专题6 解析几何（讲义）-2027版内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版内蒙古自治区（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2027年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第6个专题，内容为解析几何。 2027年内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》 专题6 解析几何 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 解析几何 圆的标准方程、直线与圆的位置关系 2026-22 解答 5 直线与圆的位置关系（相切、相交） 2025-24 解答 5 圆的标准方程、直线与圆的位置关系 2024-24 解答 5 圆的标准方程、直线与圆的位置关系 2023-24 解答 5 求直线的方程、圆的方程 2022-24 解答 5 命题轨迹透视： （1）题型：解答题。 （2）内容及分值：直线与圆为近5年高考必考知识点，考查内容主要为圆的方程、点到线的距离、直线与圆相切、直线与圆相交求弦长等；分值12分。 1.（2026·内蒙古·真题T22）已知直线：与圆 相切，且圆心 的坐标为． （1）求圆 的标准方程； （2）设 ， 分别为圆 与 轴的交点， 为圆 与直线的切点，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用直线与圆相切时半径等于圆心到切线的距离，结合圆的标准方程形式求解； （2）先求圆与 轴交点得到的长度，再求切点 的坐标，利用三角形面积公式计算面积即可. 【小问1详解】 直线整理为一般式为， 因为直线与圆 相切，故半径 等于圆心 到直线的距离， 由点到直线的距离公式得：， 因此， 又因为圆心 的坐标为， 所以圆 的标准方程为； 【小问2详解】 令 ，代入圆 的方程得：， 整理得，解得， 可记作点 的纵坐标为，点 的纵坐标为， 故， 圆心与切点的连线垂直于切线，直线的斜率为，故直线的斜率为 ， 由点斜式得直线的方程为，即， 联立直线与直线的方程：，解得，即， 因为在 轴上，故点 到直线的距离为， 由三角形面积公式得：. 2.（2025·内蒙古·真题T24）已知圆与直线相切于点. （1）求的值； （2）过圆内一点的直线与圆交于两点，求弦长的最小值. 【答案】（1），. （2）. 【解析】 【分析】（）根据直线与圆相切的性质列出方程组即可得解. （）根据直线时，弦为最小值，结合两点解距离公式及弦长公式即可得解. 【小问1详解】 圆，则圆心坐标为， 圆与直线相切于点， 直线，则直线斜率为， 所以直线的斜率为，即， 又因为点在圆上，则， 联立方程组得，解得， 所以，. 【小问2详解】 因为，， 所以圆， 所以圆心坐标，半径， 当直线时，弦为最小值， ， ， 所以弦长的最小值为. 3.（2024·内蒙古·真题T24）已知圆的圆心在轴上，且圆与轴相切，点在圆上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆交于两点，且，求的值． 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）设出圆的圆心，再根据圆的定义求解即可. （2）根据点到直线的距离公式以及弦长公式求解即可. 【小问1详解】 设圆心为. 因为圆与轴相切，所以半径为. 因为点在圆上，所以 展开得 所以圆心为，半径. 进而圆的标准方程：. 【小问2详解】 由（1）得圆心为，直线为：， 则圆心到直线的距离为. 因为弦长，半径，所以：， 解得，所以，化简得. 解得或. 4.（2023·内蒙古·真题T24）已知点，，圆C经过A，B两点且周长最小． （1）求圆C的标准方程； （2）求经过点且与圆C相切的直线l的方程； （3）已知点，，点P是圆C上的动点，求的面积的最大值． 【答案】（1） （2）或 （3）2 【解析】 【分析】（1）当AB为圆C的直径时，圆C的周长最小，即可求出圆心C的坐标和半径r，故可得出圆C的标准方程. （2）分两种情况进行讨论:直线l的斜率不存在以及直线l的斜率存在，由圆心到直线的距离即可求解斜率. （3）易知点O，M，圆心C都在y轴上，以及OM的长，所以可判断出当轴时，的面积取得最大值，故可求出答案. 【小问1详解】 当AB为圆C直径时，圆C的周长最小， 所以圆心C的坐标为，即， 半径， 所以圆C的标准方程为. 【小问2详解】 当直线l的斜率不存在时:， 与圆C相切，满足题意； 当直线l的斜率存在时，设:，即. 由题意得圆心到直线距离为，，即， 解得. 所以， 综上，直线l的方程为或. 【小问3详解】 由题意知， 点O，M，圆心C都在y轴上，点P是圆C上的动点，所以当轴时， 的面积取得最大值，此时. 故，. 5.（2022·内蒙古·真题T24） 已知点及圆：. （1）直线过点且圆心到该直线的距离为1时，求直线的方程； （2）设过点的直线与圆交于，两点，当时，求以线段为直径的圆的方程. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）求出圆心的坐标，设出直线的方程，利用点到直线的距离公式列方程求解； （2）由条件求出圆心到直线的距离，可知点为线段的中点，然后利用圆的标准方程得出答案． 【小问1详解】 由，得， 所以圆心为，半径， 若直线的斜率存在，设直线的方程为，即， 因为圆心到直线的距离为1，所以，解得， 所以直线的方程为，即； 当直线的斜率不存在时，的方程为，满足题意， 所以直线的方程为或． 【小问2详解】 因为圆的半径，， 所以圆心到直线的距离， 又，所以点为线段的中点， ∴以线段为直径的圆的圆心为，半径为2， ∴以线段为直径的圆的方程为． 1．圆的定义和圆的方程 定义 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹叫做圆 方 程 标准 (x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0) 圆心C(a，b) 半径为r 一般 x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0 充要条件：D2＋E2－4F＞0 圆心坐标： 半径r＝ 2．直线与圆的位置关系 设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)， 圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)， d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ. 　　方法 位置关系 几何法 代数法 相交 d＜r Δ＞0 相切 d＝r Δ＝0 相离 d＞r Δ＜0 1．已知圆，Q是x轴上的动点，QA，QB分别与圆M相切于A，B两点． (1)若，求切线方程； (2)若，求直线MQ的方程． 2．已知圆，圆外有一点.求： (1)过点且圆相切的直线方程； (2)两个切点所连成的弦（切点弦）的长度. 3．已知圆经过点和，且圆心在直线上. (1)求圆的方程； (2)求圆心到直线的距离. 4．（1）求圆的切线方程，使得它经过点 （2）圆的切线在轴上截距相等，求切线方程 5．已知圆. (1)求圆心的坐标和半径的值； (2)若直线与圆相交于两点，求. 6．（1）求直线被圆截得的弦的长． （2）求过点，圆心在直线上，且与直线相切的圆的方程． 7．已知方程表示一个圆. (1)求实数m的取值范围； (2)求圆的周长的最大值. 8．已知圆，直线，圆与圆关于直线l对称. (1)求圆的标准方程； (2)过动点分别作两圆的切线MA，MB，其中A，B分别为切点，若，求的最小值. 9．已知过点且斜率为的直线与圆交于，两点． (1)求的取值范围； (2)若，其中为坐标原点，求． 10．在平面直角坐标系中，已知点. (1)求直线的方程； (2)求以线段为直径的圆的方程. 11．已知为圆: 上任意一点，另有一点 ， (1)求的最大值和最小值； (2)若，求的最大值和最小值. 12．设圆：与直线相切，且被直线所截得的弦长为. (1)求的方程； (2)若与有且只有3个公共点，求实数的值. 13．已知直线及圆. (1)若直线与圆相切,求的值； (2)若直线与圆相交于A、B两点,且弦AB的长为,求的值. 14．已知圆C经过点，两点，且圆心C在直线：上. (1)求圆C的标准方程； (2)若过点且倾斜角为的直线与圆C相交于P，Q两点，求四边形的面积. 15．已知圆． (1)写出圆心坐标和半径； (2)求过点且与圆C相切的直线方程． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1．(1)或 (2)或 【分析】（1）讨论切线斜率是否存在，再根据直线与圆相切求解即可. （2）设的坐标，根据题意列出方程求出的坐标，进而求出直线MQ的方程. 【详解】（1）圆，圆心，半径， 当切线斜率不存在时，即切线为，因为且圆心到的距离为符合相切， 当切线斜率存在时，设切线，即， 则圆心到直线的距离， 即，解得，即切线：， 综上，切线方程为，． （2）设，则， 设直线与相交于点，则， 因为，所以， 因为，所以，即， 进而，解得. 进而直线的方程为或.    2．(1)或 (2) 【分析】（1）设所求直线方程为，由圆心C到直线的距离等于半径，列式可求出切线方程；当切线的斜率不存在时，方程也符合题意； （2）分别将切线方程与圆的方程联立，求出切点即可得解. 【详解】（1）由圆的方程，可得， 故由圆的圆心为，半径. 设过点且圆相切的直线方程的斜率为， 则切线方程为，即. 圆心到切线的距离， 解得，即切线方程为； 当过点且圆相切的直线方程的斜率不存在时，直线方程也符合题意. 综上所述，或为所求； （2）设切线与圆的切点为，联立方程，得 ，解得，即； 设切线与圆的切点为，联立方程，得 ，解得，即； 所以两个切点所连成的弦（切点弦）的长度：. 3．(1) (2) 【分析】（1）根据圆的性质求出圆心坐标和半径，进而得到圆的方程； （2）利用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离． 【详解】（1）点和，则的中点坐标为， 所以的垂直平分线方程为，所以圆心在直线上， 又知圆心在直线上，所以圆心坐标是， 圆的半径是, 所以圆的方程是. （2）圆心到直线的距离. 4．（1）；（2）或或 【分析】（1）先判断点与圆的位置，再求解直线的斜率，再由切线的性质可得切线斜率，再由点斜式方程求解即可. （2）分类讨论截距是否为零，再根据切线的性质求解即可. 【详解】（1）因为点满足圆的方程， 所以在圆上，则直线的斜率， 根据圆的切线的性质可得所求直线的斜率， 所以经过M的直线方程为， 整理可得：； （2）由题意可得，当截距全为0时，即直线过原点，可设直线方程为， 则圆心到直线的距离，即，解得：， 此时直线方程为， 当截距相等且不为0时，可设直线方程为， 则圆心到直线的距离，即，解得：或， 此时切线方程为或， 综上可得切线方程为：或或. 5．(1)圆心，半径为 (2) 【分析】（1）将圆的一般方程转化为标准方程即可求； （2）利用点到直线距离公式及弦长公式可求. 【详解】（1），得， 所以圆心，半径为； （2）圆心到直线距离为， . 6．（1）；（2）. 【分析】（）将圆的一般方程转化为标准方程求出圆心坐标与半径，结合点到直线的距离公式及弦长公式即可得解. （）根据题意设出圆心坐标与半径，列出方程组即可得解. 【详解】（1）将圆化为标准式，可得， 所以圆心坐标为，半径为，直线， 所以利用点到直线的距离可以求得弦心距为， 所以弦长为，所以弦的长为. （2）圆心在直线，设圆心坐标为，半径为， 因为圆与直线相切，且点在圆上， 则， 解得， 所以圆心坐标为， 故所求圆的方程为． 7．(1) (2) 【分析】（1）根据圆的一般式与标准式的转化，根据标准式即可求解. （2）根据二次函数的性质可求解半径的最大值，进而可求圆周长的最大值. 【详解】（1）已知方程， 可化为， 若方程表示一个圆，则，即， 解得， 即实数m的取值范围是. （2）由（1）可知， 圆的标准方程为， 则圆的半径， 当且仅当时，半径r取得最大值， 所以圆的周长的最大值为. 8．(1) (2)2 【分析】（1）先求出圆的圆心和半径，再由两圆关于直线对称，求出圆的圆心和半径，即可写出标准方程. （2）由可得，化简可得点的轨迹方程，再由表示点到原点的距离，结合点到直线的距离公式计算最小值即可. 【详解】（1）圆的圆心为，圆与圆关于直线l对称， 圆的半径为1，两圆的圆心关于直线对称， 设的圆心为，则的中点为， 中点在对称的直线上，得到①， 的连线与直线l垂直， ∴两直线的斜率相乘为，得到②， 联立①②可得， 圆心坐标为，且半径为1， ∴求圆的标准方程； （2），两圆的半径均为1， ，即， ，即， ∴点M的轨迹是直线，其方程为， 表示，而， ， 即的最小值为2. 9．(1) (2) 【分析】（1）由已知得直线的斜截式方程，利用圆心到直线距离小于半径，列不等式可求解； （2）联立直线与圆方程，利用向量内积的坐标表示，结合韦达定理得的值，从而可知直线过圆心，据此可得解. 【详解】（1）由圆可知，圆心，半径. 因为直线过点且斜率为， 所以直线方程可表示为，即. 又因为直线与圆交于，两点， 所以， 即，解得， 所以的取值范围为； （2）设，由题意，过点的直线方程为，代入圆，可得 ，则有， 所以 ， 由，解得， 显然满足（1）中结论. 此时直线的方程为，即，则 圆心在直线上，为圆的直径， 所以. 10．(1) (2) 【分析】（1）根据两点坐标得到直线斜率，即可得到直线的点斜式方程，再化为一般式即可. （2）先根据中点坐标公式得到圆心，再利用两点间距离公式得到半径，即可求解圆的标准方程. 【详解】（1）因为点， 所以直线的斜率， 得到直线的点斜式方程为，即. （2）因为点， 所以线段的中点坐标为， 即圆的半径， 故以的直径的圆的方程. 11．(1)的最大值为，最小值为. (2)的最大值为，最小值为. 【分析】（1）求出圆的圆心与半径，然后利用几何意义求解最大值与最小值即可. （2）利用的几何意义，转化求解圆的圆心与直线的距离问题，推出结果. 【详解】（1）由:可得， 所以圆心坐标为，半径， 可得， 因此， . （2）由题意可知表示直线的斜率， 设直线的方程为，即， 则. 直线与圆有交点，所以， 可得， 所以的最大值为，最小值为. 12．(1) (2) 【分析】（1）由圆与直线相切，可得，由圆被直线所截得的弦长为，可得，联立可求解； （2）分，，讨论，根据图像可知，当且射线与圆相切时符合题意，据此可求解. 【详解】（1）由圆：知，圆心坐标为， 因为圆：与直线相切，且，， 所以，即.——① 因为圆心到直线的距离，由题知 ——② 由①②得 ，且， 故，从而. 所以的方程为； （2）①当时，与圆只有一个交点； ②当时，，与圆没有交点； ③当时，， 由题意，当与圆相切时，与圆相交，如图所示，满足题意， 所以圆心到直线的距离， 解得或（舍去）    13．(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意直线与圆相切，则有圆心到直线的距离等于圆的半径，即可求解. （2）根据题意结合圆的半径和半弦长及弦心距的勾股定理求解，即可求出的值. 【详解】（1）解:因为圆的方程为， 所以圆的圆心坐标为，半径为， 由直线与圆相切得， 解得或. （2）因为圆心到直线的距离为， 又弦AB的长为，圆的半径为， 根据勾股定理得， 解得 14．(1) (2) 【分析】（1）求得圆心半径代入即可得到圆C的标准方程； （2）先判定四边形为梯形，再以梯形面积公式去求四边形的面积即可. 【详解】（1）设圆心坐标为，由， 则， 解得，故，半径， ∴圆C的标准方程为. （2）由直线过点且倾斜角为，可得的斜率， 则的方程为：， 经过点，两点的直线斜率为， 则直线的方程为，则， 又圆心在直线上，所以为圆C的直径， 则，又， 则四边形为梯形， 梯形的高即为与之间的距离， 故. 15．(1)圆心坐标为，半径为 (2)或 【分析】（1）根据题意，将圆的一般式方程转化为标准式方程，即可求得圆心坐标和半径； （2）根据题意，可分类讨论切线斜率是否存在两种情况，先设出切线方程，再结合圆心到直线的距离等于半径，即可求得切线的斜率，继而求解. 【详解】（1）因为圆，化为标准式方程得， 所以圆心坐标为，半径. （2）    由题意，当切线的斜率存在时，可设切线方程为，即， 因为圆C的圆心坐标为，半径， 所以圆心到直线的距离，即， 两边平方化简得，解得， 所以切线的方程为，即； 当切线的斜率不存在时，过点的直线方程为， 此时圆心到直线的距离为2，等于半径，直线和圆相切，符合题意； 综上，圆的切线方程为或. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $