专题2 二次函数（讲义）-2027版内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版内蒙古自治区（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2027年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第2个专题，内容为二次函数。 2027年内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》 专题2 二次函数 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 二次函数 二次方程的根、二次函数恒成立等问题 2026-23 解答 12 二次函数在生活中的实际应用 2025-23 解答 12 二次函数在生活中的实际应用 2024-22 解答 10 二次函数在生活中的实际应用 2023-22 解答 10 二次函数的解析式、恒成立等问题 2022-23 解答 12 命题轨迹透视： （1）题型：解答题。 （2）内容及分值：二次函数的解析式、值域、单调性以及二次函数在生活中的实际应用；分值一般在10-12分。 1.（2026·内蒙古·真题T23）已知二次函数的图象的顶点为，且经过点． （1）求该二次函数的解析式； （2）如果不大于10，求对应的实数 的取值范围； （3）当时，求该函数的最大值和最小值． 【答案】（1） （2） （3）最大值为25，最小值为1. 【解析】 【分析】（1）先根据二次函数顶点式设解析式，代入已知点求解参数得到解析式； （2）解一元二次不等式得到   的取值范围； （3）根据二次函数的开口方向和对称轴判断区间单调性，求解对应区间的最值. 【小问1详解】 已知二次函数图象顶点为，设二次函数顶点式为， 将点 代入解析式得：，解得， 代入顶点式展开得：. 【小问2详解】 由题意 ，代入解析式得： ， 可得，解得， 即 的取值范围为. 【小问3详解】 二次函数的二次项系数 ，图象开口向上，对称轴为直线 . 给定区间全部位于对称轴左侧， 因此函数在上单调递减. 函数在区间左端点处取得最大值： 函数在区间右端点   处取得最小值：. 2.（2025·内蒙古·真题T23）某商场经营一批商品，进价为每件30元，规定销售单价（单位：元）在30元到50元之间（即）.在市场营销中发现，若销售单价为35元时，日销售量为45件；销售单价为45元时，日销售量为15件.此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系. （1）求与之间的函数解析式； （2）设经营此商品的日销售利润为（单位：元），求关于的函数解析式及最大日销售利润. 【答案】（1）. （2），日销售利润最大为元. 【解析】 【分析】（）根据题意设出解析式，列出方程组即可得解. （）根据利润公式列出解析式，结合二次函数的性质即可得解. 【小问1详解】 此商品日销售量（单位：件）与销售单价（单位：元）之间满足一次函数的关系， 设， 则，解得， 所以. 【小问2详解】 商品进价为每件30元， 则， 整理得， 图像为开口向下的抛物线，对称轴为，， 所以当时，日销售利润最大为元， 综上所述，，日销售利润最大为元. 3（2024·内蒙古·真题T22）用篱笆材料围成一块一边靠墙的矩形场地，中间用同样的材料隔成面积相等的小矩形（如图所示），共用材料的长度为米，则围成的矩形场地的最大面积是多少？（篱笆材料的厚度忽略不计） 【答案】平方米 【解析】 【分析】首先设矩形的宽为，再由矩形面积公式建立二次函数模型，由二次函数的顶点式确定最值即可. 【详解】设矩形的宽为米，则矩形的长为米， 设矩形场地的面积为， 则， 所以当米时，有最大值为平方米. 所以围成的矩形场地的最大面积是平方米. 4.（2023·内蒙古·真题T23）对于函数，若存在，使成立，则称点为函数的不动点． （1）已知函数有不动点和，求a，b的值； （2）若对于任意实数b，函数总有两个相异的不动点，求a的取值范围． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）根据不定点的定义，将两个定点代入函数即可求解 （2）根据两个相异的不动点转换成，由此构造成不等式，结合函数的性质即可求解. 【小问1详解】 由题意， 即， 解得． 所以，. 【小问2详解】 函数总有两个相异的不动点， 即关于x的方程有两个不等根， 化简得到， 所以，即， 由题意，关于b的不等式恒成立，所以． 解得：． 5.（2022·内蒙古·真题T23）已知函数，. （1）若方程有一个正根和一个负根，求的取值范围； （2）当时，不等式恒成立，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）方程的两根一正一负可以用和两根之积小于0判断解决. （2）当时，不等式恒成立，就是，由得整理不等式求解即可. 【小问1详解】 设方程有一正根和一个负根， 则 ， 解得， 所以a的取值范围为. 【小问2详解】 当时,不等式恒成立， 即， 因为， 所以，， 而，当且仅当时等号成立， 所以， 所以a的取值范围为. 1.二次函数 (1)二次函数的定义 形如f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的函数叫做二次函数． (2)二次函数的三种常见解析式 ①一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)； ②顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，(m，n)为顶点坐标； ③两根式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)其中x1，x2分别是f(x)＝0的两实根． (3)二次函数的图象和性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0) 图象 a>0 a<0 定义域 R R 值域 对称轴 顶点 坐标 奇偶性 b＝0⇔y＝ax2＋bx＋c(a≠0)是偶函数 递增 区间 递减 区间 最值 当x＝－时， y有最小值ymin＝ 当x＝－时， y有最大值ymax＝ 1．若二次函数的图像位于x轴下方，与x轴不相交，求k的取值范围. 2．某工厂生产某种产品，每年需要固定投资100万元．此外每年生产1件该产品需要增加投资1万元，已知年产量为件，当时，年销售总收入为万元，当时，年销售总收入为260万元． (1)写出该工厂生产并销售这种产品所得年利润y万元与年产量x的函数关系式； (2)要使年利润最大，则该工厂年产量为多少？ (3)为保证年利润不低于75万元，求年产量取值范围． 3．（1）已知是一次函数，，，求函数的解析式. （2）已知二次函数满足条件，且有最小值，求的解析式. 4．已知二次函数的图像的对称轴为，它在轴上截得的线段长是6，且的图像经过点，求该二次函数的解析式. 5．某小型服装厂生产一种风衣，月销量x件与货价元/件之间的关系为，生产件所需成本为元，问：月销量多大时，月获利不少于1300元？月销量多大时，可获最大利润？最大利润为多少？ 6．已知函数． (1)若函数满足，求此函数的解析式及其最值. (2)若，当时，求x的取值范围. 7．二次函数的图象与轴有两个交点，且对于任意的都有，且最小值为． (1)求的值； (2)如不大于7，求对应的取值范围． 8．已知二次函数的图像与轴交于和两点． (1)求二次函数的解析式； (2)当时，恒成立，求实数的取值范围； (3)设，求时的取值范围． 9．已知函数图像关于直线对称，且 . (1)求函数的解析式； (2)求函数在区间上的值域 . 10．已知二次函数． (1)指出函数图像的开口方向，并求函数图像的顶点的坐标和对称轴． (2)求出为何值时 11．已知二次函数的图像与x轴有两个交点，它们之间的距离为6，对称轴为，且有最小值. (1)求的值； (2)如果不大于7，求对应的x的范围． 12．函数在上是增函数，求: (1)实数a的取值范围； (2)函数在上的值域. 13．某商场以130元/kg的价格新进一批商品.经市场调查分析得知，若以200元/kg出售，每日可以卖出80kg；若售价每增加（或减少）1元，则每日销售量就减少（或增加）2kg. (1)求该商品的日盈利（元）与销售单价（元/kg）之间的函数解析式； (2)要使该商品的日盈利最大，商场应如何确定该商品的销售单价? 14．已知函数．求： (1)的定义域； (2)的最大值以及取得最大值时x的值． 15．若二次函数的图象的对称轴为，最小值为，且． (1)求的解析式． (2)若关于的不等式在区间上恒成立，求实数的取值范围． 【答案】 1． 【分析】根据二次函数与二次方程的关系求解即可. 【详解】若二次函数的图像位于x轴下方，与x轴不相交， 则说明方程无解， 即，解得， 所以k的取值范围为. 2．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据年利润年销售总收入固定投资增加投资即可求解. （2）根据二次函数，一次函数的性质即可求解. （3）根据一元一次不等式，一元二次不等式的解法即可求解. 【详解】（1）由题意得，当时，， 当时，，即. （2）当时，函数， 函数开口向下，对称轴为，所以年产量为时，最大利润为， 当时，的减函数，故年利润， 所以要使年利润最大，则年产量为. （3）当时，要保证年利润不低于75万元，则， 解得，所以年产量为； 当时，要保证年利润不低于75万元，则， 解得，所以年产量为； 综上，为保证年利润不低于75万元，求年产量取值范围为. 3．（1）；（2） 【分析】（1）根据题意，结合一次函数图象和性质，利用待定系数法，即可求解. （2）根据题意，结合二次函数图象和性质，利用待定系数法，即可求解. 【详解】（1）由题意，设一次函数，， 由，可得，解得，， 所以一次函数的解析式为. （2）由题意，设二次函数，， 由可得对称轴为， 所以，， 所以二次函数的解析式为. 4． 【分析】根据题意，可设出二次函数的一般式，结合二次函数的图像和性质，利用待定系数法，即可求解. 【详解】由题意，设二次函数的解析式为， 因为函数图像的对称轴为，它在轴上截得的线段长是6， 所以的图像与轴的交点坐标为和， 将点、和代入函数解析式得 ， 解得，所以函数解析式为. 5．答案见解析 【分析】根据利润为售价与成本之差建立函数关系，再根据题意建立不等式求解，并计算二次函数的最值. 【详解】因为月销量件与货价元/件之间的关系为， 生产件所需成本为元， 所以月利润为， 当月获利不少于1300元时，， 可化为，解得， 函数是一个开口向下的二次函数， 对称轴，又必须是整数， 当时，， 当时，， 因此，当月销量在之间时，月获利不少于1300元； 当月销量为32或33件时，可获得最大利润，最大利润为元. 6．(1)，最小值为，无最大值. (2). 【分析】由题干可得关于对称，由的对称轴公式求出，再由二次函数的性质，即可求解最值. 由题干可得以，再根据对数函数的单调性解不等式即可求解. 【详解】（1）因为， 所以的对称轴为， 因为，可得， 所以， 所以， 因为二次函数开口向上，所以在对称轴处取最小值，无最大值， 当时，， 所以此函数的解析式为，最小值为，无最大值. （2）因为，， 所以， 因为， 所以，即， 因为在上单调递增， 所以， 解得. 所以x的取值范围为. 7．(1) (2) 【分析】（1）先分析二次函数的顶点坐标，设定函数解析式，再根据函数与轴的交点间距离和对称轴，得到交点坐标，即可求解. （2）建立不等式，求解一元二次不等式. 【详解】（1）由于二次函数的图象对于任意的都有，所以函数的对称轴为， 又函数的最小值为，所以函数的顶点坐标是， 设函数的解析式为， 又函数图象与轴有两个交点，且，所以交点的横坐标分别为和5， 将代入解析式，得到，即， 所以函数的解析式为， 即. （2）若不大于7，即， 可化为，即， 解得， 所以如不大于7，的取值范围是. 8．(1) (2) (3) 【分析】（1）根据函数图像与轴交点，得到方程的两根，即可求解. （2）根据（1）函数解析式建立不等式，设定新的函数，确保在指定区间内最小值满足，即可求解. （3）根据和对数函数的单调性，建立不等式，即可求解. 【详解】（1）根据题意，二次函数的图像与轴交于和两点，所以方程的两根分别是和3， 即，得到， 所以函数的解析式为. （2）由得到，即， 设，因为的图象开口向上，对称轴方程为， 要使在上恒成立，只需要， 所以，得到. （3）， 所以得到， 可化为，解得或 可化为，解得， 综上，或， 即的取值范围为 9．(1) (2) 【分析】（1）由二次函数的对称轴方程求得，由得，据此可求解； （2）根据二次函数的性质可求解. 【详解】（1）因为函数图像关于直线对称， 所以，解得. 又因为，所以. 所以函数的解析式为； （2）由于函数的对称轴为，且开口向下， 所以在区间上的最大值为， 最小值为， 所以函数在区间上的值域. 10．(1)开口向下，顶点坐标，对称轴. (2)或 【分析】（1）根据二次函数的性质求解即可. （2）根据因式分解求解即可. 【详解】（1）因为，，所以函数图像的开口向下. 因为， 故函数图像的顶点的坐标为，对称轴为. （2）因为， 所以或. 11．(1) (2) 【分析】（1）根据题意可知二次函数图像顶点为，与轴交点为，再设二次函数的顶点式为，再将或代入求出即可. （2）根据一元二次不等式的解法求解即可. 【详解】（1）已知二次函数的图像， 对称轴为，且有最小值，所以顶点为， 又由图像与x轴有两个交点，它们之间的距离为6， 可知与轴交点为， 设二次函数的顶点式为， 将代入得，即， 解得，则有 ， 所以. （2）由（1）可知， 则若不大于7，可得， 即等价于， 解得， 所以对应的x的范围为. 12．(1) (2) 【分析】（1）根据二次函数的单调性与对称轴的关系确定的取值范围； （2）根据二次函数的性质求出函数的最小值，进而得到值域. 【详解】（1）二次函数的图像开口向上，对称轴为， 因为函数在上是增函数，所以，解得， 所以的取值范围是. （2）由（1）可知，函数在处取得最小值， 所以函数在上的值域为. 13．(1)， (2)185元 【分析】（1）根据题目所给条件找出日盈利与销售单价之间的函数关系； （2）解法一：利用配方法求出日盈利的最大值. 解法二：利用二次函数顶点坐标公式求出日盈利的最大值. 解法三：利用基本不等式求出日盈利的最大值. 【详解】（1）因为实际销售单价为元/，所以价格变化量为，销量变化量为， 从而日销量为. 又因为每千克的利润为， 所以日盈利. 依题意知，即，解得. 故日盈利与销售单价之间的函数解析式为，. （2）解法一（利用配方法）： . 当时，（元）. 经检验，所以日盈利最大时，销售单价为185元. 所以要使该商品的日盈利最大，商场应确定该商品的销售单价为185元. 解法二（利用二次函数顶点坐标公式）： 对于二次函数，当时，图象开口向下， 当时，取最大值. 对于函数，. 当（元）时，（元）. 所以要使该商品的日盈利最大，商场应确定该商品的销售单价为185元. 解法三（利用基本不等式）： ，. 令，，则. （元）. 当且仅当时取等号，此时，解得（元）， 所以要使该商品的日盈利最大，商场应确定该商品的销售单价为185元. 14．(1) (2)当时，取最大值13 【分析】（1）由和都有意义，列出不等式组求解的定义域； （2）令，将转化为关于的二次函数，然后利用二次函数的性质求解. 【详解】（1）∵， ∴要使有意义， 需满足， ∴的定义域为． （2）∵， ∴， 令，， 则可转化为关于的函数， ∵的定义域为，所以， 二次函数的图象开口向上，对称轴为， 所以在上单调递增， ∴当，即时，取得最大值，， ∴当时，取得最大值13. 15．(1). (2). 【分析】（）根据题意结合二次函数的性质列出方程组即可得解. （）根据题意得出在上恒成立，因为有最小值为，即可得解. 【详解】（1）由为二次函数，可设， ∵图象的对称轴为，最小值为，且， ∴，∴， 则． （2）∵，即在上恒成立， 又∵当时，有最小值为， ∴，∴实数的取值范围为. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $