专题5 立体几何（讲义）-2027版内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版内蒙古自治区（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2027年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第5个专题，内容为立体几何。 2027年内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》 专题5 立体几何 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 立体几何 证线面平行、求线面角 2026-24 解答 12 证线面平行与垂直 2025-22 解答 10 求线面角、证线面垂直 2024-23 解答 12 证线面平行、面面垂直 2023-22 解答 10 证线面平行、涉及异面直线所成角 2022-21 解答 10 命题轨迹透视： （1）题型：解答题。 （2）内容及分值：立体几何证明题为每年必考知识点，考查内容主要为线面平行与垂直的证明、异面直线所成的角等；分值10-12分。 1.（2026·内蒙古·真题T24）如图，矩形 所在的平面与梯形所在的平面垂直，且，，，点 ， 分别是 ， 的中点． （1）求证：平面； （2）求直线 与平面所成角的大小． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点 ，连接通过证明四边形为平行四边形得到，进而利用线面平行的判定定理证明即可. （2）先证明平面，从而确定 为 在平面上的射影，即为所求角，在中求解即可. 【小问1详解】 取的中点 ，连接， 因为 ， 分别是 ， 的中点， 所以， 因为 为矩形，所以， 所以， 所以四边形为平行四边形， 所以，平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为平面 平面， 平面 平面， 因为 为矩形，所以， 所以平面，因为平面， 所以，因为， 所以，平面， 所以平面，即 为 在平面上的射影， 所以是直线 与平面所成角， 在中，，则， 因为， 所以，即直线 与平面所成角为. 2.（2025·内蒙古·真题T22）如图，在四棱锥中，底面是正方形，分别为的中点，侧面底面，且. （1）求证：平面； （2）求证：平面. 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，由中位线可得，再由线面平行的判定即可证明. （2）根据面面垂直的性质得平面，从而得出，再由勾股定理逆定理得出，由线面垂直的判定即可证明. 【小问1详解】 如图，连接， 因为底面是正方形，分别为的中点， 所以也为的中点，又为的中点， 所以为的中位线，所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为底面是正方形，所以， 因为侧面底面，侧面底面，底面， 所以侧面，又侧面， 所以， 因为， 所以， 所以，即， 因为平面，， 所以平面. 3.（2024·内蒙古·真题T23） 如图，在四棱锥中，底面是PC的中点． （1）求直线PB和平面PAD所成的角的大小； （2）求证：直线平面PCD； 【答案】（1） （2）见解析. 【解析】 【分析】（1）求PB和平面PAD所成的角的大小，说明就是要求的角即可求解． （2）要证明平面PCD，只要证明，结合，即可证明结论． 【小问1详解】 因为底面，底面，所以. 又因为，平面PAD， 所以平面PAD，从而是直线PB和平面PAD所成的角. 在中，所以. 【小问2详解】 因为，所以是等边三角形，进而. 又因为是PC的中点，，所以. 因为底面，底面，所以. 又因为平面，，所以平面. 又因为平面，所以. 因为，，平面， 所以平面. 4.（2023·内蒙古·真题T22）如图，四棱锥中，底面ABCD为矩形，平面平面ABCD，，E，F分别是BD，PB的中点. 求证： （1）平面PCD； （2）平面平面PCD. 【答案】（1）证明见详解 （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）利用中位线的性质，由线线平行证明线面平行即可. （2）先由面面垂直证明线面垂直，再由线面垂直的判定定理证明即可. 【小问1详解】 因为E，F分别是BD，PB的中点， 所以， 因为平面PCD，平面PCD， 所以平面PCD. 【小问2详解】 因为底面ABCD为矩形，， 平面平面ABCD，平面平面，平面ABCD， 所以平面， 因为平面PCD，所以， 又因为，，平面PAB， 所以平面PAB， 因为平面PCD，所以平面平面PCD. 5.（2022·内蒙古·真题T22）如图，是平行四边形所在平面外一点，，分别是，的中点. （1）求证：平面； （2）若，与所成的角为，求的长. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，可证得四边形为平行四边形，得，利用线面平行的判定定理可得结论； （2）由题意得为与所成的角，则，得是等边三角形，由求得答案． 【小问1详解】 取的中点，连接， ∵，分别是，的中点，∴，， ∵是平行四边形，是的中点，∴，， ∴，， ∴四边形为平行四边形，∴， ∵平面，平面， ∴平面． 【小问2详解】 ∵是中点，，∴是的平分线， ∵，∴为与所成的角，则， ∴，是等边三角形， ∴． 1.异面直线所成的角 （1）定义：设a，b是两条异面直线，经过空间任一点O作直线a′∥a，b′∥b，把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)． （2）范围： 2．直线与平面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 a∩α＝∅ a⊂α，b⊄α，a∥b a∥α a∥α，a⊂β，α∩β＝b 结论 a∥α b∥α a∩α＝∅ a∥b 3．直线与平面垂直 (1)定义：若直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，则直线l与平面α垂直． (2)判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直(线线垂直⇒线面垂直)．即：a⊂α，b⊂α，l⊥a，l⊥b，a∩b＝P⇒l⊥α. (3)性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行．即：a⊥α，b⊥α⇒a∥b. 4．直线与平面所成的角 (1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角，叫做这条斜线和这个平面所成的角． (2)线面角θ的范围：. 5.面面平行的判定与性质 判定 性质 定义 定理 图形 条件 α∩β＝∅ a⊂β，b⊂β，a∩b＝P，a∥α，b∥α α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b α∥β，a⊂β 结论 α∥β α∥β a∥b a∥α 6．平面与平面垂直 (1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直． (2)判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直．即：a⊂α，a⊥β⇒α⊥β. (3)性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直．即：α⊥β，a⊂α，α∩β＝b，a⊥b⇒a⊥β. 7．二面角的有关概念 (1)二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角． (2)二面角的平面角：二面角棱上的一点，在两个半平面内分别作与棱垂直的射线，则两射线所成的角叫做二面角的平面角． 1．空间四边形的对角线，，分别是的中点，，求异面直线与所成的角. 2．如图所示，三棱锥中，底面是正三角形，底面，且，，求二面角的大小. 3．如图.在平行四边形中，，，把沿对角线折起，使得平面平面.    (1)求的长； (2)求异面直线与所成的角的大小. 4．如图，在正三棱柱中，，截面侧面. (1)求证：； (2)若，求平面与平面所成二面角（锐角）的度数. 5．如图，四棱锥的底面是边长为2的菱形，底面，为的中点，． (1)求证：平面； (2)若，求直线与平面所成的角的大小． 6．如图，在正三棱柱中，，，点为的中点.    (1)求证：平面； (2)求三棱锥的体积. 7．如图所示，在直三棱柱中，分别为，的中点，点F在侧棱，且，. (1)求证：直线平面； (2)若，求与平面所成角的余弦值. 8．如图，在直三棱柱中，，且，，点是的中点. (1)证明：平面； (2)求二面角的正切值. 9．如图所示三棱锥P-ABC，底面为等边三角形ABC，O为AC边中点，且底面ABC，. (1)求三棱锥P-ABC的体积； (2)若M为BC中点，求PM与平面ABC所成角大小. 10．如图，已知空间四边形中，，，是的中点. (1)求证：平面； (2)求证：平面平面. 11．如图，已知在长方体中，，，，为的中点． (1)证明：平面 (2)求与平面所成的角的大小． 12．如图，在正方体中，为线段的中点. (1)证明：直线平面； (2)证明：直线平面. 13．在空间四边形ABCD中，，，E，F分别是AB，CD的中点，，求异面直线AD与BC所成的角的大小． 14．如图所示，在正三棱柱中，所有棱长都为2，D是的中点. (1)求证：面； (2)求证：面面； (3)求点A到面的距离. 15．如图，在直三棱柱中，，. 求二面角的正弦值. 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1． 【分析】首先求出异面直线的平面角，再求解即可. 【详解】取的中点，   ，为，的中点， ，； ，. 则异面直线与所成角即与所成角， 又， ， ，即与所成角为， 故异面直线与所成角为. 2． 【分析】先根据线面垂直的判定与性质找出二面角的平面角，再通过解三角形求出该平面角的大小. 【详解】取的中点，连接，． 因为底面是正三角形，所以． 因为底面，底面，所以， 又因为平面，所以平面， 因为平面，所以． 那么是二面角的平面角． 在正中，，为中点， 所以． 在中，，，则． 因为，所以， 即二面角的大小为. 3．(1) (2) 【分析】（1）根据面面垂直的性质定理和线面垂直的性质定理，结合勾股定理即可求解； （2）过作且，连接，，则为异面直线与所成的角，求解即可. 【详解】（1）在平行四边形中，，， 把沿对角线折起，使得平面平面， 平面平面，，平面， 平面，平面，， 又平行四边形中，，， 所以，， ，，. （2）如图，过作且，连接，，   四边形为平行四边形，为异面直线与所成的角， 平面，平面，， ，， 是正三角形，  ， 所以异面直线与所成的角的大小为. 4．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据三角形中位线定理､线面平行的性质定理，结合面面垂直的性质､平行四边形的判定定理和性质进行证明即可； （2）根据二面角的定义，结合勾股定理的逆定理进行求解即可. 【详解】（1）设的中点为，过作，垂足为，连接， 因为是等边三角形，所以， 因为是正三棱柱，所以面侧面， 而面侧面，所以侧面， 因为截面侧面，截面侧面， 所以侧面，因此， 因为是正三棱柱，所以侧面， 而平面侧面，侧面，所以， 因此是平行四边形，所以， 因为，所以， 因为的中点为，所以是的中点， 于是有，而且， 所以是中点，即； （2）延长交于点，设， 由（1）可知，，所以是的中点， 即, 因此在中，， 因为，所以， 在中，， 在中，， 因为，所以， 所以是平面与平面所成二面角的平面角， 因为，所以矩形是正方形，因此. 5．(1)证明过程见解析 (2) 【分析】（1）由底面，可得，根据线面垂直的定义结合已知条件即可求解. （2）取F为直线的中点，连接，根据线面角的定义可知为直线与平面所成的角，在直角三角形中，根据已知条件即可求解. 【详解】（1）因为四边形是边长为2的菱形，所以， 又因为底面，且底面， 所以， 因为，平面， 所以平面. （2）如图，取F为直线的中点，连接， 因为为的中点， 所以为三角形的中位线， 所以. 又因为底面， 所以底面. 又底面， 所以， 所以为直线与平面所成的角. 因为四边形是边长为2的菱形， 所以O为AC的中点，F为直线的中点， 所以为三角形的中位线，所以， 所以在直角三角形中，， 又，所以. 6．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）取与的交点，证，即可证得平面. （2）先求的面积，再由三棱锥的体积公式可得. 【详解】（1）连接 ,与相交于，连接，则是的中点. 又为的中点，所以，平面，平面. 所以平面．    （2）在正三棱柱中，，，点为的中点， ， . 故三棱锥的体积． 7．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）首先根据平行线的传递性得出，再由线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理得平面，再由线面垂直的性质得出平面， 再由线面垂直的判定定理得平面，得出为与平面所成角，再由余弦函数的定义和诱导公式求值即可. 【详解】（1）分别为，的中点， 为的中位线， ，为直三棱柱， ，， 平面，平面， 直线平面. （2）为直三棱柱， 平面，平面， ，， 且平面，平面，， 平面， ，平面， 平面，， ，且平面， 平面，， 平面， 故为与平面所成角. ，， ， 在中，， ， ，， ， 与平面所成角的余弦值为. 8．(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）结合直三棱锥特点和题目条件，根据线面平行判定定理进行证明. （2）根据二面角定义找到二面角的平面角，求出各边长即可求角的正切值. 【详解】（1）因为三棱柱为直三棱柱，所以底面， 底面，所以. 在△中，，为线段的中点，所以. 又，平面，平面. 所以平面. （2）因为平面，平面， 所以. 因为， 且平面，平面，， 所以平面. 因为平面，所以，因为， 所以是二面角的平面角. 因为，， 所以. 因为，，所以. 所以二面角的正切值为. 9．(1)1 (2) 【分析】（1）由题知，底面ABC，在中，可求得三棱锥P-ABC的高，根据棱锥的体积公式可求解； （2）连接OM ， 由于底面ABC，故为PM与平面ABC所成角，在中可求解. 【详解】（1）底面ABC，底面ABC ， ， 又，， ∴， 而， 所以； （2） 如图，连接OM ， 底面ABC， 为PM与平面ABC所成角， O，M分别是AC，BC的中点， ， 在中， ， ， 所以PM与平面ABC所成角大小为 . 10．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）由条件并利用等腰三角形的性质可得，根据直线与平面垂直的判定定理证得. （2）由（1）知，而，利用平面与平面垂直的判定定理证得. 【详解】（1）证：∵，是的中点， 由等腰三角形的性质可得,. 所以中的两条相交直线和， ∴. （2）证：由（1）知，而， 则. 11．(1)证明见解析； (2) 【分析】（1）由直线与平面平行的判定定理即可得结果； （2）由底面可得线面角为，即可解得结果. 【详解】（1）证明：由题图连接交于点，连接，因为底面为长方形， 所以为的中点，又因为为的中点，所以为的中位线， 因此，，又因为平面，且不属于平面，所以平面； （2）解：由题知为长方体，所以底面， 所以为与平面所成的角，在直角三角形中， ，因此， 故可知与平面所成的角的大小为. 12．(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）证明直线垂直于平面内两条相交直线即可证明直线平面； （2）证明直线所在的平面平面平面，即可证明直线平面. 【详解】（1）∵在正方体中， 平面，平面， ∴， 又∵在正方形中，为线段中点， ∴， 又，平面， ∴直线平面. （2）连接，如图， 在正方体中， 四边形是平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面， 在正方体中，四边形是平行四边形， ∴， 又平面，平面， ∴平面， 又，平面， ∴平面平面， ∵平面， ∴平面. 13． 【分析】取BD的中点O，利用定义法求出异面直线AD与BC所成的角. 如图所示， 设BD的中点为O，连接EO，FO，则， 所以是异面直线AD与BC所成的角或其补角， 而，， 在中，由余弦定理，得， 而，因此， 所以异面直线AD与BC所成的角为． 14．(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3) 【分析】（1）先构造三角形中位线，证线线平行，推出线面平行； （2）先证BD垂直侧面，再由面面垂直判定定理证明即可； （3）利用等体积法，转换顶点，列式即可求点到平面的距离. 【详解】（1） 连接交于点O，则O为中点， 又因为D是AC中点，在中， OD为中位线， 所以, 平面，平面， 根据线面平行的判定定理，平面； （2）因为 是正三角形，D为AC中点， 所以， 在正三棱柱中，侧棱底面，底面，, 所以， ， 平面， 所以平面， 又因为平面， 所以平面平面； （3）已知正三棱柱所有棱长均为2， 在正三角形中，， ， 平面， ， ， 设点A到面的距离为h， . 15． 【分析】根据二面角的定义，找出是二面角的平面角，结合等腰三角形的性质，勾股定理，以及直棱柱的结构即可求解. 【详解】 取的中点为，连接，，设， 在直三棱柱中，因为，所以， 又，所以， 所以是二面角的平面角， 在直角三角形中，， ，. 所以，故二面角的正弦值为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $