专题2 二次函数（B卷·能力提升）-2027版内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》(原卷版+解析版)

编写说明：2027版内蒙古自治区（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2027年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第2个专题，内容为二次函数。 2027年内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》 专题2 二次函数 （B卷·能力提升） 1．已知二次函数的图象的顶点为，且图象在x轴上截得的线段长为8，求这个二次函数的解析式 2．某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高元． (1)服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？ (2)当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 3．已知为定义在上的奇函数，且时，． (1)求函数的解析式； (2)写出函数的单调区间（不需证明）． 4．已知（m，n为常数）是偶函数，且. (1)求的解析式； (2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围. 5．已知二次函数过点，且当时，函数有最小值. (1)求函数的解析式； (2)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 6．某养殖场在养殖面积扩建中，准备用总长为的篱笆围成矩形形状的鸡舍，若矩形的一边长为，面积为. (1)试写出关于的函数关系式； (2)怎样才能使围成的鸡舍面积最大？这个最大面积是多少？ 7．已知二次函数的图像，经过点和点． (1)求函数的解析式； (2)求该函数顶点坐标与最小值． 8．已知二次函数和函数图像的一个公共点恰在轴上． (1)求的解集； (2)设，对任意的，恒大于，求实数的取值范围． 9．一个工厂生产产品，每年需要固定投资万元，此外每生产件产品还需要增加投资万元，年产量件，当时，年销量总收入为万元；当时，年销量总收入为万元，需另增广告宣传费用万元. (1)写出该工厂生产并销售产品所得年利润万元与年产量件的函数解析式； (2)年产量为多少时，所得年利润最大. 10．已知二次函数满足，且的图像经过点． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 11．已知函数. (1)若为偶函数，求实数的值； (2)若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围； (3)若对一切实数都成立，求实数的取值范围. 12．已知二次函数图像经过点，图像的顶点在直线上，对任意的实数，都满足．求： (1)函数的解析式； (2)不等式的解集． 13．已知二次函数的图像过点，且，对任意的实数x都有.求： (1)函数的解析式； (2)不等式的解集. 14．已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)当时，不等式恒成立，求实数的范围. 15．某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件. (1)写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/件）之间的函数关系式； (2)当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润. 16．已知二次函数的图像与x轴有两个交点，它们之间的距离是6，且对称轴方程是，与y轴的交点为． (1)求函数的解析式； (2)若点是二次函数图像上的任意一点，求的最小值． 17．已知，当时，有最小值. (1)求的值； (2)解. 18．已知函数. (1)求，，的值； (2)求该函数在区间上的最大值和最小值. 19．某电商在抖音上对一款成本价为80元的小商品进行直播销售，如果按每件120元销售，每天可卖出40件.通过市场调查发现，该小商品售价每降低10元，日销售量增加 20件 . (1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元? (2)每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少? 20．已知二次函数的最小值为，且． (1)求二次函数的解析式； (2)设函数，若对任意的实数x，函数的图象恒在x轴的上方，求实数m的取值范围． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 编写说明：2027版内蒙古自治区（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2027年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第2个专题，内容为二次函数。 2027年内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》 专题2 二次函数 （B卷·能力提升） 1．已知二次函数的图象的顶点为，且图象在x轴上截得的线段长为8，求这个二次函数的解析式 【答案】 【分析】先设出顶点式，将顶点坐标代入，进而求解. 【详解】已知顶点， 可知二次函数的图象关于对称， 图象在轴上截得的线段长为8，即两个零点之间的距离为8， 由对称轴可知，两个零点关于对称， 因此零点为和，零点为和， 故可设二次函数为， 代入顶点得，， 故解析式为：. 2．某服装店以每件30元的价格购进一批T恤，如果以每件40元出售，那么一个月内能售出300件，根据以往销售经验，销售单价每提高1元，销售量就会减少10件，设T恤的销售单价提高元． (1)服装店希望一个月内销售该种T恤能获得利润3360元，并且尽可能减少库存，问T恤的销售单价应提高多少元？ (2)当销售单价定为多少元时，该服装店一个月内销售这种T恤获得的利润最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)2元 (2)当服装店将销售单价50元时，得到最大利润是4000元 【分析】（1）根据题意，结合一元二次方程的应用，即可求解，； （2）结合题意，根据二次函数的性质，配方即可求得利润最大值及对应的的值，即可求解． 【详解】（1）由题意，设T恤的销售单价提高元，则每件售价为元， 一个月的销售量为件，则， 所以，即， 解得， 因为要尽可能减少库存，所以不合题意，故舍去， 所以T恤的销售单价应提高2元； （2）由题意，设利润为W元，由题意可得, 所以当时，利润W取得最大值4000元，此时销售单价为元， 所以当服装店将销售单价50元时，获得的最大利润是4000元. 3．已知为定义在上的奇函数，且时，． (1)求函数的解析式； (2)写出函数的单调区间（不需证明）． 【答案】(1) (2)单调递减区间是；单调递增区间是， 【分析】（1）根据的函数解析式结合奇函数的性质求解的函数解析式即可； （2）根据不同取值范围内的二次函数求解单调区间即可. 【详解】（1）任取，则， ∴， 又为奇函数， ∴， ∴时，函数； ∴函数的解析式为：； （2）当时，， ∵该函数开口向下，且对称轴为， ∴该函数的单调增区间为，单调减区间为； 当时，函数， ∵该函数开口向上，且对称轴为， ∴该函数的单调增区间为，单调减区间为； ∴的单调递减区间是；单调递增区间是，． 4．已知（m，n为常数）是偶函数，且. (1)求的解析式； (2)若关于x的方程有两个不相等的实数根，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由偶函数的定义求出m的值，再根据求出的解析式即可； （2）利用根的判别式求解即可. 【详解】（1）因为是偶函数， 所以， 即，解得. 又，所以，解得. 所以. （2）由（1）知， 方程有两个不相等的实数根， 转化为方程有两个不相等的实数根， 由，解得或. 所以实数的取值范围为. 5．已知二次函数过点，且当时，函数有最小值. (1)求函数的解析式； (2)当时，恒成立，求实数k的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由二次函数图象过点，点且对称轴为，求出，即可写出解析式. （2）由可得，再由二次函数的性质求解的范围即可. 【详解】（1）二次函数过点，当时，函数有最小值， ，且， ， 函数的解析式：； （2）当时，恒成立， 即在上恒成立， 设，且对称轴为， 则在取得最小值， ， ，即实数k的取值范围为. 6．某养殖场在养殖面积扩建中，准备用总长为的篱笆围成矩形形状的鸡舍，若矩形的一边长为，面积为. (1)试写出关于的函数关系式； (2)怎样才能使围成的鸡舍面积最大？这个最大面积是多少？ 【答案】(1) (2)当，即围成一个边长为的正方形时，鸡舍面积最大，最大面积为 【分析】（1）根据矩形的一边为，得到另一边长为，即可得到面积关于的函数关系式. （2）根据一元二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为篱笆长为，围成的矩形的一边长为， 得矩形的另一边长为， 矩形面积， 即 （2）由（1）得， 所以当，即围成一个边长为的正方形时，鸡舍面积最大，最大面积为. 7．已知二次函数的图像，经过点和点． (1)求函数的解析式； (2)求该函数顶点坐标与最小值． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）把点和点代入，利用待定系数法即可求出函数的解析式 （2）把求得的解析式化为顶点式，即可求得函数的顶点坐标和最小值 【详解】（1）把点和点代入 得 ，解得 ，所以函数的解析式为. （2）由（1）知，整理得，所以函数图像的顶点坐标为，最小值为. 8．已知二次函数和函数图像的一个公共点恰在轴上． (1)求的解集； (2)设，对任意的，恒大于，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据函数的交点求出，再解一元二次不等式易得答案； （2）根据二次函数的最值和正弦函数的最值易得答案. 【详解】（1）因为二次函数和函数图像的一个公共点恰在轴上， 所以， 所以二次函数过，因为， 所以， 所以， 所以， 解得或， 所以的解集为； （2）因为， 所以的最大值为， 因为， 所以的最小值为， 因为对任意的，恒大于， 所以， 所以实数的取值范围为. 9．一个工厂生产产品，每年需要固定投资万元，此外每生产件产品还需要增加投资万元，年产量件，当时，年销量总收入为万元；当时，年销量总收入为万元，需另增广告宣传费用万元. (1)写出该工厂生产并销售产品所得年利润万元与年产量件的函数解析式； (2)年产量为多少时，所得年利润最大. 【答案】(1) (2)年产量为件时，所得年利润最大，最大利润为万. 【分析】（1）根据年利润年销售总收入年总投资，确定分段函数解析式即可. （2）根据第（1）小问得到的分段函数解析式，分别求出函数的最值，即可得到结论． 【详解】（1）每年需要固定投资万元，每生产件产品还需要增加投资万元， 当时，年销量总收入为万元，利润 当时，年销量总收入为万元，需另增广告宣传费用万元， 利润， . （2）当时，的对称轴为，抛物线开口向下， 当时，函数取得最大值，最大值为， 当时，，函数的一次项系数为负，函数单调递减， ， ， 年产量为件时，所得年利润最大，最大利润为万. 10．已知二次函数满足，且的图像经过点． (1)求的解析式； (2)若不等式在上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）先设出二次函数解析式，利用的关系式结合已知点即可求解； （2）将不等式转化为二次不等式恒成立，结合判别式求解. 【详解】（1）设二次函数解析式为：， 因为， 得， 对应系数相等， 解析式为： 又因为的图像经过点， 代入得：， 所以解析式为：； （2）不等式在上恒成立， 则恒成立， 化简得：， 二次函数开口向上，若不等式恒成立， 判别式， 因为恒成立， 所以不等式无解， 实数的取值范围为. 11．已知函数. (1)若为偶函数，求实数的值； (2)若函数在区间上是单调函数，求实数的取值范围； (3)若对一切实数都成立，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数的奇偶性的定义求解即可. （2）根据二次函数的单调性求解即可. （3）根据二次函数的图像以及判别式求解即可. 【详解】（1）由函数为偶函数，则， 可得，解得； （2）由二次函数，则其图象开口向上， 且对称轴为直线，由函数在上单调， 则或，解得或， 实数的取值范围为； （3）因为对一切实数都成立，且其图象开口向上， 所以函数与轴没有交点，即， 解得，故. 12．已知二次函数图像经过点，图像的顶点在直线上，对任意的实数，都满足．求： (1)函数的解析式； (2)不等式的解集． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的对称性可求出对称轴和顶点坐标，设出二次函数的顶点式，进而求解； （2）根据一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】（1）根据二次函数满足， 得对称轴， 又因为顶点在直线上， 将代入得， 所以顶点坐标为， 据此，设二次函数顶点式为：， 又因为二次函数图像经过点， 代入顶点式得：， 则解析式为：； （2）因为，即，故不等式的解集为. 13．已知二次函数的图像过点，且，对任意的实数x都有.求： (1)函数的解析式； (2)不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设二次函数一般式，利用过定点、对称轴性质及已知函数值等量关系列方程求解系数，得到解析式； （2）将解析式代入不等式，整理为一元二次不等式后求解得到解集. 【详解】（1）因为，可知二次函数的对称轴为， 所以可设（）， 已知函数图像过点，可得：①， ，， 又因为，则②， 联立①②解得，， 所以. （2）由可得，即， 则，解得， 所以不等式的解集为. 14．已知二次函数满足，且. (1)求的解析式； (2)当时，不等式恒成立，求实数的范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意，可设出函数的解析式，利用待定系数法，即可求解； （2）根据题意，结合二次不等式恒成立问题，及二次函数的图像和性质，即可求解. 【详解】（1）由题意，设二次函数的解析式为， 因为，所以， 所以， 又， 所以，解得， 所以函数解析式为； （2）因为当时，不等式恒成立， 即当时，不等式恒成立， 又， 令，则函数在时单调递减， 所以， 所以，即. 所以实数的范围是. 15．某衬衣店将进价为30元的一种衬衣以40元售出，平均每月能售出600件，调查表明：这种衬衣售价每上涨1元，其销售量将减少10件. (1)写出月销售利润y（单位：元）与售价x（单位：元/件）之间的函数关系式； (2)当销售价定为多少元时会获得最大利润？求出最大利润. 【答案】(1)， (2)当销售价定为65元时获得最大利润，最大利润为12250元 【分析】（1）利润等于每件的利润乘以销售量，进行计算求解即可. （2）需要将函数配方，然后根据二次函数的性质来求解即可. 【详解】（1）已知进价为元，售价为元，所以每件的利润为元， 那么售价为元时，上涨了元，销售量就减少件， 所以此时的销售量为件， 即， 其中，解得， 故y与x之间的函数关系式为. （2）因为 ， 所以当时，， 答：当销售价定为65元时获得最大利润，最大利润为12250元. 16．已知二次函数的图像与x轴有两个交点，它们之间的距离是6，且对称轴方程是，与y轴的交点为． (1)求函数的解析式； (2)若点是二次函数图像上的任意一点，求的最小值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据条件求出二次函数与轴的交点坐标，设，根据与轴的交点求出的值； （2）将代入的表达式，转化为关于的二次函数，根据二次函数的性质求的最小值. 【详解】（1）二次函数的对称轴方程是，且图像与轴两交点之间的距离是， 则二次函数与轴的交点坐标为和， 可设， 因为函数与轴的交点为， 可得：，即，解得， 所以. （2）因为点是二次函数图像上的任意一点， 所以， 则，且， 所以， ∴当时，. 17．已知，当时，有最小值. (1)求的值； (2)解. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）根据二次函数的顶点式列方程求解即可. （2）根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）原函数可化为， 当时，有最小值， 所以，∴， 又∵，∴， 即. （2）根据题（1）的结果可得函数为， 令，即，解得两根为， 当时，解得或， 所以的解集为或. 18．已知函数. (1)求，，的值； (2)求该函数在区间上的最大值和最小值. 【答案】(1)，， (2)最大值为6，最小值为2 【分析】（1）根据函数的解析式代入求值即可. （2）根据二次函数的性质求解即可. 【详解】（1）已知， 则，，. （2）函数=，对称轴为，图象开口向上， 在上，当时，；当时，. 19．某电商在抖音上对一款成本价为80元的小商品进行直播销售，如果按每件120元销售，每天可卖出40件.通过市场调查发现，该小商品售价每降低10元，日销售量增加 20件 . (1)若日利润保持不变，商家想尽快销售完该商品，每件售价应定为多少元? (2)每件售价定为多少元时，每天的销售利润最大?最大利润是多少? 【答案】(1) 每件售价应定为100元. (2) 每件售价定为110元时，每天的销售利润最大，最大利润是1800元. 【分析】（1）根据题意，列出方程即可求解. （2）根据题意，结合二次函数的性质即可求解. 【详解】（1）设每件售价定为元，则每件利润为，则销量为， 由题意得，原来的日利润为元. 因为日利润保持不变，所以， 即，解得， 因为要尽快销售完，所以定价越低销售越快，即每件售价应定为元. （2）设每天的销售利润为元， 则， 所以当每件定价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是1800元. 20．已知二次函数的最小值为，且． (1)求二次函数的解析式； (2)设函数，若对任意的实数x，函数的图象恒在x轴的上方，求实数m的取值范围． 【答案】(1). (2). 【分析】（）根据题意求出顶点坐标，设出顶点式方程，利用即可得解. （）根据题意整理的解析式，令即可得解. 【详解】（1）二次函数的最小值为，， 则函数的对称轴为，所以顶点坐标为， 设二次函数解析式为， 因为，解得， 所以，整理得. （2）函数， 则函数的图像为开口向上的抛物线， 若对任意的实数x，函数的图象恒在x轴的上方， 则， 解得， 所以实数m的取值范围. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $