第四章 相似 模型51 “瓜豆”模型-【荣恒专项】2026年72个模型公式速通初中几何（初中通用）

模型5)“瓜豆”模型 模型51“瓜豆”模型 ⑧模型解读 A为线段BC外一定点，P为线段BC上一动点，Q为线段BC外一动点，且 模型构建 ∠PAQ=a, -k(a和k均为常数) AO 图形拆解 ∠PAQ=a, AP A0治 相关结论点Q的运动轨迹与点P的运动轨迹形状一致，且点P,Q的运动轨迹长度之比为 如图，在AQ的左边找△ACP,使得点C的对应 一点M,构造△ABP∽ k 点为N,∠CAN=a,A △AMQ,使得点B的对应 即AN为定线段，则∠N= 点为M,∠BAM=a,AM AB ∠C,为定角，且M,Q, k,即AM为定线段，则 N三点共线， 证明分析 .当点P在线段BC上运 ∠AMQ=∠ABC,为定角. B ·点P在线段BC上运动， 动时，点Q在线段MN上 ∴点Q在射线MQ上运动 运动. 同理，在AQ的右边找 易得△ABC∽△AMN, 一点N,构造△ANQ∽ BC AB M标AM6 ⑧模型拓展 A为⊙0外一定点，P为⊙0上一动点，Q为⊙0外 已知条件 动点，∠PAQ=a, AP =k(a和k均为常数)》 AO 点Q的运动轨迹与点P的运动轨迹形状一致，且点P, 结论 Q的运动轨迹长度之比为k 173 72个模型公式速通初中几何 8模型应用 1如图，在△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30,BC=2 D是AB上一动点，以DC为斜边向右侧作等腰直角三角 形DCE,使∠CED=90°，连接BE,则线段BE的最小值 为 A/三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 以AC为斜边在AC右侧作等 根据“瓜豆”模型，可知 腰直角三角形AE,C,以BC为 △ACD∽△ECE, 斜边在BC右侧作等腰直角 ∴.∠CAD=∠CEE=30° 角形BE,C,边E,C与AB交 D为AB上的动点 于点G,连接EE3,与AB交 ∴点E在线段EE3上运动， 于点F,作BE2⊥E,E于点 当BE2⊥EE,时，BE最短，就 C为定点，D为动点， E2,连接CF 是BE2的长 点D的运动轨迹是线段， 在△AGC与△E,GF中，∠AGC= L DCE-45, CE2 ∠EGF,∠CAG=∠GEF, CD-21 .∠GFE1=∠ACG=45°， 可识别出“瓜豆”模型 ∴.∠BFE2=45°. D .·∠CAD=∠CEE=30°， ∴.A,C,F,E四点共圆， ∴.∠AE,C=∠AFC=90°，且 ∠ABC=60°，BC=2, ∴.BF=1. BF=√2BE2, E,s巨 2 2如图，线段AB为⊙O的直径，点C在AB的延长线上， AB=4,BC=2,P是⊙O上一动点，连接CP,以CP为 斜边在CP的上方作Rt△PCD,且使∠DCP=6O°，连 接OD,则OD的最大值为 174 模型5个“瓜豆”模型 A/三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 在OC上方作Rt△COE,使 根据“瓜豆”模型， 得∠E0C=30°，∠CE0=90°， 可知△COP∽△CED, 则C0=2CE,0E=2√5， OP CP C为定点，P为动点， ∠OCP-∠ECD,连接OP,DE EDCD =2, 点P的运动轨迹是曲线， 1 ∠DCP=60, CP-2,可 即ED=OP=1(定长)， CD E是定点，DE是定长， 识别出“瓜豆”模型 ∴.点D在半径为1的⊙E上。 .OD≤OE+ED=23+1, B .OD的最大值为2√3+1 Q分层演练 1.如图，在△ABC中，AB=AC=3V13,BC=6, :2.如图，在矩形ABCD中，AD=6,DC=8,E 点P在边AC上运动（可与点A,C重合）， 为对角线AC上一动点，BE1BF,距-专 BE 4 将线段BP绕点P逆时针旋转120°，得到 线段DP,连接BD,CD,求CD的最小值. BG⊥EF于点G,连接CG,当CG有最小 值时，求CE的长. D G E B B 175 72个模型公式速通初中几何 3.【问题提出】 (3)如图3，D是等边三角形ABC的边AC (1)如图1，△BCE≌△ACD,请在图中 上的动点，连接DB,将DB绕点D 找到一组相似的三角形 逆时针旋转120°得到DE,连接EA, 【问题探究】 EC.若AB=2,求EA+EC的最小值. (2)如图2，D为等腰直角三角形ABC的 E 直角边BC上的动点，AD绕点D顺 时针旋转90°得到ED,连接AE,求 ∠ADE与∠E之间的数量关系 D E B 图3 D D 图1 图2 176 模型51“瓜豆”模型 4.如图1，在△ABC中，∠ACB=90°， (2)如图2，若点P在边AB上时，连接 AC=2,BC=23.以点B为圆心，半径为、√3 BP,求BP'的长. 作圆，P为⊙B上的动点，连接PC,作 PC⊥PC,使点P'落在直线BC的上方， 且满足P℃：PC=1:√3，连接BP,AP' 图2 图1 (1)求∠BAC的度数，并说明△AP'C∽ △BPC. (3)点P在运动过程中，BP'是否有最大 值或最小值？若有，请求出当BP'取 得最大值或最小值时∠PBC的度数； 若没有，请说明理由. 备用图 17772个模型公式速通初中几何 模型51 分层演练 1 模型辨识B为定点，P为边AC上 动，点，点P的运动轨迹是线段，∠PBD 是定角，可识别出“瓜豆”模型 答案解：如图1，以BC为底边向 上作等腰△BQC,使∠BQC=120°，连接 PQ, B 图1 则B爬-PV3 BC BD3 ∠QBC=∠PBD=30°， ∴.∠QBC-∠QBD=∠PBD-∠QBD, ∴.∠PBQ=∠DBC, .△PBQ∽△DBC, PQ BQ3 ·DCBC -3 .当PQ⊥AC时，PQ最小，即此时CD 最小 如图2，作QP'⊥AC于点P',连接AQ并 延长与BC交于点K,此时OP'的长为OP 的最小值， 图2 瓜豆” 模型 可得AK⊥BC. 在△BQC中，.∠BQC=120°，BC=6, ∴.BK=KC=3,∠QBK=30°， i-B ·QKB AC=3V13, ∴.AK=VAC2-CK=V117-9=6√5， ∴.AQ=AK-QK=5√5 .∠AP'Q=∠AKC=90°，∠QAP=∠CAK, ∴.△AQP'△ACK, AQ OP' ACKC 53_QP 3331 ·Qp%339 13, ·CD-V3QP%15iE 131 2 模型辨识B为定点，E为对角线AC 上一动点，点E的运动轨迹是线段， ∠EBG是定角，可识别出“瓜豆”模型. 答案解：如图，过点B作BP⊥AC 于点P,连接PG D BE AB 4 BF=BC3∠ABC=LEBF, ,△ABC∽△EBF, ∴.∠CAB=∠FEB. .·∠APB=∠EGB=90°， 4 .△ABP△EBG, AB EB 1 AC 5 ·PB-CB=sinLBAC=BC3 ∠ABP=∠EBG, .∠ABE=∠PBG, .△ABE△PBG, .∠BAE=∠BPG, 即在点E的运动过程中，∠BPG的大小不 变，且∠BPG=∠BAC, .当CG⊥PG时，CG最小. 设此时AE=x, AE AB 5 PG PB3' 3 PG= .CG⊥PG, ∴.∠PCG=∠BPG=∠BAC, CP 5 PC=3 5 ·CP=3PG=x ·.CP-BC·sin∠CBP-BC·sin∠BAC= 18 18 18 .x= 即AE=5' 必婴 3 模型辨识(3)B为定点，D为边AC 上一动点，点D的运动轨迹是线段， ∠EDB是定角，可识别出“瓜豆”模型 答案 解：（1).△BCE≌△ACD ·.BC=AC,CE=CD,∠BCE=∠ACD, BC=Cg=1,则c=AG AC=CD CE=CD .·∠BCE+∠ACE=∠ACD+∠ACE, ∴.∠BCA=∠ECD, ∴.△CAB∽△CDE. (2)·AD绕点D顺时针旋转90°得到 ED, 95 参考答暴 :.AD=DE,∠ADE=90°， .∴.∠E=∠EAD=45°， .∴.∠ADE=2∠E. (3)如图，延长AC到点F,使CF=BC, 连接BE,BF,EF .·△ABC为等边三角形，将DB绕点D逆 时针旋转120°得到DE, .∠EDB=∠FCB=120°， ED FC BD=BG=1. .△EDB∽△FCB, ∴.∠DBE=∠CBF, .∠DBC=LEBF, BD BE BC BE .△DBC∽△EBF, .∴.∠DCB=∠EFB=60°， ∴.点E在∠BFE的边FE上运动 作点C关于FE的对称点C,连接FC, EC', .∴.∠EFC'=∠EFC=30°， ∴.∠CFB=90°， ∠ABF=90°， .CF∥AB, .A,E,C三点共线，且AC⊥FC时， AC'的长最小，此时四边形ABFC'是矩形， .EA+EC的最小值为AC=BF=2√3. C E D 72个模型公式速通初中几何 4 模型辨识(3)C为定点，P为圆上一 动，点，点P的运动轨迹是曲线，∠ACB是 定角，可识别出“瓜豆”模型」 答案解：（1)在Rt△ABC中， AC=2,BC=2√3， .'tan BAC= BC AC V3, ∴.∠BAC=60° AC、2 3 P'C 13 ·BC=2√5=3’PC=5=31 AC P'C BC PC .PC⊥PC, .∠P'CP=∠ACB=90°， .∴.∠P'CA=∠PCB, ∴.△AP'℃∽△BPC. (2)由（1)知，∠BAC=60°， ∴.∠ABC=90°-∠BAC=30°， .∴.AB=2AC=4 ·.△AP'C∽△BPC, .∠PAC=∠PBC=30°， AP P'C3 BP PC 3 BP=3, .AP=1. .·∠PAB=∠PAC+∠BAC=30°+60°=90°， AP=1,AB=4, .在Rt△PAB中，由勾股定理得BP= AP2+AB2=√17. (3)有.理由如下： 由(1)知，△AP'C∽△BPC, 96 APP'C_ BP PC 3 AP'-3 .AP=1,是定值， .点P'在以点A为圆心，半径为AP的 圆上 如图1，当点P'在BA的延长线上时，BP' 取得最大值， 图1 ∴.∠PAC=180°-∠BAC=120°. .△AP'C∽△BPC, ∴.∠PAC=∠PBC=120°. ∴.当BP'取得最大值时，∠PBC=120° 如图2，当点P'在线段AB上时，BP'取 得最小值. 图2 ·△AP'C∽△BPC, ∴.∠PBC=∠BAC=60°， .当BP'取得最小值时，∠PBC=60. 综上，当BP'取最大值时，∠PBC=120°； 当BP'取最小值时，∠PBC=60°.