专题4 三角函数（讲义）-2027版内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》

公共基础课·二轮讲练测 AI职教》》 编写说明：2027版内蒙古自治区（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年 考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为 构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和B卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2027年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第 ↓4个专题，内容为三角函数。 2027年内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》 专题4三角函数 考 结 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 余弦定理及三角形的面积公式 2026-21 解答 10 三角恒等变换及余弦定理 2025-19 解答 8 三角函数 三角恒等变换及正弦定理 2024-19 解答 P 解三角形（结合向量考查） 2023-19 解答 8 解三角形（结合向量考查） 2022-19 解答 8 命题轨迹透视： (1)题型：解答题。 (2)内容及分值：三角恒等变换及解三角形；分值稳定在8分。 试卷第1页（共3页） 公共基础课·二轮讲练测 。A山职教》 真 题 动 向 1.(2026内蒙古·真题T21)某单位有一块如图所示的四边形空地ABCD，测得 ∠A=90°，AB=3m,AD=4m,BC=12m,CD=13m. A B (1)求cos2C的值： (2)若在这一空地上种植草皮，每平方米成本为100元，需要投入多少资金？ 119 【答案】(1)169 (2)3600元 【解析】 【分析】(I)连接BD,根据勾股定理求出BD的长，再由余弦定理求出CosC的值，最 后由二倍角的余弦公式求值即可 (2)根据三角形的面积公式求值即可· 【小问1详解】 连接BD,因为∠A=90°， AB=3m,AD=4m, 所以BD=V32+42=5m, 因为BC=12m,CD=13m 所以cosC= 122+132-5212 2×13×12131 所以c0s2C=2× 12)2 13 1119 169 D A B 试卷第2页（共3页） 公共基础课·二轮讲练测 。A职教》 【小问2详解】 由(1)可知，BD=5m,BC=12m,CD=13m, 所以BD2+BC2=CD2,则∠DBC=90°， 所以54o=x3×4=6m2,5,an=x5x12=30m2。 所以S4BcD=6+30=36m2,因为每平方米成本为100元， 所以需要投入36×100=3600元. 2.(2025内蒙古真题T19)在△ABC中，a=3,b=5,c=7 (1)求△ABC的最大内角的度数： C (2)求tan 2 的值 【答案】 (1)C= 2π (2)-2-5 【解析】 【分析】(1)根据三角形的性质得出角C最大，结合余弦定理即可得解. (2)根据题意结合两角和的正切公式即可得解 【小问1详解】 在△ABC中，a=3,b=5,c=7, 因为C边最大，所以角C最大， 则cosC= 9+25-49-151 2×3×530-2 因为0<C<π' 所以C=2 【小问2详解】 C Cπ 2π 3 tan+tan π，C 4 3、 1+V5 （1+5月 则tan tan 42 43 1-6-6)0+同-2-5 元tan 1-tan 4 3 3.(2024内蒙古真题T19)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是a,b,C, 试卷第3页（共3页） 公共基础课·二轮讲练测 A职教》》 已知=2'c=V2,c0s4、V2 4 (l)求sinC: (2)求c0s 2A+π 【答案】(l)sinC= √7 4 V21-3 (2)cos 8 【解析】 【分析】(1)由同角三角函数的关系式和正弦定理即可得解： (2)由二倍角公式和两角和的余弦公式即可得解 【小问1详解】 由cosA=- 4,且Ae(0,π) a 由正弦定理 sin A sinC' 即sinc=csinA_ x vi4 。4、 a 4 【小问2详解】 所似os24+ -cos2 4cos-sin 2 4sin 2 3 }9 28 试卷第4页（共3页） 公共基础课·二轮讲练测 A职教》 4.(2023内蒙古·真题T19)在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别是4，b,c,向量 m=(3a,V3b)与n=(cosA,sinB)平行. (1)求角A的大小： (2)若b=√2，c=2,求△ABC的面积. 【答案】(1)6 2 2)2 【解析】 【分析】(1)由向量平行和正弦定理边角互化求解角度即可. (2)由三角形面积公式直接求解即可 【小问1详解】 因为向量m=(3a,V3b)与i=(cosA,sinB)平行， 所以有3 asin B-V3 bcosA=0,即V3 asin B-bcosA=0, 由正弦定理得V3 sin Asin B-sin Bcos A=0, 又sinB≠0,3sinA-cosA=0, 从而anA= 3 由于0<A<π， 所以A-君 【小问2详解】 因为b=V2,c=2, 由（④知，Sx=besinA=)V2.2-sin=2 1 6 2 所以三角形AABC的面积为 2 5.(2022内蒙古真题T19)在△ABC中，角A,B,C的对边分别是a,b,c,且三内角 A,C,B成等差数列，c=3若向量m=(L,sinA),i=(2,sinB)共线求a,b的值 试卷第5页（共3页） 公共基础课·二轮讲练测 A职教》 【答案】a=V5,b=25. 【解析】 【分析】利用三个内角成等差数列，可求得角B,再利用两向量共线，可求得角A,B,然后 利用正弦定理求解 【详解】在△ABC中，三内角A,C,B成等差数列，所以有A+B=2C, 又因三角形内角和A+B+C=180°，所以C=60°： 因为m=(1,sinA),i=(2,sinB)共线，所以sinB=2sinA, sin Bsin (10B)-sin(+C)-sin dcosC+cos sin Csin -cos A, 即2sn4=in4+g5cos cos 4.sin4 3 2 -cos A4,tan 4=sin 43 2 c0sA3,所以A=300 B=180°-A-C=90°： a b 由正弦定理 sin A sin B sinC可得， a=csin4_3sin30°-V5,b=csin B_3sin90°=25 sinC sin60° sinC sin60° 识 ●0● 1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式. sin(a+B)=sina cos B+cosa sin B sin(a-β)=sina cosβ-cosa sin B cos(a-B)=cos a cos B+sin a sin B cos(a+B)=cosa cos B-sin a sin B un( tan(-B)=1+tana.tanB tan a-tan B 2.有关公式的逆用、变形等 试卷第6页（共3页） 公共基础课·二轮讲练测 9A职教》泥 (1)tana+tanp=tan(+B)(1-tana.tan B) 2)tana-tan B=tan(a-B)(1+tana.tan B) 3.函数f术c)=asin a-十bcos d(a,b为常数)，可以化为c)=sin(a十p),其中tanp= 4.二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 2a=2sin acos a. (2)cos 2a=cosa-sin2a=2cos a-1=1-2sin2a. (3)tan2a=. 5.公式的逆用、变形等 (1)c0s2a= (2)sina= (3) sina cosa=Sin2a 2 (4)1+sin 2a=(sin a+cos a)2 6.正弦定理和余弦定理： 在△ABC中，若角A,B,C所对的边分别是a,b,c,则 正弦定理 余弦定理 a2=b2+c2-2bccos A ===2R 内容 b2=a+c2-2accos B (R为△ABC外接圆半径) c2=a+b2-2abcos C (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c= cos A=; 常见变 2Rsin C; cos B=; 形 (2)sin A=,sin B=,sin C=; cos C= (3)a:b c=sin A sin B sin C 试卷第7页（共3页） 公共基础课·二轮讲练测 。A山职教》 (1)已知两角和任一边，求其他两边 (1)已知三边，求三个角； 解决的 和一角： (2)已知两边和它们的夹角，求第 问题 (2)己知两边和其中一边的对角，求 三边和其他两角 另一边和其他两角 命 题 预 测 1.在△ABC中，A=45°，c=V6,a=2,求b,B,C. 2.设在△ABC中，Q=2,b=3,c=V19,求△ABC中最大的角及△ABC的面积. 3.在△ABC中，a,b,c分别为内角A,B,C的对边，且2a=(2b-cb+(2c-b)c.求角 A的大小： 4.在△ABC中，若sinA=V5sinC,∠B=30°，△ABC的面积为V3,求△ABC的周长 试卷第8页（共3页） 公共基础课·二轮讲练测 A职教》 5.在△ABC中，a=3,c=V5,∠A=120°，求b,∠C. 6.在△ABC中，∠C=60,a,b分别是方程x2-7x+I1=0的两个根，求c的值. 7在1BC中，∠A∠B∠C所对的边分别为g6'c且∠C=号 (L)求sinAcosB+cosAsinB的值； (2)如果a=1,b=2,求边c的长度 试卷第9页（共3页） 公共基础课·二轮讲练测 A职教》》 8.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a2-b2=ac-c2。 (1)求B: ②若6=5osC= 10,求c. 9.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别是a,b,c,a=7,b=8,c=5. (1)求角A的值： (2)求sinB的值， 10,在Bc中，cos2B=子 (I)求sinB的值 (2)当a=2,2sinA=sinB,求b的值 11.在锐角△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知b=4,c=5, 试卷第10页（共3页） 公共基础课·二轮讲练测 A职教》 coA-sin (I)求角A的大小： (2)求△ABC的周长和面积. 12.在△ABC中，内角A,B,C所对的边长分别为a,b,C,已知△ABC的周长为4W3+2,且 sinA+sinB=2√3sinC. (1)求边长c: (2)若a=b,求角C的余弦值. 13.已知△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,满足V3 acos B=bsinA (I)求角B的大小： ②若c0sA=V2 ,求sin(2A-B)的值； 14.己知a,b,c分别为锐角△ABC三个内角A,B,C的对边，且 a·sin Bcos C+c·sin Bcos A= 2 (I)求角B的大小： 试卷第11页（共3页） 公共基础课·二轮讲练测 A职教》 (2)若a=V3,b=V2,求△ABC的面积. l5.在△ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,且 2asinA=(26-c)sinB+(2c-b)sinC (1)求角A的大小： 3V3 (2)若a=5,AABC的面积为4，求AMBC的周长。 【答案】 1b=V3+1,B=75°，C=60°或b=5-1,B=15°，C=120° 【分析】由正弦定理，可得C=60°或120°，分情况两种情况讨论，由三角形的内角和可 得B,根利用正弦定理可求b,据此可得解 【详解】由AC:可得smC-cs4_6×血45°-5 a 2 2 因为0°<C<180°，所以C=60°或120° (1)当C=60°时，B=75°， bcsin B6sin75 sin C sin60° (2)当C=120°时，B=15°， b=csin B_6sin159 =V3-1. sinC sin120° 综上所述， b=V3+1,B=75°，C=60°或b=V3-1,B=15°，C=120° 2.C=2 3a=35 2 【分析】根据题意，结合余弦定理即可求得最大的内角，结合三角形面积公式，即可求解. 试卷第12页（共3页) 公共基础课·二轮讲练测 。A职教》 【详解】因为在△ABC中，a=2,b=3,c=V19, 所以最大的角为∠C, 所以cosC=a+62-c2_4+9-191 2ab 2x2×3=-2: 又0<C<a'所以C=2 3； 所以Sac=)absinC=)×2x3xsin2年_35 2 32 3.3 【分析】由己知变形为b2+c2-a2=bc,再利用余弦定理可求解 【详解】由2a2=(2b-cb+(2c-b)c,可得b2+c2-d2=bc, 所以cosA=B2+c2-d2-bc-1 2bc 2bc2 因为A0:所以4=号 4.4+25 【分析】先根据正弦定理得到a=√3c,再由三角形的面积公式得到a,c的边长，再由余弦 定理得出边b,进而求出△ABC的周长 【详解】：sinA=V3sinC,:由正弦定理可得a=V3c, 又∠B=30°，△ABC的面积为V3, acsin B-x3exex 1 1 2 2 可得c=2,a=2W3. :由余弦定理可得=0+c2-2ac0sB=12+4-2x25×2×5=4. 2 .b=2,∴.△ABC的周长a+b+c=2V3+2+2=4+2√5」 5.30°，√3 【分析】由正弦定理求∠C,再求出∠B,根据等腰三角形的特征即可得出b的值， 【详解】己知在△ABC中，a=3,c=V3,∠A=120°， 根据正弦定理a=C得， 3=5,即sinc=2 1 sin A sin C sinl20°sinC 3 2 试卷第13页（共3页) 公共基础课二轮讲练测 。A职教》 因为在△ABC中，∠A=120°， 所以0°<∠C<60°，所以∠C=30° 则∠B=180°-120°-30°=30°=∠C, 所以△ABC为等腰三角形， 所以b=c=V5 6.c=4 【分析】根据韦达定理求出a+b,b的值，再根据余弦定理求值即可 【详解】已知a,b分别是方程x2-7x+11=0的两个根， 又韦达定理可知a+b=-子-7，b=11, 1 1 所以a2+b2=(a+b)}2-2ab=7-22=27, 又∠=60°，所以c2=a+h2-2 abcos60°=27-2x11x=16. 所以c=4, 元0号 (2)V5 【分析】(1)逆用两角和的正弦公式化简求值即可， (2)根据余弦定理求值即可 【详解】山)因为∠C-行，所以4+∠B=2红 3 sinAcosB+cosAsinB=sin(A+B)=sin n2π-3 32 (2因为∠C-子，则eosC=a子 32 根据余弦定理c2=d2+b2-2 abcosC可得， 2=1P+22-2x1x2x23,所以c=5 80号 o3 【分析】(1)根据余弦定理以及角的范围求解即可 试卷第14页（共3页) 公共基础课·二轮讲练测 。AI职教》 (2)根据正弦公式以及同角三角函数的关系求解即可 【详解】(1)因为，2-b2=ac-c2,所以cosB=a+c2-b2 =ac=1 2ac 2ac2' 因为B∈(0，π)，所以B= 3 (2)因为osC=2 7N2 10 因为c ,所以isinC=.与x276 cs、b 510- 3 sin C sin B 9.03 回49 【分析】(1)利用余弦定理求角的值即可： (2)利用余弦定理及同角三角函数基本关系式可求 【详解】(1)因为a=7,b=8,c=5, 则cosA-2+c2-d_82+52-71 2bc 2×8×52, 又Ae(0,,所以A-号 2)c0sB=a+c2-_72+52-81 2ac 2×7x57· 又ZBE0.m:所以i咖B=V1-csB=1-1:4N3 497 10.()sinB 4 (2)b=4 【分析】(1)利用二倍角公式即可得解 (2)根据题意结合正弦定理即可得解 1 【详解】<1)中，cos2B=-4,则-2sin2B=4,解得sinB=±0 4 因为0<B<x”所以snB=而 试卷第15页（共3页) 公共基础课·二轮讲练测 。A职教》 (2)在△ABC中，a=2,2sinA=sinB, a b 2 b 由正弦定理可得， sinA sin Bsin2sinA,解得b=4, 所以b=4. . 2)凋长为9+√21，面积为5V3 【分析】(I)先由余弦的二倍角公式求解Cos2A的值，再由角的范围即可求解. (2)先由余弦定理求解边a,再由三角形周长和面积公式计算即可 【详解】(1)cos2A-sim24=- 2,..cos24=-1 21 又ABC为锐角三角形，：0<24<x”即2A= 3,解得A=π 3 2②在AABC中，A= 3,b=4’c=5, 由余弦定理可知g=b+C2-2次cos4d=16+25-2×4x5c0s号-21， 3 a>0,∴.a=V21, :△ABC的周长为a+b+c=V21+4+5=9+V21, aAnC的面积S-smA- x4x5xsin =5/3 3 12.1)2 ©g 【分析】(1)根据正弦定理的边角互化，结合题意即可求解. (2)根据余弦定理即可求解 【详解】(l1)由题意得，sinA+sinB=2W3sinC, 则在△ABC中，由正弦定理可得a+b-2V3C 又△ABC的周长为4W3+2, 则a+b+c=2√3c+c=4V5+2,解得c=2. (2)由(1)得，c=2,则a+b=2V3c=4V5,因为a=b,则a=b=23 试卷第16页（共3页) 公共基础课·二轮讲练测 。A职教》 由余弦定理得.cosC-+B-c_矿+2-25 2ab 2×2V3×2V3 6 1B.B-号 a214+56 18 【分析】(1)利用正弦定理化简等式再利用三角形内角和为π即可求： (2)利用正弦差角公式、正余弦二倍角公式可求， 【详解】(l)由sinA:sinB:sinC=a:b:c, 原式得V3 sin Acos B=sin Bsin A,因为sinA>0, sin B=3 即√5cosB=sinB,cosB 即anB=5,因为B∈(0，，则B 3 ②圆为4=号4E0则血4- 2 3 3 所以sin2A=2sin4cosA=2xV7x2_24 33 9 c0s2A=2c0s2A-1=2× 3 1 由(1)知cosB= 2,sinB= 2 sin(24-B)=sin 2Acos B-cos 2Asin B 214x1_5)x5_214+55 9x2-9x2 18 14.1)B=45 回24 【分析】(1)由正弦定理和诱导公式化简求值即可. (2)首先由正弦定理求出角A,再由两角和的正弦公式求出snC的值，最后由三角形面 积公式求值即可 【详解】(I)已知a-sin BcosC+c:sin BcosA= b 2 试卷第17页（共3页) 公共基础课·二轮讲练测 A职教》》 由正弦定理得，Sm4 sin BcosC+6 sin C sin Boos=Y2nB. 2 因为sinB≠0， 约去得in AcosC+-sin Ccos=2 即si(A+O=2 ,因为4+B+C=元 所以sin(4+C)=sin(a-B)=sinB= 2 在锐角△ABC中，0°<∠B<90°，所以B=45°. (2)已知a=V3,b=V2,B=45°， 3√2 由正弦定理得sin sin45 V3x 所以sinA= 2=3 √22 在锐角△ABC中，0°<∠A<90,所以A=60°. 得C=180°-45°-60°=75°， 所以sin75°=sin(45°+30) =sin45°cos30°+cos45°sin30°， =bnc-方5xx62_3t5 4 4 ,3+V3 所以该三角形的面积为4 5@4-音 23V5 【分析】(1)由正弦定理进行边角互换，再由余弦定理求值即可 (2)由三角形面积公式得出bC=3,再由余弦定理求值即可 【详解】(1)因为2asin4=(2b-c)sinB+(2c-b)sinC, 由正弦定理得，2a=(2b-c)b+(2c-b)c, 整理得b2+c2-a2=bc, 试卷第18页（共3页） 公共基础课·二轮讲练测 A职教》》 所以由余弦定理得cos4=+2-d-be1 2be -2bc2 因为A∈(0，)，所以A=及 3 3V5 (2)因为a=4BC的面积为4， 所以S=)bcin_33 "3-4’bc=3 由余弦定理，得d2=b+c2-2 becosA=-b2+c2-bc=(b+c}2-3bc, 即3=(b+c)2-3×3,得b+c=23, 所以△ABC的周长为a+b+c=3V3 试卷第19页（共3页)