4.2.1 对数（课件）-人教版《数学 基础模块上册》《上好课》

4.2.1 对数 第四章 指数函数与对数函数 ·人教版2021版 上册· 学习目标 1、理解对数的概念，掌握对数的符号表示logaN，明确底数、真数的含义； 2、熟练掌握指数式与对数式的互化关系ab=N ⇔ b=logaN； 3、掌握对数的三条基本性质，理解0和负数没有对数的原因； 4、掌握对数恒等式=N； 5、了解常用对数lgN与自然对数lnN的定义与符号，会求简单的常用对数、自然对数。 目 录 新课导入 01 探索新知 02 知识记忆 03 师生互动 04 当堂检测 05 课堂小结 06 新课导入 4.2.1 对数 情境导入 观看细胞分裂视频 情境导入 提问1：经过1次分裂，细胞总数是多少？2次呢？3次呢？ 答：2个、4个、8个 提问2：经过b次分裂，细胞总数N是多少？用式子表示。 答：N=2b 提问3：反过来，如果知道细胞总数是4096个，问经过了多少次分裂，怎么列等式？ 答：2b=4096 某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，4个分裂成8个…… 探索新知 4.2.1 对数 对数的概念 定义：若ab=N（a>0且a≠1），则数b称为以a为底N的对数，记作b=logaN，其中a为底数，N为真数。 通常，我们称 ab=N 为指数式，称 logaN=b（a>0,a≠1）为对数式。 对数的概念 举例：因为42=16，所以2是以4为底16的对数，记作2=log416； 因为43=64，所以3是以4为底64的对数，记作3=log464； 因为41=4，所以1是以4为底4的对数，记作1=log44； 因为=2，所以是以4为底2的对数，记作=log42； 因为4−1=，所以−1是以4为底的对数，记作−1=log4； 因为=，所以−是以4为底的对数，记作−=log4。 对数的概念 提问：观察上述例子，对数b可以是哪些数？ 答：可以是正整数、0、分数、负数，即任意实数。 提问：真数N可以是0或者负数吗？为什么？ 答：不可以，因为a>0，所以ab=N>0，真数必须为正。 指数式与对数式的互化 等价关系： ab=N ⇔ b=logaN (a>0, a≠1) 互化对应关系： (1)底数a：指数式的底数 → 对数式的底数（下标位置） (2)指数b：指数式的指数 → 对数式的对数（等号左边） (3)幂N：指数式的幂 → 对数式的真数（log后面） 口诀：底不变，指数变对数，幂变真数。 指数式与对数式的互化 例：将下列指数式化为对数式，对数式化为指数式。 指数式：53=125、2−5 = ； 对数式：log5125=3、log2 = -5 对数式：log3243=5、log21024=10。 指数式：35=243、210=1024 对数的性质 对数的三条基本性质 (1) logaa=1（a>0，且a≠1），即底的对数等于1。 推导：因为a1=a，所以logaa=1。 (2) loga1=0（a>0，且a≠1），即1的对数为0。 推导：因为a0=1，所以loga1=0。 (3) 0和负数没有对数。 推导：因为a>0，所以对任意实数b，都有ab=N>0，因此真数N必须大于0，0和负数不能作真数。 对数的性质 提问：log55等于多少？log51等于多少？ 答：log55=1，log51=0 提问：log2(−3)有意义吗？为什么？ 答：没有意义，真数-3是负数 对数恒等式 推导：因为ab=N 根据对数定义得b=logaN， 把b=logaN代回ab=N中，就得到 =N (a>0, a≠1, N>0) 举例：=32，=7 例题讲解 解：因为21=2，所以log22=1； 因为20=1，所以log21=0； 因为24=16，所以log216=4； 因为2−1=，所以log2=−1。 方法总结：求对数logaN的值，就是想"a的多少次方等于N"，把对数问题转化为指数问题。 常用对数和自然对数 常用对数：把底数是10的对数称为常用对数。为了简便，把底10略去不写，并把"log"写成"lg"，即log10N记作lgN。例如：100的常用对数可以记为lg100。 自然对数：在科学技术中，常常使用以无理数e为底的对数，以e为底的对数称为自然对数。其中e≈2.71828⋯，logeN通常记作lnN。 常用对数和自然对数 提问：lgN的底数是多少？lnN的底数是多少？ 答：lgN底数是10，lnN底数是e 提问：lg10等于多少？ln1等于多少？ 答：lg10=1（底的对数为1），ln1=0（1的对数为0） 例题讲解 例2 求值：(1) lg100；(2) lg0.01；(3) lne。 解：(1) 因为102=100，所以lg100=2； (2) 因为10−2=0.01，所以lg0.01=−2； (3) 因为e1=e，所以lne=1。 方法总结：lg就是底为10的对数，ln就是底为e的对数，求值方法和一般对数一样，想"底数的多少次方等于真数"。 例题讲解 例3 利用计算器计算下列各题（精确到0.001）： (1) lg5；(2) ln4；(3) log23。 解：(1) 按键：log 5 =，显示0.699，所以lg5≈0.699； (2) 按键：ln 4 =，显示1.386，所以ln4≈1.386； (3) 对于一般底数的对数，用换底功能，按键：log□ □2 ▶ 3 =，显示1.585，所以log23≈1.585。 知识记忆 4.2.1 对数 知识记忆 1、对数定义：若ab=N（a>0且a≠1，N>0），则b=_____。 2、指数式与对数式互化：ab=N ⇔ _________。 3、对数性质：logaa=____；loga1=____；____和_____没有对数。 4、对数恒等式：=____。 5、常用对数lgN底数是____；自然对数lnN底数是____。 logaN b=logaN 1 0 0 负数 N 10 e 师生互动 4.2.1 对数 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 师生互动 1、随机提问 问题1：log30有意义吗？为什么？ 答：没有意义，因为0不能作真数，0和负数没有对数。 问题2：把52=25改写成对数式。 答：2=log525。 不是最简，因含分母；不是最简，因为8 = 4 2，4能开方。 师生互动 2、抢答 当堂检测 4.2.1 对数 练习 解析：根据互化关系ab=N ⇔ b=logaN： 底数a=2，指数b=−3，幂N=。 底不变，指数变对数，幂变真数，得到−3=log2。 答案：−3=log2 练习1 把指数式 2−3= 改写成对数式。 练习 解析：根据互化关系ab=N ⇔ b=logaN： 底数a=27，指数b=−，幂N=。 底不变，指数变对数，幂变真数，得到−=log27。 答案：−=log27 练习2 把指数式 = 改写成对数式。 练习 解析：求对数就是想"底数的多少次方等于真数"。 (1) 因为34=81，所以log381=4； (2) 因为3−1=13，所以log3=−1。 答案：log381=4，log3 练习3 求log381，log3的值。 练习 解析：lgN底数为10，lnN底数为e。 (1) 因为103=1000，所以lg1000=3； (2) 因为10−1=0.1，所以lg0.1=−1； (3) 因为e2=e2，所以lne2=2。 答案：lg1000=3，lg0.1=−1，lne2=2 练习4 求lg1000，lg0.1，lne2的值。 练习 解析：对数要求底数a>0且a≠1，真数N>0。 ①真数−4<0，无意义；②真数0，0没有对数，无意义； ③底数5>0且5≠1，真数5>0，有意义；④底数>0且≠1，真数3>0，有意义。 答案：有意义的是③、④ 练习5 下列各式中，有意义的是哪几个？说明理由。 ①log2(−4)；②log30；③log55；④ 练习 课堂小结 4.2.1 对数 课堂小结 3、整数幂的运算法则：5条(注意区分同底数幂的乘法与幂的乘方) 1、对数定义：ab=N ⇔ b=logaN（a>0,a≠1,N>0） 2、互化口诀：底不变，指数变对数，幂变真数 3、对数三条性质：logaa=1；loga1=0；0和负数没有对数。 4、对数恒等式：=N 5、常用对数：lgN=log10N（底为10） 6、自然对数：lnN=logeN（底为e≈2.71828） 课后作业 4.2.1 对数 课后作业 3、整数幂的运算法则：5条(注意区分同底数幂的乘法与幂的乘方) ①课本123-124页A组1-5题，B组1-3题 ②同步练习 谢谢 THANKS $