专题5 立体几何（B卷·能力提升）-2027版内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》(原卷版+解析版)

公共基础课·二轮讲练测 AI职教》》 编写说明：2027版内蒙古自治区（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年】 考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为 构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和B卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2027年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第 八5个专题，内容为立体几何。 2027年内蒙古（对口招生考试） 《数学二轮讲练测》 专题5立体几何 (B卷·能力提升) 1.以等腰直角△ABC的斜边BC上的高AD为折痕，使平面ABD与平面ADC互相垂直 求∠BAC的值. 2.如图，正四棱锥S-ABCD的侧面都是边长为a的正三角形，求异面直线SA与CD所成 的角，以及直线SA与平面ABCD所成的角： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 9AI职教》》 3如图，已知B点P是平面“、P外-点直线PA、C分别与“、P相交于点4 BCD.若PA=8cmAB=10cmPC=6cm、CD 和、 ,求的长 B B D 4.如图所示圆锥S0的母线SM=SC=3cm,底面半径为20m.a01C为正三角形，求 (1)S0的侧面积与体积： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 9A1职教》 (2)二面角S-AC-0的大小 5.如图所示，已知正方体 BCD-A4B,CD的棱长为2.M是MB的中点，求： D C A B :- D M B (4D 所成的角 (2,与面ABCD DM 所成的角的正切值； 6.已知PA⊥矩形ABCD,AB=4,BC=3,PA=1 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 今AI职教》 A B (1)求PB,PD的长： (2)求PC与平面BD所成角的正切值 7,如图，在Rt△ABC中已知∠ACB=90°.AC=1.BC=V5PAL平面MBC.且PB 与平面ABC所成角为45°，求： B (1)PC与平面ABC所成的角： (2)三棱锥P-ABC的体积. g 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 9AI职教》》 8.如图，四边形ABCD为正方形，PD⊥平面ABCD,PD=AD D D B (1)求二面角P-BC-A的大小； (2)若AD=3,求点D到平面PBC的距离. 9.如图所示，ABCD是边长为a的正方形，PB⊥平面ABCD,PB=a. C B (1)求锥体P-ABCD的体积： (2)求平面ABCD与平面APD所成角的大小. g 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 A职教》 10.如图。正三棱维P-4BC的侧棱长为25 底面边长为4. F E (1)求正三棱锥P-ABC的全面积； (2)线段PA、AB、AC的中点分别为D、E、F,求二面角D-EF-A的余弦值. 11.已知在长方体 ABCD-ABCD 4B=3 AD-44=1 D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 9AI职教》》 a求4B与CC所成的角： )关4B 平面ABCD所成的角； 12.如图，VA,VB,VC两两垂直，且VA=B=C=a. B (1)求C到AB的距离： (2)求平面ABC和平面ABV所成二面角的正切值， 13.如图，设正四棱锥S-ABCD的底面边长为2Cm,S0是正四棱锥的高，侧棱与底面所 成的角为45° 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 AI职教》 D VB (1)求正四棱锥S-ABCD的体积： (2)求二面角S-BC-D的平面角的余弦值. 14.如图所示，已知正方体ABCD-A'B'CD'的边长为2.求： D' B D B (1)二面角D'-BC-D的大小： (2)点D到平面ACD'的距离 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 9AI职教》》 15.如图已知正方体1 BCD-4BCD中，E为CG中点求： D A ! B D (1)AE与平面ABCD所成的角的余弦值： (2)平面 D与平面4BCD所成角的正切值， 16.《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.如图所示，在鳖臑 P-ABC中PA上平商4BCPA=B=2.∠ABC=60∠BC1=90,点D,E分别是 PB,PC 棱 的中点. (1)求证：BC/1平面ADE; (2)求三棱锥D-AEC的体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 9AI职教》》 ABCD-ABCD 17.已知正方体 ,点O是底面ABCD 对角线的交点，如图所示· D A B 4 D C01平面 ABD (1)求证： 2)若正方体的棱长为6，求三棱锥4-B,D 的体积 18.如图所示，在正方体 BCD-ABGD中.E为DD中点 D C B E以 B BD∥ (1)求证： 平面AEC (2)若正方体棱长为2，求三棱锥 D-AEC 的体积. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 9A1职教》 19.如图所示，正三棱柱MBC-ABG底面边长是2，侧棱长是5，D是4C的中点 C B C NB (1)求证： 平面4BD B.Cl 2)求二面角4-BD-A 的大小；」 B倒求直线4B与平面4BD 所成角的正弦值. 20.如图所示，已知三棱柱ABC-AB'C'中，D是BC的中点，D是B'C'的中点，设平面 ADBn乎面ABC=a,平面4DC'∩平面BC=b,判断直线ab的位置关系并证明. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 今AI职教》 C B D 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 编写说明：2027版内蒙古自治区（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2027年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第5个专题，内容为立体几何。 2027年内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》 专题5 立体几何 （B卷·能力提升） 1．以等腰直角的斜边上的高为折痕，使平面与平面互相垂直，求的值. 【答案】 【分析】由等腰直角三角形得，再利用面面垂直的性质定理得，利用三边关系判断三角形形状，进而求解. 【详解】由题意，且， 设，则， 因为，平面平面，平面平面， 所以平面， 又平面， 所以， 所以， 故是等边三角形， 所以. 2．如图，正四棱锥的侧面都是边长为a的正三角形，求异面直线与所成的角，以及直线与平面所成的角．    【答案】； 【分析】（第一问）因为，所以异面直线与所成的角就是与所成的角，即为所求，在正三角形中可求解；（第二问）取的中点O，连接，则平面，所以在平面内的射影为，所以是与平面所成的角.在中可求解. 【详解】    （第一问）在正四棱锥中， 因为， 所以异面直线与所成的角就是与所成的角，即为所求. 又因正四棱锥的侧面都是边长为a的正三角形， 所以. 即异面直线与所成的角为； （第二问）取的中点O，连接，则平面， 所以在平面内的射影为， 所以是与平面所成的角. 在正方形中， ， 在中， ， 故. 即直线与平面所成的角为. 3．如图，已知，点是平面、外一点，直线、分别与、相交于点、和、．若，，，求的长．    【答案】 【分析】由面面平行，可得线线平行，再由相似三角形即可求解长度. 【详解】∵，平面平面，平面平面， ∴， ∴和相似， ∴，即，解得， ∴的长为． 4．如图所示，圆锥的母线，底面半径为，为正三角形，求： (1)的侧面积与体积； (2)二面角的大小. 【答案】(1)； (2) 【分析】（1）解三角形得到圆锥的高，再根据圆锥侧面积和体积公式即可解得. （2）找到二面角的平面角再解三角形即可. 【详解】（1）由题是圆锥的高， 故，, 侧面积 体积 （2）取中点，连结 为正三角形， 为二面角的平面角, , 二面角的大小为 5．如图所示，已知正方体的棱长为2，M是的中点．求： (1)与所成的角； (2)与面所成的角的正切值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意,可知,由此找到异面直线与所成的角,再利用已知条件即可求解. （2）先作出直线与平面所成角,然后求解即可. 【详解】（1）因为正方体,， 所以,则四边形为平行四边形， 所以, 所以为异面直线与所成的角, 由题意知为等边三角形,， 所以与所成的角为. （2） 连接,因为正方体, 因为平面, 所以就是直线与面所成的角, 正方体的棱长为2, 是的中点, 根据勾股定理得, . 6．已知矩形，，， (1)求，的长； (2)求与平面所成角的正切值. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）由矩形可知，，利用勾股定理可求，； （2）连接，推得为与平面所成角，再根据正切等于直角三角形对边比邻边可求. 【详解】（1）由矩形，平面，则，， 根据勾股定理有，，即； ，，所以； （2）连接， 因为矩形，平面， 则，为与平面所成角， 在中，，； 所以. 7．如图，在中，已知，，，平面，且与平面所成角为，求： (1)与平面所成的角； (2)三棱锥的体积. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得与平面所成的角为，根据所给条件求出即可； （2）根据三棱锥体积公式求解即可. 【详解】（1）平面， 与平面所成角为. ，，， . 平面所成角为， ， ， ， . （2）由题意可得. 8．如图，四边形为正方形，平面，.    (1)求二面角的大小； (2)若，求点D到平面的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据面面垂直的判定定理和性质定理得出平面，可知为二面角的平面角，再由可知得出为等腰直角三角形，由此即可得出二面角的大小. （2）根据直线与平面的判定定理证明平面，可得的长是点D到平面的距离，再由直角三角形中正弦函数的定义求得的长即可. 【详解】（1）平面，平面， 平面平面， 平面平面，且四边形为正方形， 即，且平面， 平面，平面， ，为二面角的平面角， ，，， 则为等腰直角三角形，. 所以二面角的大小是. （2）过点作的垂线，垂足为， 由（1）可知平面， 平面，， ，且，是平面中的两条相交直线， 平面，即的长是点D到平面的距离， ，四边形为正方形， 且由（1）可知为等腰直角三角形， ，则 . 所以点D到平面的距离.    9．如图所示，是边长为的正方形，平面，． (1)求锥体的体积； (2)求平面与平面所成角的大小． 【答案】(1). (2). 【分析】（）代入棱锥体积公式即可得解. （）根据线面垂直的判定定理及线面垂直的性质，结合平面角的定义即可得解. 【详解】（1）是边长为的正方形，平面，， 锥体的体积为. （2）因为平面，平面，所以， 因为，，平面，平面，所以平面， 平面，所以， 则平面平面，，， 则为平面与平面所成角的平面角， 因为平面，平面，所以， 在中，，所以， 则平面与平面所成角为. 10．如图，正三棱锥的侧棱长为，底面边长为4. (1)求正三棱锥的全面积； (2)线段、、的中点分别为、、，求二面角的余弦值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据各边长求底面等边三角形和侧面三个等腰三角形面积，再相加即可得到总面积. （2）由中位线得到线线平行，再根据垂直关系得到二面角的平面角，在三角形中通过余弦定理求角的余弦值即可. 【详解】（1）由已知得底面面积为：， 取中点，连接，则斜高， 三个侧面的面积为：， 所以正三棱锥的全面积为：. （2）连接，记，连接， 因为、为线段、的中点，所以， 且，所以，且点为的中点， 因为、为线段、的中点，所以， 因为，所以， 所以是二面角的平面角. 由已知得，故. 在中，易知，，， 由余弦定理得. 所以. 11．已知在长方体中，，， (1)求与所成的角； (2)求与平面ABCD所成的角； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将异面直线转化到同一平面解三角形即可得解； （2）将线面角转化为三角形中的角解三角形即可得解. 【详解】（1）由题在长方形中，， 则即为与所成的角， 在直角三角形中，， 故，故与所成的角为. （2）因为在长方体中，平面， 则为与平面所成的角， 在直角三角形中，， 故，故与平面所成的角为. 12．如图，，，两两垂直，且. (1)求C到的距离； (2)求平面和平面所成二面角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，，两两垂直且相等，求得，从而得到的高即为C到的距离，由此得解； （2）先判断得为平面和平面所成二面角的平面角，再利用线面垂直的判定与性质定理，结合直角三角形的正切公式即可求解. 【详解】（1）因为，，两两垂直，且， 所以， 则为等边三角形， 所以C到的距离为等边三角形的高，即. （2）取的中点D，连接，，如图， 则，都垂直于， 所以为平面和平面所成二面角的平面角. 因为，平面， 所以平面，又平面，所以， 在中，，， 所以. 13．如图，设正四棱锥的底面边长为，是正四棱锥的高，侧棱与底面所成的角为． (1)求正四棱锥的体积； (2)求二面角的平面角的余弦值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据正四棱锥的体积公式即可解得. （2）找出二面角对应的平面角，根据余弦定理即可解得. 【详解】（1）由题，侧棱与底面所成的角为，为正四棱锥的高， 则，为等腰直角三角形， 又正四棱锥底面边长为， 则，， 则正四棱锥体积为. （2）取中点，连接， 为正四棱锥，则底面为正方形， 即， 分别为中点， 则， 又，为中点， 则，即为所求二面角的平面角， 由（1）可知，为等腰直角三角形，且， 则， 为等腰三角形，又是中点，， 则，， 又是正四棱锥的高，平面，则， 在中，， 即二面角的平面角余弦值为 14．如图所示，已知正方体的边长为．求： (1)二面角的大小； (2)点到平面的距离． 【答案】(1)45° (2) 【分析】（1）先在图中找出二面角的平面角，再在中求解的大小. （2）利用等体积法即可求出点D到平面的距离． 【详解】（1）因为，，所以是二面角的平面角． 因为是等腰直角三角形，所以， 故二面角的大小是45°. （2）设点D到平面的距离为． 因为是边长为的等边三角形， 所以． 由得， 解得． 故点D到平面的距离为． 15．如图已知正方体中，为中点.求：    (1)与平面所成的角的余弦值； (2)平面与平面所成角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）连接，确定与平面所成的角为，根据直角三角形边长的关系，即可求解. （2）连接，交于点F，连接，证明，，找到平面所成的角，即可求解. 【详解】（1）连接，    在正方体中，平面， 所以与平面所成的角为， 又平面，所以， 设正方体棱长为a，则，， ， 所以. （2）连接，交点F，连接， 因为是正方体， 所以，即是等边三角形， 而与交于点F，则， 所以，， 而平面，平面， 所以平面与平面所成角为， 因为， ，， 所以平面与平面所成角的正切值为. 16．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．如图所示，在鳖臑中，平面，，，．点分别是棱的中点． (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）由三角形的中位线可知，再根据线面平行的判断定理证明即可. （2）先根据线面垂直的判断定理和性质定理求出平面，可知是三棱锥的高，求出的长和的面积，进而求出三棱锥的体积. 【详解】（1）证明：因为在中，点分别是棱的中点， 所以， 又因为平面ADE，平面ADE， 所以平面． （2）解：因为PA⊥平面ABC，平面ABC， 所以， 又因为， 所以， 又因为平面,平面,， 所以平面. 因为， 所以平面， 所以是三棱锥的高， 在中，，，， 所以，，则， 因为， 因为E是棱PC的中点， 所以， 因此． 17．已知正方体，点O是底面对角线的交点，如图所示．    (1)求证：平面； (2)若正方体的棱长为6，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）根据线面平行的判定即可求解. （2）根据三棱锥的体积即为三棱锥的体积，结合棱锥体积公式即可求解. 【详解】（1）连接，即点是平面对角线的交点，连接， 在正方体中，， 所以，则四边形为平行四边形， 所以，因为平面，不在平面内， 所以平面；    （2）因为三棱锥的体积即为三棱锥的体积， 所以在正方体中，， 则. 18．如图所示，在正方体中，为中点． (1)求证：平面； (2)若正方体棱长为2，求三棱锥的体积． 【答案】(1)证明见解析. (2). 【分析】（1）根据直线与平面的关系，再结合正方体的性质以及三角形的相关知识求解. （2）结合正方体的性质及三棱锥的体积公式求解. 【详解】（1）连接交于O，连接，则正方形中，为中点， 因为分别为中点， 所以是的中位线，所以． 又面，面， 所以平面． （2）正方体中，平面， 所以. 19．如图所示，正三棱柱底面边长是2，侧棱长是，是的中点. (1)求证：平面； (2)求二面角的大小； (3)求直线与平面所成角的正弦值. 【答案】(1)证明见解析 (2). (3). 【分析】（1）根据线面平行判定定理求证. （2）先根据已知找到二面角的平面角，再求值. （3）先根据已知条件，找到线面所成角，再求值. 【详解】（1） 证明：如图所示，设与相交于点，连接，则为的中点， 因为为的中点，所以， 又因为平面，平面， 所以平面. （2）因为正三棱柱，所以平面， ∵平面， ∴， 又因为是正三角形，是中点， ∴， 又∵，平面， ∴平面， ∵平面， ∴， 所以就是二面角的平面角， 因为，， 所以，且， 则， 即二面角的大小是. （3）由（2）可知平面， ∵平面， 所以平面平面， 作于， ∵，平面 ∴， ∵，且平面， ∴平面， 连接，则就是直线与平面所成的角， 在中，，， 所以， 在矩形中，， 所以. 即直线与平面所成角的正弦值为. 20．如图所示，已知三棱柱中，D是的中点，是的中点，设平面平面，平面平面，判断直线a，b的位置关系，并证明． 【答案】直线a与b平行，证明见解析. 【分析】连接，由平面平面，利用面面平行的性质定理得到，，再根据D是的中点，是的中点，证得四边形是平行四边形，四边形为平行四边形，从而即可. 【详解】直线a与b平行．证明如下： 如图所示： 连接． ∵平面平面，平面平面， 平面平面， ∴． 同理可证． 又D是的中点，是的中点，， ∴． ∴四边形是平行四边形， ∴ 又， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∴． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $