4.2.3 换底公式（教学设计）-人教版《数学 基础模块上册》《上好课》

课程名称 人教版2021版 《数学 基础模块上册》 4.2.3 换底公式 教材分析 换底公式是解决不同底数对数运算、对数求值、对数证明的关键工具，也是后续学习对数函数性质比较、对数方程求解的重要基础。教材以问题情境引入，提出问题"已知、，不借助计算器能否求出的值"，引导学生通过设未知数、将对数式转化为指数式、两边同时取常用对数、利用幂的对数法则降次、解出未知数的完整推导过程，自然得出换底公式的具体形式，再由特殊推广到一般，给出换底公式的标准形式。本节承载转化与化归数学思想，将陌生底数对数转化为熟悉底数（常用对数、自然对数）进行运算，训练学生代数变形、恒等推理能力，契合中职数学重视运算能力、服务专业应用的教学目标。 学情分析 学生已学习对数的概念、指数式与对数式互化、积商幂三条对数运算法则，能够进行同底数对数的简单运算，具备学习换底公式的知识基础。但学生遇到不同底数的对数运算时，不知如何统一不同底数；学生容易记错换底公式中分子分母的位置，写反底数和真数的位置，或者混淆新底数的位置；对换底公式的推论不熟悉，不能灵活运用推论来简化计算。 教学目标 1、知识与技能：理解换底公式的推导过程，掌握换底公式；能运用换底公式将不同底数的对数统一为常用对数（或指定底数）进行计算；能运用换底公式进行对数式的化简与证明；能借助换底公式利用已知对数值求其他对数值。 2、过程与方法：通过推导换底公式的过程，体会转化与化归思想；通过例题的计算与证明，掌握统一底数的解题策略，提升代数变形能力。 3、情感态度与价值观：在换底公式推导中感受数学逻辑的严谨性，体会指数与对数的深刻联系；在不同底对数统一为同底的过程中，体验化繁为简、化异为同的数学美感。 教学重难点 教学重点：换底公式的内容与推导；换底公式在对数计算、化简、证明中的应用；统一底数的解题策略。 教学难点：换底公式分子分母位置的准确记忆；证明题中合适新底数的选择；常见数化为指定底数幂的技巧；换底公式推论的灵活运用。 教学方法 问题驱动法、推导发现法、讲授法、练习巩固法 课前准备 多媒体课件、板书设计、课堂练习题 教学媒体 PPT课件 教学过程 教学环节 教师活动设计 学生活动设计 设计意图 导入 提问：我们知道，，不借助计算器，能不能用这两个常用对数求出的值呢？ 引导学生思考：设，根据对数定义可以写成什么指数式？ 答： 提问：这个等式里在指数位置，上节课学过什么方法可以把指数上的未知数"降下来"？ 答：两边取对数，用幂的对数法则 引导：两边同时取常用对数，左边，右边，所以，解出。 引出课题：我们刚才把以3为底的对数转换成了两个常用对数的商，这就是今天要学习的换底公式。 学生跟随教师思考，设未知数、转指数式、尝试两边取对数，发现可以用已知常用对数求出未知对数，体会换底的必要性，进入新课学习。 问题导入，从具体数值问题出发，让学生亲身经历换底的完整过程，发现不同底对数可以转化为同底对数的商这一规律，引出换底公式，激发学习需求。 新课讲授 一、换底公式的推导 1、推导： 设（这里）。 把对数式写成指数式，得 两边同时取以为底的对数（）得 即 解得 即 公式含义：把以为底的对数，换成以为底时，等于"以为底的对数"除以"以为底的对数"。 2、提问：换底公式中的新底数可以随便选吗？通常选什么最方便？ 答：只要都可以，通常选10（常用对数）、e（自然对数ln） 2、 例题讲解 例1 求的值。 解析：观察到两个对数底数不同，用换底公式换成常用对数。 解： 其中 代入原式得 总结：换底公式的核心作用是统一底数，换成常用对数后，把所有数写成质因数的幂，再用幂的法则降次，最后约分消去对数，得到精确结果。 例2 求证：。 解析：等式左边有两个对数，底数分别是和，右边是一个以为底的对数。目标是把左边统一成以为底的对数。 证明：把用换底公式换成以为底的对数。得 所以 例3求证：。 解析：左边的底数是，真数是，右边是以为底的对数。目标是把左边用换底公式换成以为底的对数。 证明：根据换底公式： 跟随教师逐步推导，理解新底数的任意性。 回答提问。 跟随教师同步计算每一步，重点记录换底→化幂→降次→约分四步流程。 跟随教师同步书写证明过程，理解为什么选择以为新底数，观察如何约掉。 跟随教师同步证明，理解底数和真数同时降次的过程。 完整呈现推导过程，让学生理解换底公式的本质是利用幂的对数法则把指数降下来，突破两边取对数这一关键操作。 让学生掌握换底公式数值计算的标准化流程，突破化幂降次约分这一关键技巧。 训练换底公式在证明题中的应用，让学生掌握选择目标底数进行换底→约分消去中间量的证明策略。 让学生掌握底数真数同次幂可约去指数的简化技巧。 知识记忆 1. 换底公式：________（新底数为）。 1. 换底公式推导五步法：设→写成________式→两边同时取________→用________法则降次→解出。 1. 换底口诀：底变真不变，分子是________的对数，分母是________的对数。 1. 链式法则：____。 1. 推论：________。 答案 1. 1. 指数；对数；幂的对数 1. 真数；原底数 1. 1. 师生互动 1、抢答 问题1：用换底公式把换成常用对数，写成什么形式？ 答：。 问题2：等于多少？ 答：1。 2、小组讨论 讨论：换底公式中的新底数可以选哪些？在什么情况下选常用对数？什么情况下选题目中已有的底数？ 答：新底数只要满足都可以选。①数值计算时通常选常用对数（或自然对数）；②证明题或化简题中，如果题目里有一个共同的底数，就选那个底数作为新底，方便约分。 课堂练习 练习1 求的值。 解：用换底公式换成常用对数 其中 代入约分得 练习2 计算：。 解析：两个对数底数不同（5和8），用换底公式都换成常用对数 解： 练习3 已知，，求。 解：用积的对数法则： 求，用商的对数法则： 代入得 练习4 化简：。 解：用换底公式都换成常用对数： 练习5 计算：。 解： 练习6 已知，，求（用表示）。 解：由换底公式得 分母。 分子。 所以 课堂小结 1、换底公式：（） 2、统一底数 数值计算→换常用对数、自然对数ln 证明化简→选题目中共同底数 3、 易错提示 换底公式分子分母勿写反：分子是真数的对数，分母是原底数的对数； 两边取对数时，必须等式两边同时取同一个底数的对数。 课后作业 ①课本129页A组1-5题，B组1-4题 ②同步练习 板书设计 4.2.3 换底公式 一、公式 推导：设→→取→→ 二、例题 例1：换→化幂→降次→约分= 例2：换以为底→约分=链式法则 例3：换以为底→降次→约 教学反思 学生最突出的问题：一是换底公式分子分母位置记反，把原底数写到分子、真数写到分母；二是化幂降次时，对9、8、27、32、125等常见数的幂形式不敏感，不能快速写成质因数的幂，导致无法约分；三是证明题中不知道选哪个底数作为新底。后续教学需要增加常见数幂形式的口算训练，整理2、3、5的幂对照表让学生熟记；通过对比题组强化选共底换底的策略。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $