的两个平面相互平行． A.0个 B.2个 C.3个 D.4个 7.设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题正确的是(  ) A.若，，，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则 8.如图，在三棱锥中，，，分别是棱，，SC的中点.求证:平面平面． 9.在正方体中，平面与平面的位置关系是____________. 10.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，且分别是和的中点，，．    (1) 若G为的中点，求证:平面平面PAB； (2)若，求直线与平面所成角的正切值． 【考点2 二面角及平面与平面的垂直】 11.二面角大小通常用哪一种角度量(  ) A.棱长 B.平面角 C.面积 D.高度 12.折纸时一侧纸面绕折痕翻起.若表示翻起程度的平面角变大，则二面角大小(  ) A.变大 B.变小 C.不变 D.一定为 13.二面角的棱是两个半平面的(  ) A.任意边 B.中线 C.公共边 D.高 14.在正方体中，平面与平面所成的角为(  ) A. B. C. D. 15.下列命题错误的是(  ) A.如果两个平面所成的角是90°，那么两个平面互相垂直. B.如果平面内一条直线与平面垂直，那么与垂直. C.如果，且交线为，经过内一点的直线，那么 D.如果两个平面垂直，那么在一个平面内与交线垂直的直线必垂直于另一个平面. 16.已知，表示平面，，表示直线，下面命题中正确的是(  ) A.若，，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则 17.若两个平面所成二面角为直角，可记为______ . 18.若平面内有直线，且，则与的关系为______. 19.若，交线为，且，则______. 20.有三个平面，若，则与的位置关系是_______. 21.二面角中，点，射线，，且，.若，求该二面角的大小. 22.如图，在直三棱柱中，，.求二面角的正弦值. 23.如图所示，在正四棱锥中，O是正方形对角线的交点，平面，是的中点.求证：    (1)平面； (2)平面平面. 【考点1 两平面的位置关系及平面与平面平行】 24.如图，在三棱锥中，已知，点分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的个数是(  )    ①平面 ②平面平面 ③是直线与直线所成的角 ④是与平面所成的角 A.1 B.2 C.3 D.4 25.已知m，n是两条直线，是三个平面，则下列说法正确的是(  ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 26.如图，在正方体中，为的中点，为上的动点，当平面时，点的位置为__________．    27.如图所示，在四棱锥中，平面，底面是矩形，分别是，，的中点．    (1)求证:平面平面； (2)若，，，求四棱锥的体积． 28.如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，底面，，M为的中点，为的中点.    (1)证明:直线平面； (2)求点B到平面的距离. 【考点2 二面角及平面与平面的垂直】 29.过正方形的顶点作平面，且，则平面与平面所成的二面角的大小为(  ) A. B. C. D. 30.圆柱底面圆上有三点A，B，C，，母线长等于，直径AB为2，，点是过点的母线的上底面端点，求平面EAC与底面ABC所成的二面角的大小(  )    A. B. C. D. 31.若表示直线，表示平面；①若，则； ②若，，，则； ③若，m和l不互相垂直，则m和β不互相垂直； ④若，，则. 其中正确的命题是(  ) A.②③ B.②④ C.③④ D.①③ 32.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的为(  ) A.若，，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，，则 33.已知正方形的边长为1，分别取的中点E，F，连结，以为折痕折叠，使点重合于点P，求：    (1)二面角的平面角的正弦值； (2)三棱锥的体积． 34. 如图所示，已知四棱锥中，，，底面，且.    (1)证明:平面平面； (2)求与平面所成角的正切值. 1.(2026年山东省春季高考数学真题)如图所示，在长方形中，已知，，E，F分别为，的中点，将长方形沿折成直二面角，使点A，D分别到点P，Q的位置，连接，． (1)证明:平面； (2)求点E到平面的距离. 2.(2023年山东省春季高考数学真题)如图所示，在三棱锥中，平面平面，且D，E，F分别是SC，AC，BC的中点，的边长都是2，． (1)求证:平面平面； (2)求直线SC与平面所成角的正弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》练习 专题九 9.5 平面与平面的位置关系 【考点1 两平面的位置关系及平面与平面平行】 1.若点平面，平面，则与的位置关系是(  ) A.平行 B.相交 C.异面 D.无法确定 【答案】B 【分析】根据题意利用平面与平面的位置关系即可得解. 【详解】因为点平面，平面， 所以与相交于过点的一条直线， 所以与的位置关系是相交， 故选:. 2.若两个平面平行，则任一第三平面与它们相交所得交线(存在时)(  ) A.平行 B.垂直 C.重合为一点 D.必定异面 【答案】A 【分析】利用面面平行的性质定理即可得出结果. 【详解】根据面面平行的性质定理可知， 平行平面被第三平面所截，所得交线互相平行. 故选:A 3.下列说法正确的是(  ) A.若两个平面没有公共点，则它们平行 B.若一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行 C.若一个平面内的两条直线分别平行于另一个平面，则这两个平面平行 D.若两个平面都垂直于同一条直线，则它们相交 【答案】A 【分析】平面与平面平行、相交的定义及判定即可选出正确答案. 【详解】A选项:根据平面平行的定义：如果两个平面没有公共点，那么这两个平面互相平行，A选项正确； B选项:若一个平面内的无数条直线都平行于另一个平面，不能保证这两个平面平行， 只有一个平面内的任意一条直线都平行于另一个平面，才能得到这两个平面平行，B选项错误； C选项:根据平面平行的判定定理：一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面，才能判定这两个平面平行，若仅为两条直线（如两条平行直线），无法保证平面平行，C选项错误； D选项:根据空间几何性质：若两个平面都垂直于同一条直线，那么这两个平面互相平行，而非相交，D选项错误. 故选:A 4.给出下列四个命题： ①垂直于同一平面的两条直线相互平行； ②若两条直线与同一个平面所成的角相等，则这两条直线平行； ③若一个平面内有无数条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面平行； ④若一条直线垂直于一个平面内任意直线，那么这条直线垂直于这个平面． 其中真命题的个数是(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】B 【分析】对于①和④，一条直线垂直于一个平面内的任一直线，那么这条直线垂直于这个平面判断即可，对于②和③举出错误反例即可． 【详解】对①:由线面垂直性质定理可知:垂直于同一平面的两条直线相互平行，故①正确； 对②:两条直线与同一平面所成角相等，直线不一定平行， 例如:圆锥的两条母线，与底面夹角相同，但两母线相交，故②错误； 对③:无数条直线都平行另一平面，不能推出面面平行， 如下图:显然平面内有无数条直线都与平面平行但与相交，故③错误； 对④:若一条直线垂直平面内任意一条直线，说明这条直线垂直平面内两条相交直线， 符合线面垂直定义，故④正确； 综上所述:真命题的个数是2. 故选:B. 5.设a，b是两条直线，，是两个平面，若，，则“”是“”的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】A 【分析】结合面面平行、线面垂直的性质判断充分性，再通过线线垂直、线面垂直的关系分析平面的可能位置判断必要性. 【详解】充分性证明:若，由，可得. 又，因此，即，故充分性成立. 必要性证明:若，已知， 此时平面与可能相交，只要平行于与的交线，即可满足， 不一定有，因此必要性不成立. 综上，“”是“”的充分不必要条件. 故选:A. 6.下列结论中错误的个数为(  ) ①垂直于同一直线的两条直线相互平行； ②垂直于同一平面的两个平面相互平行； ③垂直于同一平面的两条直线相互平行； ④平行于同一直线的两个平面相互平行． A.0个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】C 【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面的位置关系逐个分析即可. 【详解】垂直于同一直线的两条直线可能平行、相交或异面，①错误， 垂直于同一平面的两个平面可能平行或相交，②错误， 垂直于同一平面的两条直线相互平行，③正确， 平行于同一直线的两个平面可能平行或相交，④错误， 错误的结论共3个． 故选:C． 7.设，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，下列命题正确的是(  ) A.若，，，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则 【答案】B 【分析】根据题意结合线面平行，面面平行的判定及性质即可得解. 【详解】A选择中，因为一个平面内的两条相交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行， 因为m，n未说明是两条相交直线，故错误； B选项中，因为，则内的任何直线都与平行，故正确； C选项中，若，，则或，故错误； D选项中，，，则或，故错误； 故选:B. 8.如图，在三棱锥中，，，分别是棱，，的中点．求证：平面平面． 【答案】证明见解析 【分析】利用面面平行的判定定理可得答案. ，分别是棱，的中点， 是的中位线，． 平面，平面， 平面． 同理可得平面． 又，平面，平面， ∴平面平面． 9.在正方体中，平面与平面的位置关系是____________. 【答案】平行 【分析】根据线面平行及面面平行的判定定理求解即可. 【详解】在正方体中，平面， 所以平面， 又平面， 所以平面， 又平面，, 所以平面平面. 故答案为:平行.    10.如图，在四棱锥中，底面为矩形，底面，且分别是和的中点，，．    (1) 若G为的中点，求证:平面平面PAB； (2)若，求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)根据面面平行的判定定理证明即可. (2)首先由线面垂直的判定定理证出底面，得出为直线与平面所成的角，再由直角三角形中正切函数的定义求值即可. 【详解(1)证明:，，分别是，，的中点， ，， 且，， 平面，平面， ∴平面平面. (2)∵底面为矩形，， 底面，， 且，平面， 平面，因为平面， ，与平面所成的角就是， ，，， ，，， ． 【考点2 二面角及平面与平面的垂直】 11.二面角大小通常用哪一种角度量(  ) A.棱长 B.平面角 C.面积 D.高度 【答案】B 【分析】根据二面角的定义，二面角的大小用它的平面角来度量，据此即可直接选出正确答案. 【详解】根据二面角的定义，二面角的大小用它的平面角来度量， 故选:B 12.折纸时一侧纸面绕折痕翻起.若表示翻起程度的平面角变大，则二面角大小(  ) A.变大 B.变小 C.不变 D.一定为 【答案】A 【分析】二面角大小由平面角度量，平面角变大时二面角也变大. 【详解】折纸时一侧纸面绕折痕翻起.若表示翻起程度的平面角变大， 则二面角大小也变大， 故选:. 13.二面角的棱是两个半平面的(  ) A.任意边 B.中线 C.公共边 D.高 【答案】C 【分析】根据二面角的定义求解即可. 【详解】二面角的棱是两个半平面相交得到的公共直线，也就是公共边. 故选:C. 14.在正方体中，平面与平面所成的角为(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据正方体的性质找到二面角的平面角即可得解. 【详解】    如图所示，在正方体中，平面，平面，平面， 则，，又平面与平面相交于， 所以为平面与平面所成的角的平面角， 在直角中，，则， 即平面与平面所成的角为， 故选:. 15.下列命题错误的是(  ) A.如果两个平面所成的角是90°，那么两个平面互相垂直. B.如果平面内一条直线与平面垂直，那么与垂直. C.如果，且交线为，经过内一点的直线，那么 D.如果两个平面垂直，那么在一个平面内与交线垂直的直线必垂直于另一个平面. 【答案】C 【分析】根据平面与平面垂直的定义、判定定理及性质即可得解. 【详解】选项：如果两个平面所成的角是90°，那么两个平面互相垂直，故正确； 选项：如果平面内一条直线与平面垂直，那么与垂直，故正确； 选项C：若，且交线为，经过内的一点的直线， 直线可能不在平面内，因此不一定垂直于平面，故错误； 选项：如果两个平面垂直，那么在一个平面内与交线垂直的直线必垂直于另一个平面，故正确， 故选:C. 16.已知，表示平面，，表示直线，下面命题中正确的是(  ) A.若，，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，则 【答案】D 【分析】根据空间中线线、线面、面面的垂直与平行的判定及性质定理，逐一验证各选项的正误即可. 【详解】选项A:若，，则直线与平面的位置关系可能为或，故A错误. 选项B:若，，则直线与平面的位置关系可能为、相交或，故B错误. 选项C:若，，则直线的位置为或，故C错误. 选项D:由线面垂直的性质定理可知，垂直于同一个平面的两条直线互相平行，即若，，则，故D正确. 故选:D. 17.若两个平面所成二面角为直角，可记为______ . 【答案】 【分析】根据平面与平面垂直的定义即可得解. 【详解】若两个平面所成二面角为直角，可记为 . 故答案为:. 18.若平面内有直线，且，则与的关系为______. 【答案】 【分析】根据面面垂直的定义即可求解. 【详解】一个平面经过另一个平面的一条垂线，则两平面垂直， 所以若平面内有直线，且，则与的关系为. 故答案为:. 19.若，交线为，且，则______. 【答案】⊥ 【分析】根据面面垂直的性质即可得解． 【详解】若，交线为，且，根据面面垂直的性质可知. 故答案为:⊥. 20.有三个平面，若，则与的位置关系是_______. 【答案】 【分析】根据两个平行平面中一个平面与第三个平面垂直，则另一个平面也与该第三个平面垂直的面面平行性质定理即可判断. 【详解】若，且，则也与垂直， 故答案为: 21.二面角中，点，射线，，且，.若，求该二面角的大小. 【答案】 【分析】根据题意找到二面角的平面角即可得解. 【详解】二面角中，点，射线，，且，， 为二面角的平面角，， 所以该二面角大小为. 22.如图，在直三棱柱中，，.求二面角的正弦值. 【答案】 【分析】根据二面角的定义，找出是二面角的平面角，结合等腰三角形的性质，勾股定理，以及直棱柱的结构即可求解. 【详解】 取的中点为，连接，，设， 在直三棱柱中，因为，所以， 又，所以， 所以是二面角的平面角， 在直角三角形中，， ，. 所以，故二面角的正弦值为. 23.如图所示，在正四棱锥中，O是正方形对角线的交点，平面，是的中点.求证：    (1)平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析. (2)证明见解析. 【分析】(1)根据题意利用线面平行的判定定理即可得解. (2)根据平面与平面垂直的判定定理即可得解. 【详解】(1)如图所示，连接.    因为O，E分别为，的中点，所以. 因为平面，平面，所以平面. (2)因为平面，平面，所以. 因为是正方形，所以， 又因为，平面， 所以平面. 又因为平面， 所以平面平面. 【考点1 两平面的位置关系及平面与平面平行】 24.如图，在三棱锥中，已知，点分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的个数是(  )    ①平面 ②平面平面 ③是直线与直线所成的角 ④是与平面所成的角 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【分析】根据面平面的判定定理，线面垂直的判定定理，线面角的定义即可求解. 【详解】对①，在三棱锥中，因为， 又平面，所以平面，故①正确. 对②，点分别是所在棱的中点，， 又平面平面， 所以平面平面，故②正确. 对③，因为是中点，所以， 则是直线与直线所成的角，故③正确. 对④，因为平面，所以平面，垂足， 则是在平面的投影，所以是与平面所成的角，故④错误. 即正确的个数有个. 故选:C. 25.已知m，n是两条直线，是三个平面，则下列说法正确的是(  ) A.若，则 B.若，则 C.若，则 D.若，则 【答案】B 【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面的位置关系逐项分析即可. 【详解】若，则可能平行，可能相交，故A错误， 若，则，故B正确， 若，则可能平行，相交或异面，故C错误， 若，则可能平行，可能相交，故D错误， 故选:B. 26.如图，在正方体中，为的中点，为上的动点，当平面时，点的位置为__________．    【答案】的中点 【分析】设平面与交于，利用线面平行与面面平行的性质可证得为平行四边形，进而得是的中位线，从而得出点的位置. 【详解】设平面与交于，连接，    当平面时， ∵平面，平面平面，∴， ∵平面平面，平面平面，平面平面， ∴，∴为平行四边形， 又为的中点，∴， ∵，∴， ∴是的中位线， ∴点是的中点. 故答案为:的中点. 27.如图所示，在四棱锥中，平面，底面是矩形，分别是，，的中点．    (1)求证:平面平面； (2)若，，，求四棱锥的体积． 【答案】(1)证明见详解 (2)2 【分析】(1)根据题意，结合面面平行的判定定理，即可求解； (2)根据题意，结合线面垂直的性质定理，及棱锥的体积公式，即可求解. 【详解】(1)因为分别是，，的中点， 所以, 又，平面，平面，平面，平面， 所以平面平面； (2)   连接，交于O，连接，则， 因为平面，所以平面，且， 又，，所以， 所以， 所以四棱锥的体积. 28.如图所示，在四棱锥中，底面是边长为2的菱形，，底面，，M为的中点，为的中点.    (1)证明:直线平面； (2)求点B到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)根据题意作出辅助线，利用平面与平面平行的判定定理及性质即可得解. (2)利用线面垂直的性质及勾股定理求出所需线段长度，根据等体积法结合棱锥的体积公式即可得解. 【详解】(1)    证明:取中点，连接， 因为M为的中点，为的中位线，则，，所以， 又平面，平面，所以平面， 为的中位线，则同理，平面， 又，平面， 所以平面平面， 因为平面，则直线平面. (2)   如图所示，连接，， 底面是边长为2的菱形，，所以， 因为底面，底面，则， 在中，， 同理底面，则， 在中，， 过点作，交于点， 因为，所以为等腰三角形，则为中点， 所以， ，， 设点B到平面的距离为， ，则，解得， 所以点B到平面的距离为. 【考点2 二面角及平面与平面的垂直】 29.过正方形的顶点作平面，且，则平面与平面所成的二面角的大小为(  ) A. B. C. D. 【答案】B 【分析】根据题意构造正方体，找到二面角的平面角，结合正方体的性质即可得解. 【详解】    如图所示，过正方形的顶点作平面，，还原成正方体， 所以平面与平面所成的二面角即为平面与平面所成的二面角， 平面平面， 在正方体中，，，所以为二面角的平面角， ， 所以平面与平面所成的二面角的大小为， 故选:. 30.圆柱底面圆上有三点A，B，C，，母线长等于，直径AB为2，，点是过点的母线的上底面端点，求平面EAC与底面ABC所成的二面角的大小(  )    A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据题意利用线面垂直的性质找到二面角的平面角即可求解. 【详解】因为平面，平面，所以， 又因为，，平面， 所以平面， 因为平面，所以， 平面底面，平面，底面， 所以为平面EAC与底面ABC所成的二面角的平面角， 因为平面，平面，所以， 又， 则， 因为为锐角，所以， 即平面EAC与底面ABC所成的二面角为， 故选:. 31.若表示直线，表示平面；①若，则； ②若，，，则； ③若，m和l不互相垂直，则m和β不互相垂直； ④若，，则. 其中正确的命题是(  ) A.②③ B.②④ C.③④ D.①③ 【答案】D 【分析】根据题意结合直线与平面，平面与平面的位置关系即可得解. 【详解】若，则，故①正确； 若，，，且，则，故②错误； 假设，根据线面垂直性质，m应垂直于β内所有直线，包括l，这与已知矛盾， 所以m和β不互相垂直，故③正确； 仅根据，，l与β的位置关系不确定，故④错误； 故选:D. 32.设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，则下列说法正确的为(  ) A.若，，则 B.若，，则 C.若，，则 D.若，，，则 【答案】C 【分析】根据题意结合面面垂直的判定定理及线面的位置关系即可得解. 【详解】对A:若，，则直线m与直线n可能平行，也可能异面，故A项错误； 对B:若，，则或，故B项错误； 对C:若，，根据面面垂直的判定定理可知，故C项正确； 对D:若，，，只有当时才有，若时不一定成立，故D项错误. 故选:C. 33.已知正方形的边长为1，分别取的中点E，F，连结，以为折痕折叠，使点重合于点P，求：    (1)二面角的平面角的正弦值； (2)三棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)根据题意利用折叠的性质找到二面角的平面角，得到平面，利用线面垂直的性质求出所需线段的长度即可得解. (2)根据棱锥的体积公式即可得解. 【详解】(1)如图，取中点O，连接，    由图(1)，在正方形中，， E，F分别是的中点，即， ， ， 在图(1)中，，即在图(2)中， ∴， ∴就是二面角的平面角，点重合于点P， 由图(1)知，平面，且， ∴平面，平面，则， ∴，∵， ∴， ∴， 即二面角的平面角的正弦值为． (2)． 34.如图所示，已知四棱锥中，，，底面，且.    (1)证明:平面平面； (2)求与平面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)根据线面垂直的性质、线面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理证明； (2)根据线面垂直的判定定理可证得平面，从而是与平面所成的角，在三角形中求解即可. 【详解】(1)因为底面，底面，所以， 已知，且，所以，即， 又因为，平面，所以平面， 由于平面，所以平面平面. (2)因为底面，底面，所以， 又，即，且，平面， 所以平面，则是与平面所成的角， 在中，， 所以. 1.(2026年山东省春季高考数学真题)如图所示，在长方形中，已知，，E，F分别为，的中点，将长方形沿折成直二面角，使点A，D分别到点P，Q的位置，连接，． (1)证明:平面； (2)求点E到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)根据面面垂直的性质及直线与平面垂直的判定定理证明； (2)利用等体积法求解点到平面的距离. 【小问1详解】 在长方形中，E，F分别为，的中点， ，， ，∴四边形为平行四边形， 又，， ∴四边形为正方形，， 同理四边形为正方形，，从而， 已知将长方形沿折成直二面角，所以平面平面， 且平面平面，平面，， 可得平面， 又因为平面， ， 又，平面， ， 平面. 【小问2详解】 连接，如图， 由(1)知平面，平面， ，， 又，平面，， 平面， 平面，， 在中， ， ， ， ， 设点E到平面的距离为d， 由，得， 即，解得. 故点E到平面的距离为. 2.(2023年山东省春季高考数学真题)如图所示，在三棱锥中，平面平面，且D，E，F分别是SC，AC，BC的中点，的边长都是2，． (1)求证:平面平面； (2)求直线SC与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用线面平行的判定定理依次证得平面，平面，再利用面面平行的判定定理即可得证； (2)取AB的中点G，连接SG，CG，由平面平面，可得平面，则有是直线SC与平面所成的角，在中可求解. 【详解】证明:(1)如图所示，在中，因为D，F分别是SC，BC的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面， 同理平面， 因为平面， 所以平面平面. (2) 如图所示，取AB的中点G，连接SG，CG. 因为的边长都是2，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因此CG是SC在平面内的射影，则是直线SC与平面所成的角. 因为平面，所以， 在中，因为，所以， 在中，因为，所以， 所以直线SC与平面所成角的正弦值是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $