专题1 平面向量（讲义）-2027版内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》

编写说明：2027版内蒙古自治区（对口招生考试）《数学二轮讲练测》紧扣历年考试趋势和最新考试动态，聚焦高频考点，精讲精练，助力考生高效复习。同时，为构建完整学习体系，每个专题均配套讲义、课件和AB卷习题，满足多样化学习需求。 本专题是2027年内蒙古（对口招生）二轮复习《数学考纲专题练》大题专项的第1个专题，内容为平面向量。 2027年内蒙古（对口招生考试）《数学二轮讲练测》 专题1 平面向量 考查内容 考查详情 年份及题号 题型 分值 平面向量 平面向量的坐标运算 2026-19 解答 8 平面向量数量积的坐标运算 2025-20 解答 8 平面向量数量积的坐标运算 2024-20 解答 8 平面向量的数量积及共线向量定理 2023-20 解答 8 平面向量的数量积及共线向量定理 2022-20 解答 8 命题轨迹透视： （1）题型：解答题。 （2）内容及分值：平面向量的线性运算及数量积，常常出现在前2道解答题，难度不大；分值8分。 1.（2026·内蒙古·真题T19）已知点，，．若点 满足，且，求 点的坐标． 【答案】 【解析】 【分析】设点 的坐标为，表示出题干涉及的所有向量，利用平面向量共线、垂直的坐标运算性质列方程组，求解方程组即可得到 点坐标。 【详解】设点 的坐标为， 且点，，， 所以， ， ， ， 因为，， 所以，即， 解得， 所以 点的坐标为. 2．（2025·内蒙古·真题T20）已知向量，向量与的夹角为. （1）求； （2）若，求的值. 【答案】（1）. （2）. 【解析】 【分析】（）根据题意结合平面向量的模长公式及平面向量内积的定义即可得解. （）根据题意结合平面向量垂直的性质即可得解. 小问1详解】 向量，向量与的夹角为，， 则由，解得. 【小问2详解】 因为，且， 则，故 则，解得. 3.（2024·内蒙古·真题T20）已知，，求满足，且的点的坐标. 【答案】或 【解析】 【分析】先设定，结合向量坐标的表示及运算，以及向量模的坐标表示，即可求解. 【详解】由题意，设， 又，， 所以， 即，得到， 又，即， 所以，解得或， 所以点坐标为或. 4.（2023·内蒙古·真题T20）平面内给定三个向量，，，且． （1）求满足条件的实数m，n的值； （2）若满足，且，求的坐标． 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）先由向量的坐标运算表示出，再联立向量垂直和相等向量求解t的值即可. （2）设出的坐标，由向量的线性坐标运算和共线向量坐标运算，以及模长公式联立求解即可. 【小问1详解】 因为，， 所以，， 又因为， 所以， 又因为，所以， 所以，所以， 所以，又因为， 解得，. 【小问2详解】 由（1）知，，所以， 设， ，， 因为， 所以， 所以， 所以①， 又因为，且， 所以②， 将①代入②中有，，可解或， ，或. 则或. 5.（2022·内蒙古·真题T20）已知，，．求： （1）的值； （2）与的夹角的余弦值． 【答案】（1）30 （2） 【解析】 【分析】（1）利用向量内积的坐标表示计算即可； （2）利用向量的夹角公式求解． 【小问1详解】 ∵，，，∴， ∴． 【小问2详解】 ∵，， ， 设与的夹角为， ∴． 1.平面向量的坐标运算 (1)向量加法、减法、数乘向量及向量的模 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)，a－b＝(x1－x2，y1－y2)，λa＝(λx1，λy1)，|a|＝. （2）向量坐标的求法 ①若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标． ②设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则＝(x2－x1，y2－y1)，||＝. （3）平面向量共线的坐标表示 设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a∥b⇔x1y2－x2y1＝0. 2．平面向量的数量积 （1）定义：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，则数量|a||b|cos θ 叫作a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos θ，规定零向量与任一向量的数量积为0，即0·a＝0. （2）几何意义：数量积a·b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘积． （3）平面向量数量积的性质及其坐标表示 设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ为向量a，b的夹角． ①数量积：a·b＝|a||b|cos θ＝x1x2＋y1y2. ②模：|a|＝＝. ③夹角：cos θ＝＝. ④两非零向量a⊥b的充要条件：a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0. ⑤|a·b|≤|a||b|(当且仅当a∥b时等号成立)⇔|x1x2＋y1y2|≤ ·. 3．平面向量数量积的运算律 (1)a·b＝b·a(交换律)． (2)λa·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)． (3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)． 1． 已知点，，．若点满足，且，求点的坐标． 2．已知点． (1)若A，B，C三点共线，求实数t值； (2)若A，B，C三点构成直角三角形且，求实数t的值． 3．已知，，求： (1)； (2)； (3). 4．已知向量． (1)若，求x的值； (2)若，求的值． 5． 已知，，求满足，且的点的坐标. 6． 已知.当为何值时，向量与互相垂直？ 7．已知向量，，且，.求： (1)的值； (2). 8．已知向量，，，，且，求 (1)的值； (2)与的夹角. 9．平面内给定两个向量 (1)设与的夹角为，求； (2)求. 10．已知向量a，b满足，，. (1)求. (2)，求k的值. 11．已知平面向量. (1)若与垂直，求的值； (2)若向量，若与共线，求. 12．已知，，，设， (1)求的大小； (2)若与垂直，求k的值? 13．，若向量满足，求向量. 14．已知向量． (1)若单位向量与共线，求向量的坐标； (2)若与垂直，求的值． 15．已知向量，，，且，求 (1)的值 (2) 试卷第1页（共3页） 试卷第1页（共3页） 学科网（北京）股份有限公司 【答案】 1． 【分析】设点的坐标为，表示出题干涉及的所有向量，利用平面向量共线、垂直的坐标运算性质列方程组，求解方程组即可得到点坐标。 【详解】设点的坐标为， 且点，，， 所以， ， ， ， 因为，， 所以，即， 解得， 所以点的坐标为. 2．(1) (2) 【分析】（1）根据三点的坐标求出相应向量的坐标，再利用向量共线的性质建立方程求解即可. （2）根据三点的坐标求出相应向量的坐标，再利用向量垂直的性质建立方程求解即可. 【详解】（1）已知，，， 可得，， 因为A，B，C三点共线， 所以与共线， 则有，解得. （2）由，，， 可得，， 因为，所以，则， 即，解得. 3．(1)13 (2) (3) 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示以及内积的运算求解即可. （2）根据向量线性运算的坐标以及向量模的计算求解即可. （3）根据向量夹角的计算公式求解即可. 【详解】（1）由题可知：，. 所以；. 则. （2）因为，所以. （3）因为，， 所以. 4．(1) (2) 【分析】（1）根据向量线性运算的坐标表示以及向量垂直求解即可. （2）根据向量线性运算的坐标表示以及向量共线定理求出，再利用向量坐标求出向量的模. 【详解】（1）因为，所以. 因为，所以，解得. （2）因为，所以. 因为，所以，解得：. 即，则，进而． 5．或 【分析】先设定，结合向量坐标的表示及运算，以及向量模的坐标表示，即可求解. 【详解】由题意，设， 又，， 所以， 即，得到， 又，即， 所以，解得或， 所以点的坐标为或. 6． 【分析】根据向量垂直的性质列方程，再由向量内积的运算法则求解即可. 【详解】因为向量与互相垂直，所以与的内积为， 即. 因为，所以， 所以时，向量与互相垂直. 7．(1) (2)0 【分析】(1)利用向量平行和向量垂直的坐标表示公式即可求解. (2)利用向量坐标表示的内积（数量积或点积）运算规则求解即可. 【详解】（1） （2）根据第（1）问得：， . 8．(1) (2) 【分析】（1）利用向量内积的运算法则，结合模长的平方与已知条件即可得解； （2）因为与的内积为0，即可求得夹角. 【详解】（1）由两边平方得：， 又已知，， 代入可得， . （2）， 与的夹角为. 9．(1) (2) 【分析】（1）根据向量的夹角公式的坐标表示求解即可； （2）根据向量的内积与模长求解模长即可； 【详解】（1）因为向量，所以, ，， 所以; （2） . 10．(1) (2) 【分析】（1）根据向量的模长公式求解得到向量的内积，进而求解； （2）根据向量的垂直关系求解参数即可： 【详解】（1）因为， 所以， 所以； （2）因为，所以, 即, 所以，解得. 11．(1) (2) 【分析】（1）先求向量与的坐标，利用向量垂直的坐标运算，求的值；            （2）求向量与的坐标，利用向量共线的坐标运算求的值，得向量的坐标，利用公式求. 【详解】（1），则，， 由与垂直，则， 解得. （2）， 则有， 由与共线，故，即，解得，                                         可得， 12．(1) (2)或 【分析】（1）先求得的坐标，再计算内积和模，即可求解. （2）根据向量垂直，内积为0求解. 【详解】（1）∵，，， ，， ∴，. 而. 得到，， 所以. （2）， . ∵与垂直， ∴，化简得到， ，故. 所以的值为或. 13． 【分析】设向量的坐标为，再由向量平行与向量垂直的坐标表示列方程组求解即可. 【详解】设向量的坐标为， ，则， ， 由向量满足， 可得，即， 解得， 所以向量的坐标为. 14．(1)或 (2) 【分析】（1）根据单位向量的定义，结合共线向量的坐标运算公式求解即可； （2）根据向量平方和数量积的坐标运算公式进行计算即可. 【详解】（1）因为两向量共线，是单位向量， 所以设， 得到 解得或． （2）因为与垂直， 所以， 即， 解得． 15．(1)， (2) 【分析】（1）根据向量垂直与平行的坐标表示列方程求解即可. （2）根据向量的内积的坐标表示计算即可. 【详解】（1）已知向量，，， 由，得，解得， 由，得，解得. （2）由（1）可得，， ，所以. 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $