专题3 数列（讲义）-2027版内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版内蒙古自治区（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2027年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第3个专题，内容为数列。 2027年内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》 专题3 数列 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 数列 等比数列的通项公式及等差数列的前n项和公式的应用 2026-20 解答 8 求等差数列的通项公式及等比数列的前n项和 2025-21 解答 10 求等差数列的通项公式及等比数列的前n项和 2024-21 解答 10 等差数列与等比数列的综合应用 2023-21 解答 10 求等差数列的通项公式及等比数列的前n项和 2022-22 解答 10 命题轨迹透视： （1）题型：解答题。 （2内容及分值：等差、等比数列的通项公式及前n项和公式；分值8-10分。 1.（2026·内蒙古·真题T20）等差数列中，．若正项等比数列满足，，试判断512是数列的第几项． 【答案】 第10项 【解析】 【分析】先通过等差数列的前 项和公式与通项公式列方程组求首项和公差，得到等比数列的首项和第三项，再求等比数列的公比与通项，最后解方程确定512对应的项数即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为 ，， 根据等差数列前 项和公式，由可得：， 化简得 ①， 根据等差数列通项公式，由可得：②， 联立①②，用②减①得，解得，代入①得 所以，， 即正项等比数列中，， 设的公比为， 根据等比数列通项公式可得，代入得， 解得（负根不符合正项要求，舍去）， 因此的通项公式为， 令，即，可得，解得， 故512是数列的第10项． 2．（2025·内蒙古·真题T21）已知数列满足，且前三项和为12. （1）求数列的通项公式； （2）设数列满足，求数列的前项和. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合等差数列的定义及通项公式即可得解. （）根据题意结合等比数列的定义及前项和公式即可得解. 【小问1详解】 数列满足， 所以该数列为公差为的等差数列， 前三项和为12，则， 解得， 所以， 则数列的通项公式为. 小问2详解】 数列满足， 则，， 所以该数列为等比数列，且首项为，公比为， 则. 3.（2024·内蒙古·真题T21） 已知等差数列满足，. （1）求等差数列的通项公式； （2）设等比数列满足，，求等比数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的性质可求出和，进而求解； （2）根据等比数列的性质可求出，再根据等比数列前n项和公式即可求解. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 则， ， 则数列的通项公式 . 【小问2详解】 设等比数列的公比为， 由（1）可知， ，， 则， 等比数列前n项和 . 4.（2023·内蒙古·真题T21）已知公差不为0的等差数列中，，且，，是等比数列的前三项． （1）求数列的通项公式； （2）记数列的前n项和为，设，求数列的前n项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比中项即可求解. （2）根据等比数列的通项公式和前n项和公式可求出，再由对数的运算性质求出，从而利用等差数列的求和公式即可求解. 【小问1详解】 因为成等比，， 所以，， 因为，所以， 所以， 所以. 【小问2详解】 因为，所以， 有数列的公比，因此， 由等比数列的前n项和公式有，故， 又， 因此为等差数列，所以由等差数列前n项和公式有. 5.（2022·内蒙古·真题T21） 已知等差数列的前项和为，且，. （1）求数列的通项公式； （2）若，，成等比数列，求正整数的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知得关于与公差的方程组，再由等差数列的通项公式得答案； （2）由等差数列的通项公式，结合等比数列的性质列式求解． 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 由，，得，解得， ∴数列的通项公式为． 【小问2详解】 由，，成等比数列，可得， 即， 整理得，解得(舍)，或． 1．等差数列的通项公式与前n项和公式 (1)若等差数列的首项是，公差是，则其通项公式为. 若等差数列}的第m项为，则其第项可以表示为. (2)等差数列的前项和公式 .(其中n∈N*，为首项，d为公差，为第n项) 2．等差数列及前n项和的性质 (1)若a，A，b成等差数列，则A叫做a，b的等差中项，且A＝. (2)若{an}为等差数列，当m＋n＝p＋q，am＋an＝ap＋aq(m，n，p，q∈N*)． (3)若{an}是等差数列，公差为d，则ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)是公差为md的等差数列． (4)数列Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…也是等差数列． (5)S2n－1＝(2n－1)an. (6)若n为偶数，则S偶－S奇＝； 若n为奇数，则S奇－S偶＝a中(中间项)． 3．等比数列的通项公式及前n项和公式 (1)若等比数列{an}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为an＝a1qn－1； 若等比数列{an}的第m项为am，公比是q，则其第n项an可以表示为an＝amqn－m. (2)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，Sn＝na1；当q≠1时，. 4．等比数列及前n项和的性质 (1)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an. (2)相隔等距离的项组成的数列仍是等比数列，即ak，ak＋m，ak＋2m，…仍是等比数列，公比为qm. (3)当q≠－1，或q＝－1且n为奇数时，Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为qn. (4)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，仍是等比数列． 1．等差数列中，．若正项等比数列满足，，试判断512是数列的第几项． 2．等差数列中，，. (1)求通项公式； (2)求前项和. 3．已知等比数列的各项均为正数，且，. (1)求数列的通项公式； (2)令，求数列的前项和. 4．已知数列为等差数列，且，. (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前5项的和. 5．在数列中，，. (1)求的通项公式； (2)数列是等差数列，为的前项和，若，，求数列的前项和的最大值. 6．设等差数列的前n项和为，已知，求和. 7．等差数列中， (1)求与 (2)若；求k 8．在等差数列中，d为公差且成等比数列，求： (1)及d； (2)的前10项和. 9．已知等差数列中，，求和 10．已知等差数列中，，. (1)求的通项公式； (2)若，求数列的前项和. 11．在等差数列中，，求数列的通项公式及前项和. 12．设是等差数列的前n项和，，求. 13．已知数列是公差不为0的等差数列，，且，，成等比数列 (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和. 14．等差数列中，公差，前100项的和为65，求的值 15．已知数列的前n项和，， (1)求数列的通项公式； (2)设，求数列的前n项和． 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1．第10项 【分析】先通过等差数列的前项和公式与通项公式列方程组求首项和公差，得到等比数列的首项和第三项，再求等比数列的公比与通项，最后解方程确定512对应的项数即可. 【详解】设等差数列的首项为，公差为，， 根据等差数列前项和公式，由可得：， 化简得 ①， 根据等差数列通项公式，由可得：②， 联立①②，用②减①得，解得，代入①得 所以，， 即正项等比数列中，， 设的公比为， 根据等比数列通项公式可得，代入得， 解得（负根不符合正项要求，舍去）， 因此的通项公式为， 令，即，可得，解得， 故512是数列的第10项． 2．(1) (2)100 【分析】（1）先求出公差，再根据等差数列的通项公式求解； （2）根据等差数列的前项和求解即可. 【详解】（1）等差数列中，，， 则公差， 所以通项公式. （2）前项和. 3．(1). (2). 【分析】（）根据题意结合等比数列的通项公式列出方程组求出首项与公比即可得解. （）根据等差数列的定义得出数列为等差数列，代入等差数列的求和公式即可得解. 【详解】（1）等比数列的各项均为正数，且， 设公比为， 则，解得（舍）或， 当时，，解得， 所以. （2）， ，， 所以数列是首项为，公差为的等差数列， 则. 4．(1) (2) 【分析】（1）设出等差数列的首项以及公差，再根据通项公式以及前项和公式求解即可. （2）根据（1）以及等比数列的定义以及前项和公式求解即可. 【详解】（1）设等差数列的公差为. 因为等差数列的通项公式， 前项和公式； 由题可知：，解得. 所以等差数列的通项公式. 即. （2）由（1）可知，因为，根据指对式互化，可得， 因为，，所以是首项为2，公比为4的等比数列. 根据等比数列前项和公式：可得：. 5．(1) (2)； 【分析】（1）根据等比数列的定义和已知条件，即可求解. （2）根据等差数列的定义得到公差，利用等差数列的求和公式得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】（1）因为数列中，， 故数列是等比数列，首项，公比， 则其通项公式为， （2）由（1）可得，，， 因为，故， 又，令等差数列的公差为， 即， 故等差数列的通项公式为， 得到， 又函数在时取得最大值，所以的最大值为49. 6．; 【分析】根据已知条件求出公差和首项，再根据通项公式以及求和公式求解即可. 【详解】设等差数列的公差为和首项为， 由题意可得 ，， 即 . 根据等差数列的通项公式以及求和公式得， . 7．(1)； (2) 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式列方程求解即可. （2）根据等差数列的前项和公式列方程求解即可. 【详解】（1）已知为等差数列， 且， 则，即， 解得， 所以， . （2）由（1）可知，， 若，则， 即，解得， 其中不合题意，舍去， 所以. 8．(1)， (2) 【分析】（1）利用等差数列通项公式结合等比中项公式可求； （2）利用等差数列前项和公式可求. 【详解】（1）因为， 则，，， 由成等比数列，有， 即，化简得， 解得或（舍去）； 则，. （2）由（1）知等差数列，，； 则. 9．， 【分析】利用等差数列的通项公式及前项和公式可求. 【详解】， ，解得， ， ， . 10．(1) (2) 【分析】（1）由条件列出方程组求出，进而求出通项公式.   （2）先求出数列的通项公式，再利用等比数列的前项和公式求解即可． 【详解】（1）设等差数列的公差为，因为，， 所以，解得， 所以. （2）由（1）可得， ，， 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列， 所以数列的前项和. 11．；. 【分析】根据等差数列的通项公式和前n项和公式即可求解. 【详解】因为在等差数列中，， 即，解得， 所以数列的通项公式为， 前项和为. 12． 【分析】根据等差数列的通项公式与前n项和公式列方程求解即可. 【详解】已知为等差数列，且， 设首项为，公差为， 所以有，即， 解得， 所以. 13．(1) (2) 【分析】（1）由等比中项的性质求解公差，再由等差数列的通项公式代入即可求解. （2）由（1）求出通项公式，再代入，由裂项即可求解. 【详解】（1）因为，，成等比数列， 所以， 又因为为等差数列， 所以， 又因为， 所以有， 整理得， 解得或， 当时，，，，， 无法形成等比数列， 故舍， 所以， 所以， 所以数列的通项公式为. （2）因为， 所以， 所以 . 14． 【分析】根据奇数项和以及偶数项和的关系求解即可. 【详解】令， ， 因为前100项的和为65，所以①， 且 ，即②， ①+②可得， 所以， 即. 15．(1) (2) 【分析】（1）由数列的前n项和求得首项，再由，求得时的通项公式，验证首项后得答案. （2）把数列的通项公式代入，分组后利用等比数列的前n项和可得答案. 【详解】（1）由， 当时， 验证时，得，成立， 所以. （2）， 所以， ， . 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $