第一章 方程组与不等式组 知识点1 一元一次方程的解法及其应用-【荣恒专项】2026-2027学年九年级全一册数学——代数典型题专项训练

01 第一章方程组与不等式组。 知识点① 一元一次方程的解法及其应 代数大冲关 (难度等级★) 1.已知(k2-4)x2+(k+2)x+1=0是关于x的一元一次方程，求k的值 x-x+1 2.已知关于x的方程1-23 2 =224(口-3x》 3 的解是最小质数的倒数，求a的值 3.（湖南模拟)已知a,b是有理数，单项式-2xy的次数为3，而且方程(a+1)x2+ax-+b+ 1=0是关于x的一元一次方程. (1)求a,b的值； (2)若题目中关于x的一元一次方程的解是整数，请写出整数t的值 1 中考代数题典型题专项训练 一元一次方程的解法及其应用（二） 代数大冲关 (难度等级★★) 1.已知关于x的一元一次方程7x+(3+x)=k+bx有非零解，且这个方程的解是方程7x+(3+ x)=k-bx的解的3，求b的值 2.(山西模拟)2025年5月份，省城太原开展了“活力太原·乐购晋阳”消费暖心活动，本次活动 中的家电消费券单笔交易满600元立减128元（每次只能使用一张）.某品牌电饭煲按进价提 高50%后标价，若按标价的八折销售，某顾客购买该电饭煲时，使用一张家电消费券后，又付 现金568元，求该电饭煲的进价. 3.(广东广州月考)粤港澳大湾区自动驾驶产业联盟积极推进自动驾驶出租车应用落地工作，无 人化是自动驾驶的终极目标.某公交集团拟在今明两年共投资9000万元改装260辆无人驾 驶出租车投放市场，今年每辆无人驾驶出租车的改装费用是50万元，预计明年每辆无人驾驶 出租车的改装费用可下降50%. (1)求明年每辆无人驾驶出租车的预计改装费用是多少万元； (2)求明年改装的无人驾驶出租车是多少辆 2 第一章方程组与不等式组 一元一次方程的解法及其应用（三） 代数大冲关 (难度等级★★★) 1.为了增强市民的节约用水意识，自来水公司实行阶梯收费，具体情况如下表： 每月用水量 收费/（元/） 不超过10t的部分 1.6 10t以上至不超过20t的部分 2 20t以上的部分 2.4 (1)若小刚家6月份用水15t,则小刚家6月份应缴水费 元； (2)若小刚家7月份的平均水费为1.75元/t,则小刚家7月份的用水量为多少吨？ (3)若小刚家8、9月份共用水40t,9月底共缴水费79.6元，其中含2元滞纳金（水费为每月 底缴纳，因8月份的水费未按时缴纳，所以收取了滞纳金)，已知9月份用水比8月份少，小刚 家8、9月份分别用了多少吨水？ 2.(福建模拟)某公司经营某种农产品，零售一箱该农产品的利润是70元，批发一箱该农产品的 利润是40元 (1)已知该公司某月卖出100箱这种农产品共获利润4600元，问：该公司当月零售、批发这 种农产品的箱数分别是多少？ (2)经营性质规定，该公司零售的数量不能多于总数量的30%.现该公司要经营1000箱这种 农产品，问：应如何规划零售和批发的数量，才能使总利润最大？最大总利润是多少？ 剩3参考 第一章方程组与不等式组 知识点1一元一次方程的解法 及其应用（一） 1.解：根据题意得，2-4=0， 解得：k=2或k=-2, k+2≠0，解得：k≠-2， 综上可知：k=2 2.解：最小质数的倒数为2 原方程可化为6-3x+x+1=12x-x+8a -24x, 7+11x=8a,a=7+11-14+11·2x 8 16 将x=2代人，解得a=4+1=2点 16-16 3,1由6118可082， b=2, 即a,b的值分别为-1,2. (2)方程化为：-x-x+3=0, 解得=， 当x为整数，且t为整数时，则t+1为3的 正负因数， ∴.t+1=±1或t+1=±3， ∴.t的值为0，-2,2，-4. 一元一次方程的解法及其应用（二）】 1.方程7x+(3+x)=k+bx的解为x= k-3 8-b 方程7x+(3+x)=k-bx的解为x=-3 8+b 由题造可知会3子发是 .8-b=3(8+b), 解得b=-4. 2.解：设该电饭煲的进价为x元，则标价为(1 +50%)x元，售价为80%×(1+50%) x元 根据题意，得80%×(1+50%)x-128= 568,解得x=580. 答：该电饭煲的进价为580元. 3.解：(1)50×(1-50%)=25（万元） 答：明年每辆无人驾驶出租车的预计改装 费用是25万元. (2)设明年改装的无人驾驶出租车是x辆， 则今年改装的无人驾驶出租车是(260- 参考答案 答案 x)辆. 依题意，得50(260-x)+25x=9000, 解得x=160. 答：明年改装的无人驾驶出租车是160辆. 一元一次方程的解法及其应用（三）】 1.解：(1)26 解析：由题意可知，10×1.6+(15-10)×2 =26,∴.小刚家6月份应缴水费26元. (2)设小刚家7月份的用水量为x. 如果7月份的用水量在10t以内，则水费为 1.6元/t, .1.75>1.6,.x>10; 如果7月份的用水量在10~20t之间，则平 均水费为[10×1.6+(20-10)×2]÷20= 1.8(元/t), .1.75<1.8,.10<x<20 ∴.10×1.6+(x-10)×2=1.75x, 化简整理得0.25x=4, 解得x=16. ∴.小刚家7月份的用水量为16t. (3)设小刚家9月份的用水量为m(0<m≤ 40)t,则8月份的用水量为(40-m)t. ,9月份的用水量比8月份少，.8月份的 用水量超过了20t,即40-m>20, ∴.m<20. 分两种情况讨论： ①当m≤10时，40-m>30. 由题意可知，1.6m+1.6×10+2×（20- 10)+2.4×(40-m-20)+2=79.6, 解得m=8, .∴.40-m=32. ②当10<m<20时，20<40-m<30. 由题意可知，1.6×10+2×（m-10)+1.6 ×10+2×(20-10)+2.4×(40-m-20) +2=79.6, 解得m=6(不符合题意，舍去). ∴.小刚家8月份的用水量为32,9月份的 用水量为8t. 2.解：(1)设该公司当月零售这种农产品x 箱，则批发这种农产品(100-x)箱. 依题意，得70x+40(100-x)=4600, 解得x=20. ∴.100-20=80（箱） 答：该公司当月零售这种农产品20箱，批发 这种农产品80箱： (2)设该公司当月零售这种农产品m箱，则 州1 中考代数题典型题专项训练 批发这种农产品(1000-m)箱 依题意，得m≤1000×30%，解得m≤300. 设该公司获得总利润为y元. 依题意，得y=70m+40(1000-m)=30m +40000. 30>0,∴.y随着m的增大而增大， ∴.当m=300时，y取得最大值， 此时y=30×300+40000=49000, ∴.批发这种农产品的数量为1000-300= 700(箱). 答：当该公司零售、批发这种农产品的数量 分别是300箱、700箱时，总利润最大，最大 总利润是49000元. 知识点2二元一次方程组的解法、 解的情况及其应用（一）】 1.解：由原方程组可得(3k+6)x=0. 当3k+6≠0，即k≠-2时，原方程组有唯 一一组解； 当3k+6=0,即k=-2时，原方程组有无 穷多组解， 综上所述，无论k取何值，方程组均有解，不 存在无解的情况， 2.解：设改进加工方法前用了x天，改进加工 方法后用了y天. 3x+5y=22,解得=4， 依题意，得+y=6, Iy=2 答：该合作社改进加工方法前用了4天，改 进加工方法后用了2天， 3.解：设安排x名工人制作甲配件，安排y名 工人制作乙配件 依题意，得x+y=7, 1900x=1200y, 解得x=4, 1y=3. 答：安排4名工人制作甲配件，安排3名工 人制作乙配件，才能使每天制作的甲乙配 件的个数相等。 二元一次方程组的解法、解的情况 及其应用（二）】 1.解：设有x匹大马，y匹小马，根据题意得 rx+y=100, {3x+3=10,解得{7为 ly=75. 答：有25匹大马，75匹小马. 2将30代入②，解得c=-3 将化i36代入①，化简得4a+56=31. ~看错了系数c,得到的解x三11应满足 ly=6 2 正确的方程①，.11a+6b=62 联立方程组560.62，解得6： 1b=3, ∴.a+b+c=4. 3.解：设钢笔购置了x支，笔记本购置了y本. 出题意，得0-100. 解得x=15, ly=35. .15×15=225(元)，35×5=175（元） 答：钢笔购置了15支，共225元；笔记本购 置了35本，共175元. 二元一次方程组的解法、解的情况 及其应用（三） 解：(1)设甲种货车每辆可装x吨货物，乙种 货车每辆可装y吨货物， 依题意，得代8部得子 y=3. 答：甲种货车每辆可装2吨货物，乙种货车每 辆可装3吨货物 (2)设租用a辆甲种货车，b辆乙种货车， 依题意，得2a+3b=20, 3a=10-6 a,b均为非负整数， .b为偶数， ∴.当b=0时，a=10; 当b=2时，a=7; 当b=4时，a=4; 当b=6时，a=1. .共有4种租车方案， 方案1：租用10辆甲种货车； 方案2：租用7辆甲种货车，2辆乙种货车； 方案3：租用4辆甲种货车，4辆乙种货车； 方案4：租用1辆甲种货车，6辆乙种货车. (3)设甲种货车每辆需运费m元，租用甲种货 车n辆，则乙种货车每辆需运费1.4m元，租 用乙种货车(n-1)辆， 、依题意，得1.4m(n-1)=980,解得m三100， ln=8. ∴.1.4m=140. 答：甲种货车每辆需运费100元，乙种货车每 辆需运费140元. 知识点3分式方程的解法及其应用（一）】 1.解：设每套《三国演义》的价格为x元，则每 套《西游记》的价格为(x+40)元. 由题意可得3200=2×x+40,解得x=80