专题5 立体几何（A卷·基础巩固）-2027版内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》(原卷版+解析版)

公共基础课·二轮讲练测 今AI职教》泥 编写说明：2027版内蒙古自治区（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年 考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为 构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和B卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2027年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第 、5个专题，内容为立体几何。 2027年内蒙古（对口招生考试） 《数学二轮讲练测》 专题5立体几何 (A卷·基础巩固) 1.如图.P为矩形MBCD所在平面外-点，PAL平面4C,若PA=1PB=2 PD=V5.求PC与平面AC所成的角， D A----- -------D B 2.在正方体 BCD-4CD中.0为底面4BCD丰心，P为DD中点e为CC中点 证明平面DB0∥平面PA0. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 A山职教》》 D C A 、、 B B 3,如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD PA=D=2MB=2E是PB的中点，求BC与平面 ABCD 所成角的正切值。 B 4.如图，直四棱柱ABCD-A1B1CD的底面是梯形，ABICD,AD⊥DC,CD=2,DD= AB=1,P,Q分别是CC1,CD的中点.求证：AC平面BPQ. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课二轮讲练测 A山职教》》 D 0 C A D… 5.如图，在棱锥中，AE:AB=1:3,截面EFG∥底面BDC.已知△BDC的周长是18，求 △EFG 的周长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 A山职教》》 A G B C 6.如图，已知正方体 BCD-ABGD中载去一部分，其中HGHADIEF,剥下的较大的 几何体是什么？ D C B G E 7,如图.在三棱锥P-ABC中，PA上平面ABC.PA=BC=2AB=PC=5 求点B到 ©g 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 A山职教》》 平面PAC的距离； 8.如图所示，在棱长均为2的直三棱 ABC-AB,G中，D是BC的中点 D 求证：AD上平面 CCB 包求平面4，G与平面DC所成的二面角的正弦值. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 A山职教》》 9.如图，在正方 ABCD-ABCD中，O为线段BD的中点 D B D ()证明：直线BDL平面404， 21证明：直线40∥平面BCD 10.如图，在棱长为2的正方体 BCD-AB,CD中，求： D ()异面直线4D与C8 所成的角的大小： 2该正方体的体对角线4C的长. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 A山职教》》 11.如图.AB是圆柱O0的一条母线，BC是底面的一条直径，D是圆0上一点，且 AB=BC=6 CD=3 A B D 00 (1)求圆柱的体积： (2)求直线AD与平面BCD所成角的正切值 12.如图，MA⊥平面ABCD,四边形ABCD是正方形，且MA=AB=a,试求： M D以 A B (1)点M到BD的距离， (2)求异面直线MB与AC所成的角， 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 A山职教》》 13.《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体 C中，PAL平商ABC AC=-BC DAB PABC 平面 是棱“的中点 D B (1)判断四面体PACD是否为鳖臑，并说明理由； (2)若四面体PABC是鳖臑，且AP=AB=2,求直线AC与平面PAB所成的角的大小. 14.如图，已知 BCD-ABCB是棱长为“的正方体，B,P分别是1M,MB的中点 g 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 A山职教》》 D B D B (1)哪些棱所在的直线与直线EF垂直？ 21求异面直线CD与EF所成的角. 15.如图所示，在棱长为2的正方体 BCD-ABCD丰，丰平面MDC把正方体分成两部 分 D C B )直线9B 与平面 ACD 所成的角的度数： (2)平面 CD与底面ABCD所成的角的正切值 16.如图所示，在三棱柱 4C-4RG中.MM上底面ABC.M=B=BC 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 A山职教》》 ∠ABC=90 AC D为的中点 B A B… (L)求证：BDL平面 AACC (2)求直线 钱BA与平面14CC 成角的大小 17.如图所示圆柱的底面直径为10，母线BB=8矩形BCD内接于圆柱的下底面 BC=6求 D (1)圆柱的体积： AB (2)直线与圆柱的底面所成角的大小 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课二轮讲练测 A山职教》》 18.如图，在直三棱柱 BC-ABG中∠BAC=90,AB=AC=A4 B A B AB⊥AC (1)证明： (2)求二面角4-BC-A的正弦值 19.已知三棱柱 ABC-ABC 的侧棱与底面边长都相等，D为底面MBC的边BC 的中点， 且AD 平面ABC A C G B D B g 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 公共基础课·二轮讲练测 A山职教》》 设G为上底面4BG的重心试在平面4BG内作出过点G与平面4B 平行的直线 并说明理由； 2)证明：()中的直线士平面41D 20.如图，在棱长均为1的直三棱柱46C-48G丰，D是8C的中点。 D 1求证：D上平面 CCB 2)求直线1G与平面 BCCB所成角的正弦值。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 编写说明：2027版内蒙古自治区（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2027年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第5个专题，内容为立体几何。 2027年内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》 专题5 立体几何 （A卷·基础巩固） 1．如图，为矩形所在平面外一点，平面，若，，，求与平面所成的角.    【答案】 【分析】根据直线与平面所成的角的定义，结合勾股定理，特殊角的三角函数值即可求解. 【详解】如图，连接，    因为平面，平面， 所以， 所以为与平面所成的角. 在中，，所以. 在中，，所以， 在中，， 在中，， 所以，又， 即，故与平面所成的角为. 2．在正方体中．为底面中心，为中点，为中点．证明：平面平面PAO． 【答案】证明见详解 【分析】根据线面、面面平行的判定定理分析证明. 【详解】由题意可得：分别为的中点，则， 平面，平面， ∴平面， 连接，由题意可得：分别为的中点，则，且， ∵，且， 则，且， 故为平行四边形，则， 平面，平面， ∴平面， ，平面， 故平面平面PAO. 3．如图，在四棱锥中，底面是矩形，平面，，E是的中点，求与平面所成角的正切值.    【答案】 【分析】设F为的中点，证明平面，说明即为与平面所成角，解直角三角形，即可求得答案. 【详解】设F为的中点，连接，    由于E是的中点，故, 又平面，故平面，平面， 故,则即为与平面所成角， 又，则, 底面是矩形，故，则, 所以. 4．如图，直四棱柱ABCD－A1B1C1D1的底面是梯形，AB∥CD，AD⊥DC，CD＝2，DD1＝AB＝1，P，Q分别是CC1，C1D1的中点．求证：AC∥平面BPQ． 【答案】证明见解析 【详解】[证明]连接CD1，AD1，因为P，Q分别是CC1，C1D1的中点， 所以PQ∥CD1，且CD1⊄平面BPQ，PQ⊂平面BPQ，所以CD1∥平面BPQ． 又D1Q＝AB＝1，D1Q∥AB，所以四边形ABQD1是平行四边形，所以AD1∥BQ， 又因为AD1⊄平面BPQ，BQ⊂平面BPQ，所以AD1∥平面BPQ． 又AD1∩CD1＝D1，所以平面ACD1∥平面BPQ，因为AC⊂平面ACD1，所以AC∥平面BPQ． 5．如图，在棱锥中，，截面底面BDC．已知的周长是18，求的周长． 【答案】6 【分析】由面面平行可得线线平行，然后由相似三角形可解. 【详解】因为截面底面BDC，且面面，面面 所以， 所以 又 所以 同理可得， 所以，即 所以，，即的周长等于6. 6．如图，已知正方体中截去一部分，其中，剩下的较大的几何体是什么？    【答案】直五棱柱 【分析】利用直五棱柱定义即可得到剩下的较大的几何体是直五棱柱 【详解】正方体中截去一部分，其中， 剩下的较大的几何体中， 五边形与五边形全等且所在平面平行， 侧面均为矩形， 则该几何体为直五棱柱. 7．如图，在三棱锥中，平面，，.求点B到平面PAC的距离； 【答案】2. 【分析】根据给定条件，利用线面垂直的性质、判定推证平面即可得解. 【详解】由平面，平面，得， 而，则，又，则有， 于是，而平面，因此平面， 则为点到平面的距离，所以点到平面的距离为2. 8．如图所示，在棱长均为2的直三棱柱中，D是BC的中点．    (1)求证：平面； (2)求平面与平面所成的二面角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】(1)直三棱柱的侧棱和底面垂直,从而得到,并且底面为正三角形,为的中点,则,从而由线面垂直的判定定理可得平面． (2)由二面角的概念确定平面与平面所成的角为,在中,,,从而确定的值.即可求出平面与平面所成的二面角的正弦值． 【详解】（1）证明：在棱长为的直三棱柱中，为正三角形，底面, . 又为的中点,平面中，, ,平面， 平面． （2）在棱长为的直三棱柱中,平面平面, 平面与平面所成的二面角等于平面与平面所成的二面角． 由(1)知平面,，, 就是所求的二面角的平面角， 在中，，，则, ． 9．如图，在正方体中，为线段的中点. (1)证明：直线平面； (2)证明：直线平面. 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明直线垂直于平面内两条相交直线即可证明直线平面； （2）证明直线所在的平面平面平面，即可证明直线平面. 【详解】（1）∵在正方体中， 平面，平面， ∴， 又∵在正方形中，为线段中点， ∴， 又，平面， ∴直线平面. （2）连接，如图， 在正方体中， 四边形是平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面， 在正方体中，四边形是平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面， 又，平面， ∴平面平面， ∵平面， ∴平面. 10．如图，在棱长为2的正方体中，求： (1)异面直线与所成的角的大小； (2)该正方体的体对角线的长． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据异面直线所成的角的定义结合正方体的结构特征即可求解. （2）根据正方体的结构特征结合正方体对角线的概念即可求解. 【详解】（1）因为，所以为异面直线与所成的角． 在等腰直角中，， 所以异面直线与所成的角的大小是． （2）由正方体的体对角线公式得 ， 故该正方体的体对角线的长为． 11．如图，是圆柱的一条母线，是底面的一条直径，D是圆O上一点，且，．    (1)求圆柱的体积： (2)求直线与平面所成角的正切值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用圆柱体积公式即可求解. （2）先找到直线在平面上的射影，确定直线与平面所成角，再通过解三角形求出该角的正切值. 【详解】（1）底面半径，高 ∴体积； （2）∵平面， ∴为在底面内的射影， ∴是直线与平面所成角， 因为， 所以． 所以直线与平面所成角的正切值. 12．如图，平面，四边形是正方形，且，试求：    (1)点到的距离； (2)求异面直线与所成的角. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据垂直关系可得三角形边长，即可判断为等边三角形，根据等边三角形的性质即可求解， （2）根据异面直线所成角的几何法求解角，即可利用三角形的性质求解. 【详解】（1）由于平面，平面，所以， ,四边形是正方形, 所以, 又， 连接相交于， 所以为边长为的等边三角形，所以, 故到的距离为,    （2）取的中点为，连接, 由于是的中点，所以, 故即为直线与所成的角或其补角， 由于，,, 所以为等边三角形，所以, 故直线与所成的角为， 13．《九章算术》中，将四个面都是直角三角形的四面体称为“鳖臑”，如图所示，四面体中，平面，，是棱的中点．    (1)判断四面体是否为鳖臑，并说明理由； (2)若四面体是鳖臑，且，求直线与平面所成的角的大小． 【答案】(1)是，理由见解析 (2) 【分析】（1）先证明平面，即可得证，进而可知四面体是鳖臑，由此得出结论； （2）根据平面，可得为直线与平面所成的角，即可求解. 【详解】（1）证明：平面，平面， ， ，是棱的中点，， 又，且平面，平面， 平面， 平面，； 因此, 故，，，为直角，所以四面体是鳖臑， （2）四面体是鳖臑，，， 又， ， 由（1）知平面，所以为直线与平面所成的角， 由于是中点，所以故.    14．如图，已知是棱长为的正方体，E，F分别是，的中点． (1)哪些棱所在的直线与直线垂直？ (2)求异面直线与所成的角． 【答案】(1)所在的直线与直线垂直，理由见解析． (2) 【分析】（1）证明出线面垂直，得到线线垂直； （2）由线线平行得到是异面直线与所成的角，求出，得到答案. 【详解】（1）所在的直线与直线EF垂直，理由如下： 因为⊥平面，平面， 所以⊥， 同理可得所在的直线与直线EF垂直， 综上，所在的直线与直线EF垂直. （2）∵，， ∴， ∴是异面直线与所成的角， ∵E，F分别是，的中点， ∴， 故， ∴异面直线与所成的角为. 15．如图所示，在棱长为2的正方体中，中平面把正方体分成两部分. (1)直线与平面所成的角的度数； (2)平面与底面所成的角的正切值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据线面平行的定义可得平面，即可求解. （2）根据二面角的定义可知是平面与底面所成的角，在直角三角形中，，即可求得平面与底面所成的角的正切值. 【详解】（1）如图：连接，在正方体中， 因为，平面， 所以平面， 所以直线与平面所成的角的度数为. （2）如图：连接交于点O，连接， 因为在正方体中，， 所以三角形是等边三角形， 又O为的中点，所以， 又，所以， 所以是平面与底面所成的角， 因为平面，平面，所以， 在直角三角形中，， 所以. 16．如图所示，在三棱柱中，底面，，，D为的中点. (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的大小. 【答案】(1)证明过程见解析. (2). 【分析】（1）由直线与平面垂直的定义与判定方法即可得解. （2）由直线与平面所成的角的定义及解直角三角形即可得解. 【详解】（1）在三棱柱中,底面. 所以. ,,为中点. 所以. ，且两直线在平面内， 所以. （2） 连接,因为,所以是直线与平面形成的角. 在直角中. 所以. 综上所述:直线与平面所成角为 17．如图所示，圆柱的底面直径为10，母线，矩形内接于圆柱的下底面，求 (1)圆柱的体积； (2)直线与圆柱的底面所成角的大小 【答案】(1) (2)45° 【分析】（1）根据圆柱的体积公式即可求解. （2）先找出直线与圆柱的底面所成角再结合三角函数值即可求解. 【详解】（1）由已知得圆柱的底面半径为5， 故圆柱的体积． （2）由已知得垂直于圆柱底面， 故为直线与圆柱底面所成的角， 由已知得，为矩形，则由勾股定理得， 在直角中，，故， 即直线与圆柱底面所成角的大小为． 18．如图，在直三棱柱中，．    (1)证明：； (2)求二面角的正弦值． 【答案】(1)证明过程见解析. (2) 【分析】（1）根据线面垂直的性质和判定即可证明； （2）根据二面角的概念可知二面角的平面角，设，根据直角三角形的正弦定义即可求解. 【详解】（1）因为在直三棱柱中，平面，平面, 所以， 又因为，平面， 所以平面， 因为平面， 所以. （2）    取BC的中点为D，连接AD，，设， 在直三棱柱中，因为， 所以， 又，从而， 所以二面角的平面角， 在直角三角形中，, ，. 所以. 故二面角的正弦值为. 19．已知三棱柱的侧棱与底面边长都相等，为底面的边的中点，且平面． (1)设为上底面的重心，试在平面内作出过点与平面平行的直线，并说明理由； (2)证明：（1）中的直线平面． 【答案】(1)答案见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据线面平行的判定定理分析证明； （2）根据线面垂直的判定定理分析证明. 【详解】（1）证明：在平面内，过作与平行的直线，交、于、两点， 则平面，理由如下： 在三棱柱中，，，则， 因为平面，平面，平面． （2）证明：在底面正三角形中，为的中点，则． ∵平面，平面，则． 因为，平面， ∴平面． 又∵，∴平面． 20．如图，在棱长均为1的直三棱柱中，D是的中点．      (1)求证：平面； (2)求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】(1)证明见详解 (2) 【分析】（1）在直三棱柱中平面，则，在等边中，有，且平面，故命题得证； （2）由（1）知直线在平面内的射影为，所以是直线与平面所成角，分别在等边和中，求得，，在中可求解. 【详解】（1）直三棱柱中， 平面，平面， ， 在等边，D是的中点． ，且平面， 平面； （2）    如图，连接 由（1）知平面， 所以直线在平面内的射影为， 所以是直线与平面所成角. 在等边，各边长为1， 故得， 在中，， 故， 在中， . 故直线与平面所成角的正弦值是. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $