9.5 平面与平面的位置关系（讲义）-2027年山东省（春季高考）《数学一轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明:2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 立体几何 9.5 平面与平面的位置关系 【复习目标】 1.理解平面与平面的位置关系； 2.掌握平面与平面平行和垂直的判定与性质； 3.理解平行平面间的距离的概念，并会解决相关的距离问题； 4.了解二面角的概念. 【知识梳理内容】 考点1 两平面的位置关系及平面与平面平行 1.平面与平面的位置关系 位置关系 特点 图形表示 符号表示 两平面平行 没有公共点 两平面 相交 斜交 有一条公共直线 垂直 有一条公共直线 2.平面与平面平行 定理 文字描述 符号描述 图形描述 定义 若两个平面 ，则称这两个平面平行. α∥β 两个平面平行的判定定理 若一个平面内有两条 直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行. 两个平面平行的判定定理的推论 若一个平面内的两条 直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行. 两个平面平行的性质定理 若两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线 . 两个平行平 面的公垂线 与两个平行平面都垂直的直线叫作这两个平行平面的 . 两个平行平 面间的距离 夹在两个平行平面间的 (图中的线段AB)的长度叫作两个平行平面间的距离 【即时训练】 1.若，则与的公共点个数为(  ) A.1个 B.0个 C.2个 D.无数个但不成线 2.两块互不相交的平行玻璃板可抽象为两个平面(  ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.重合 3.若平面，直线，则与的关系是(  ) A. B. C. D.与斜交 4.若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面(  ) A.必相交 B.必垂直 C.必在其中 D.必平行 5.若，，，则a和b的位置关系是(  ) A.平行 B.异面 C.平行或异面 D.相交 6.已知直线m，n和平面，，且，，则是的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 7.下列命题中，正确的是(  ) A.一个平面内三条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 B.如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行 D.如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行 8.已知P为△所在平面外一点，平面平面，且交线段于点，若，则:(  ) A. B. C. D. 9.已知正方体，求证:平面平面.    10.在正方体中，为中点，为中点.    (1)求证:平面平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 考点2 二面角及平面与平面的垂直 1.二面角 二面角 内容 图形表示 符号表示 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作 . α-AB-β 二面角的平 面角 在二面角的棱上任取一点，以这个点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则 所组成的角叫作二面角的平面角，它的取值范围是 . ∠COD 直二面角 平面角是 的二面角叫作直二面角. ∠COD＝90° 2.平面与平面的垂直 面面垂直 内容 图形表示 符号表示 定义 两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相 . α⊥β 判定 定理 若一个平面经过另一个平面的一条②________，则这两个平面互相垂直 若一个平面经过另一个平面的一条 ，则这两个平面互相垂直. 性质 定理 若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们 的直线 于另一个平面. 【即时训练】 11.两扇门绕同一门轴张开时，门板所在两个半平面形成的图形可抽象为(  ) A.二面角 B.平面内角 C.线段长度 D.异面直线距离 12.二面角的平面角为，则该二面角的大小为(  ) A. B. C. D. 13.作二面角平面角时，所作两条射线应分别在两个面内，并且都(  ) A.平行于棱 B.等于棱 C.垂直于棱 D.不经过同一点 14.墙面与地面成直角，可看作二面角大小为(  ) A. B. C. D. 15.在二面角的棱上取点，以点为端点的两条射线分别在两个半平面内且都垂直于棱，若这两条射线夹角为，则二面角的大小为(  ) A. B. C. D. 16.已知在二面角的面上的点 P 到面的距离为 3，到棱 l 的距离为 6，则二面角的大小是(  ) A. B. C. D. 17.若平面经过平面的一条垂线，则(  ) A. B. C. D.与没有公共点 18.若平面平面β，它们的交线为l，直线平面α，且，则直线m与平面β的位置关系是(  ) A.平行 B.垂直 C.在平面β内 D.相交但不垂直 19.已知平面平面，直线平面，则直线与平面的位置关系是(  ) A.一定垂直 B.一定平行 C.可能垂直或平行 D.可能垂直或相交或平行 20.如图所示，已知平面，则图中互相垂直的平面共有(  )对.    A.1 B.2 C.3 D.4 21.已知四棱锥的底面是正方形，垂直于底面，． (1)求二面角的大小； (2)求四棱锥的体积． 22.如图所示，在正三棱柱中，所有棱长都为2，D是的中点. (1)求证:面； (2)求证:面面； (3)求点A到面的距离. 23.如图所示，在三棱锥中，平面平面，，且O，M分别为，的中点．求证：    (1)平面； (2)平面平面. 24.如图所示，在空间四边形中，，为对角线，若平面平面，，，，.    (1)求证:； (2)求的长. 25.如图，在底面是直角梯形的四棱锥中， ，平面，，.    (1)求证:平面平面； (2)求SC与底面所成角的正切值. 1.(2026年山东省春季高考数学真题)如图所示，在长方形中，已知，，E，F分别为，的中点，将长方形沿折成直二面角，使点A，D分别到点P，Q的位置，连接，． (1)证明:平面； (2)求点E到平面的距离. 2.(2023年山东省春季高考数学真题)如图所示，在三棱锥中，平面平面，且D，E，F分别是SC，AC，BC的中点，的边长都是2，． (1)求证:平面平面； (2)求直线SC与平面所成角的正弦值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027年山东省春季高考《数学一轮讲练测》内含复习讲义、专项训练、综合训练，在编写中融入支架式教学理念，紧扣教材，将知识拆解整合为体系化专题清单，以挖空式讲解搭配知识再现型练习筑牢基础，再通过分层专项训练、综合进阶训练实现知识巩固与能力提升。针对性强，实操性好，为一轮复习搭建从知识梳理到能力突破的完整进阶路径，高效赋能备考提分。 2027年山东省春季高考 《数学一轮讲练测》复习讲义 专题9 立体几何 9.5 平面与平面的位置关系 【复习目标】 1.理解平面与平面的位置关系； 2.掌握平面与平面平行和垂直的判定与性质； 3.理解平行平面间的距离的概念，并会解决相关的距离问题； 4.了解二面角的概念. 【知识梳理内容】 考点1 两平面的位置关系及平面与平面平行 1.平面与平面的位置关系 位置关系 特点 图形表示 符号表示 两平面平行 没有公共点 α∥β 两平面 相交 斜交 有一条公共直线 α∩β＝l 垂直 有一条公共直线 α⊥β 2.平面与平面平行 定理 文字描述 符号描述 图形描述 定义 若两个平面没有公共点，则称这两个平面平行 α∥β 两个平面平行的判定定理 若一个平面内有两条相交直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行. 两个平面平行的判定定理的推论 若一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面内的两条直线，则这两个平面平行. 两个平面平行的性质定理 若两个平行平面同时和第三个平面相交，则它们的交线平行. 两个平行平 面的公垂线 与两个平行平面都垂直的直线叫作这两个平行平面的公垂线. 两个平行平 面间的距离 夹在两个平行平面间的公垂线段 (图中的线段AB)的长度叫作两个平行平面间的距离 【即时训练】 1.若若，则与的公共点个数为(  ) A.1个 B.0个 C.2个 D.无数个但不成线 【答案】B 【分析】由平面与平面平行的定义即可得解. 【详解】因为，两个平面平行时没有公共点. 故选:B. 2.两块互不相交的平行玻璃板可抽象为两个平面(  ) A.平行 B.相交 C.垂直 D.重合 【答案】A 【分析】根据平面与平面的位置关系求解即可. 【详解】两个平面没有公共点时互相平行，故两块互不相交的平行玻璃板可抽象为两个平面平行. 故选:A. 3.若平面，直线，则与的关系是(  ) A. B. C. D.与斜交 【答案】C 【分析】垂直于一个平面的直线，也垂直于与其平行的另一个平面即可得解. 【详解】若平面，直线，则， 故选:. 4.若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面(  ) A.必相交 B.必垂直 C.必在其中 D.必平行 【答案】D 【分析】根据面面平行的定义求解. 【详解】若两个平面平行，则一个平面内的直线与另一个平面没有公共点，即平行. 故选:D. 5.若，，，则a和b的位置关系是(  ) A.平行 B.异面 C.平行或异面 D.相交 【答案】C 【分析】根据线面平行推断直线与直线的位置关系即可解得. 【详解】因为平面平行于平面，直线a在平面内，直线b在平面内， 所以和没有公共点，它们可能平行，也可能异面， 不可能相交，因为分别在两个平行平面内的直线不会有交点. 故选:C. 6.已知直线m，n和平面，，且，，则是的(  ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】D 【分析】根据空间中直线与直线、平面与平面的位置关系以及充分条件和必要条件的概念判断. 【详解】若，，，则平面与平面可能平行，也可能相交，故充分性不成立； 若，，，根据两个平行平面的性质，可知与没有公共点， 那么与可能平行，也可能异面，故必要性不成立， 综上，是的既不充分也不必要条件. 故选:D. 7.下列命题中，正确的是(  ) A.一个平面内三条直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 B.如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，那么这两个平面平行 C.平行于同一直线的两个平面一定相互平行 D.如果一个平面内有几条直线都平行于另一平面，那么这两个平面平行 【答案】B 【分析】依据两个平面平行的判定定理逐一分析每个选项. 【详解】选项A:一个平面内三条直线都平行于另一个平面，这三条直线可能是平行直线，此时这两个平面可能相交，所以选项A错误， 选项B:如果一个平面内所有直线都平行于另一个平面，则这两个平面没有公共点， 根据两个平面平行的定义可知，这两个平面平行，所以选项B正确， 选项C:平行于同一直线的两个平面，它们的位置关系可能是平行，也可能是相交，所以选项C错误， 选项D:一个平面内有几条直线都平行于另一平面，这几条直线可能是平行直线，此时这两个平面可能相交，选项D错误， 故选:B. 8.已知P为△所在平面外一点，平面平面，且交线段于点，若，则:(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据平行平面的性质得出线线平行，再由面积比等于相似比的平方计算. ∵平面平面，平面平面，平面平面， ，同理可得， ， ∴，又， ∴，则. 9.已知正方体，求证:平面平面.    【答案】证明见详解 【分析】根据面面平行的判定定理即可求解. 【详解】在正方体中，，所以四边形是平行四边形， 所以，因为平面不在平面内， 所以平面. 在正方体中，， 所以四边形是平行四边形， 则，又平面不在平面内， 所以平面， 因为平面， 所以平面平面. 10.在正方体中，为中点，为中点.    (1)求证:平面平面； (2)求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)取的中点，先证明平面，平面，再利用面面平行的判定定理得出结论； (2)根据异面直线所成角的求法求解. 【详解】(1)取的中点，连接，    因为，，，， 所以，，那么四边形是平行四边形，则， 因为，，所以四边形是平行四边形，则， 所以，又平面，平面，可得平面， 因为在正方体中，， 又平面，平面，可得平面， 因为，平面，平面， 所以平面平面. (2)因为在正方体中，所以(或其补角)是异面直线与所成的角. 设正方体的棱长为，则，， 在中，， 则， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 考点2 二面角及平面与平面的垂直 1.二面角 二面角 内容 图形表示 符号表示 定义 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角. α-AB-β 二面角的平 面角 在二面角的棱上任取一点，以这个点为垂足，在两个半平面内分别作垂直于棱的射线，则两条射线所组成的角叫作二面角的平面角，它的取值范围是 ∠COD 直二面角 平面角是直角的二面角叫作直二面角. ∠COD＝90° 2.平面与平面的垂直 面面垂直 内容 图形表示 符号表示 定义 两个平面相交，若所成的二面角是直二面角，则称这两个平面互相垂直. α⊥β 判定 定理 若一个平面经过另一个平面的一条②________，则这两个平面互相垂直 若一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面互相垂直. 性质 定理 若两个平面垂直，则在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面. 【即时训练】 11.两扇门绕同一门轴张开时，门板所在两个半平面形成的图形可抽象为(  ) A.二面角 B.平面内角 C.线段长度 D.异面直线距离 【答案】A 【分析】根据二面角的定义即可得解. 【详解】两扇门绕同一门轴张开时，则门板所在两个半平面以门轴所在直线为棱形成二面角， 故选:. 12.二面角的平面角为，则该二面角的大小为(  ) A. B. C. D. 【答案】C 【分析】根据二面角的大小等于其平面角的大小即可得解. 【详解】二面角的平面角为，则该二面角的大小为， 故选:. 13.作二面角平面角时，所作两条射线应分别在两个面内，并且都(  ) A.平行于棱 B.等于棱 C.垂直于棱 D.不经过同一点 【答案】C 【分析】根据二面角平面角的定义判断各选项. 【详解】根据二面角平面角的定义：以二面角的棱上任意一点为端点，在两个面内分别作垂直于棱的两条射线， 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角. 由此可知，所作两条射线垂直于棱；不平行于棱；也不等于棱；它们是相交的，有公共点(棱上的点)， 故选项ABD错误，C正确， 故选:C. 14.墙面与地面成直角，可看作二面角大小为(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据两个平面所成的角求解即可. 【详解】墙面与水平地面垂直，构成直二面角，直二面角的大小为. 故选:D. 15.在二面角的棱上取点，以点为端点的两条射线分别在两个半平面内且都垂直于棱，若这两条射线夹角为，则二面角的大小为(  ) A. B. C. D. 【答案】D 【分析】根据二面角的定义即可求解. 【详解】因为两条射线分别在两个面内且都垂直于棱， 所以两条射线夹角为二面角的平面角， 因为这两条射线夹角为， 所以二面角的平面角为. 故选:D. 16.已知在二面角的面上的点 P 到面的距离为 3，到棱 l 的距离为 6，则二面角的大小是(  ) A. B. C. D. 【答案】A 【分析】过点作于，过作于，连接，再由二面角的定义得出是二面角的平面角，最后由三角函数值求角即可. 【详解】过点作于， 因为点到面的距离为，所以， 过作于，连接， 点到棱的距离为6，所以， 因为，， 所以，，且， 所以平面，平面，故， 是二面角的平面角（或其补角）. 在中，， 因为，所以， 故选:A. 17.若平面经过平面的一条垂线，则(  ) A. B. C. D.与没有公共点 【答案】C 【分析】由面面垂直的判定定理即可求解. 【详解】一个平面经过另一个平面的一条垂线，则这两个平面垂直. 故选:C. 18.若平面平面β，它们的交线为l，直线平面α，且，则直线m与平面β的位置关系是(  ) A.平行 B.垂直 C.在平面β内 D.相交但不垂直 【答案】B 【分析】根据两平面垂直的性质定理判断. 【详解】若平面平面β，它们的交线为l，直线平面α，且， 根据两平面垂直的性质定理可知，，故B选项正确，A、C、D选项错误， 故选:B. 19.已知平面平面，直线平面，则直线与平面的位置关系是(  ) A.一定垂直 B.一定平行 C.可能垂直或平行 D.可能垂直或相交或平行 【答案】D 【分析】根据线面关系，分析求解即可. 【详解】. 若垂直于交线，则；若平行于交线，则； 若与交线相交且不垂直，则与相交但不垂直. 因此直线与可能垂直、相交或平行，D选项正确. 故选:D. 20.如图所示，已知平面，则图中互相垂直的平面共有(  )对.    A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【分析】根据题意，结合线面垂直、面面垂直的判定定理，即可判定求解. 【详解】因为平面，且平面，平面， 所以平面平面，平面平面； 因为平面，平面，所以， 又平面，平面， 所以平面；又平面， 所以平面平面； 故图中互相垂直的平面有3对. 故选:C. 21.已知四棱锥的底面是正方形，垂直于底面，． (1)求二面角的大小； (2)求四棱锥的体积． 【答案】(1) (2) 【分析】(1)首先由二面角的平面角的概念得出是二面角的平面角，再在中确定的大小即可. (2)根据棱锥的体积公式求值即可. 【详解】(1)∵平面， ∴是在平面内的射影， 又∵，∴， 故是二面角的平面角， 在中，，得， 所以二面角的大小是．    (2)∵平面， ∴，底面积， ∴四棱锥的体积． 22.如图所示，在正三棱柱中，所有棱长都为2，D是的中点. (1)求证:面； (2)求证:面面； (3)求点A到面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】(1)先构造三角形中位线，证线线平行，推出线面平行； (2)先证BD垂直侧面，再由面面垂直判定定理证明即可； 3利用等体积法，转换顶点，列式即可求点到平面的距离. 【详解】(1) 连接交于点O，则O为中点， 又因为D是AC中点，在中，OD为中位线，所以, 平面，平面， 根据线面平行的判定定理，平面； (2)因为 是正三角形，D为AC中点，所以， 在正三棱柱中，侧棱底面，底面，, 所以， ，平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； (3)已知正三棱柱所有棱长均为2，在正三角形中，， ， 平面，， ， 设点A到面的距离为h， . 23.如图所示，在三棱锥中，平面平面，，且O，M分别为，的中点．求证：    (1)平面； (2)平面平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】(1)利用线面平行的判定定理证明； (2)由条件可得，根据面面垂直的性质可得平面，然后利用面面垂直的判定定理证明. 【详解】(1)因为O，M分别为，的中点， 可得是的中位线，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. (2)因为，O为的中点，可得， 又因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因为平面，所以平面平面. 24.如图所示，在空间四边形中，，为对角线，若平面平面，，，，.    (1)求证:； (2)求的长. 【答案】(1)证明见解析 (2)5 【分析】(1)根据题意利用平面与平面垂直的性质得出平面，再利用线面垂直的性质即可得解. (2)根据直线与平面垂直的判定定理及性质即可得解. 【详解(1)证明:平面平面，且平面平面， 平面，，平面， 平面，则. (2)平面，平面，， ，，平面， 平面， 平面，则， ，，. 25.如图，在底面是直角梯形的四棱锥中， ，平面，，.    (1)求证:平面平面； (2)求SC与底面所成角的正切值. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用线面垂直的性质得到，结合证明平面，再利用面面垂直的判定定理证明. (2)根据线面角的定义确定为所求角，再在直角三角形中计算正切值即可. 【详解】(1)因为平面，平面， 所以，因为， 所以，且平面， 所以平面，因为平面， 所以平面平面. (2)连接，因为平面， 所以为与底面所成角， 在中，，则， 在中， ，所以，    所以SC与底面所成角的正切值为. 1.(2026年山东省春季高考数学真题)如图所示，在长方形中，已知，，E，F分别为，的中点，将长方形沿折成直二面角，使点A，D分别到点P，Q的位置，连接，． (1)证明:平面； (2)求点E到平面的距离. 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)根据面面垂直的性质及直线与平面垂直的判定定理证明； (2)利用等体积法求解点到平面的距离. 【小问1详解】 在长方形中，E，F分别为，的中点， ，， ，∴四边形为平行四边形， 又，， ∴四边形为正方形，， 同理四边形为正方形，，从而， 已知将长方形沿折成直二面角，所以平面 平面， 且平面 平面，平面，， 可得平面， 又因为平面， ， 又，平面， ， 平面. 【小问2详解】 连接，如图， 由(1)知平面，平面， ，， 又，平面，， 平面， 平面，， 在中， ， ， ， ， 设点E到平面的距离为d， 由，得， 即，解得. 故点E到平面的距离为. 2.(2023年山东省春季高考数学真题)如图所示，在三棱锥中，平面平面，且D，E，F分别是SC，AC，BC的中点，的边长都是2，． (1)求证:平面平面； (2)求直线SC与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】(1)利用线面平行的判定定理依次证得平面，平面，再利用面面平行的判定定理即可得证； (2)取AB的中点G，连接SG，CG，由平面平面，可得平面，则有是直线SC与平面所成的角，在中可求解. 【详解】证明:(1)如图所示，在中，因为D，F分别是SC，BC的中点， 所以，又平面，平面， 所以平面， 同理平面， 因为平面， 所以平面平面. (2) 如图所示，取AB的中点G，连接SG，CG. 因为的边长都是2，所以， 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面， 因此CG是SC在平面内的射影，则是直线SC与平面所成的角. 因为平面，所以， 在中，因为，所以， 在中，因为，所以， 所以直线SC与平面所成角的正弦值是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $