第四章 相似 模型45“一线三垂直”相似模型-【荣恒专项】2026年72个模型公式速通初中几何（初中通用）

72个模型公式速通初中几何 模型45“一线三垂直”相似模型 ⑧模型解读 已知直角三角形APC和直角三角形BDP,直角边AP和PB在同一条直线上，且 模型构建 ∠C=∠DPB 3 同侧型 ∠1=∠2=∠3=90° 图形拆解 B 423P R D 异侧型 ∠1=∠2=∠3=90° 相关结论 △APC∽△BDP 同侧型证明： .∠C=∠BPD. .∠1=90°， 又.∠1=∠3， ∴∠C+∠APC=90° .△APC△BDP .∠2=90°， .∠BPD+∠APC=90°， 证明分析 异侧型证明： ∴.∠C=∠DPB, .∵∠1=∠2=∠3=90°， 又.∠2=∠1， 423 >P .∠C+∠APC=90°， .△APC∽△BDP ∠DPB+∠APC=90°， 150 模型45“一线三垂直”相似模型 模型拓展 同侧型： 已知条件 点P在线段AB上（非端点），∠1=∠2=∠3 D 锐角 结论 △APC∽△BDP 三 异侧型： C 已知条件 点P在BA的延长线上，∠1=∠2=∠3 角 结论 △APC∽△BDP 同侧型： 已知条件 点P在线段AB上（非端点)，∠1=∠2=∠3 钝 P 结论 △APC∽△BDP 一 三 异侧型： 等 C 已知条件 点P在BA的延长线上，∠1=∠2=∠3 角 B2 结论 △APC∽△BDP D 模型应用 1(1)【问题】如图1，在四边形ABCD中，P为边AB上一点，当∠DPC=∠A=∠B=90时， 求证：AD·BC=AP·BP (2)【探究】若将90°角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由， 151 72个模型公式速通初中几何 (3)【应用】如图3，在△ABC中，AB=22,∠B=45°，以点A为直角顶点作等腰直角三角 形ADE,点D,E,F分别在边BC,AC,DC上，且∠EFD=45°，若CE=5,求CD的长. B D 图1 图2 图3 /三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 (1)由“一线三垂直”相似 三个等角的顶点在 模型，可知△ADP△BPC, 同一条直线上，可 D 则AD·BC=AP·BP 识别出“一线三垂 A 直”或“一线三等 图1 图2 （2)由“一线三等角”相似 角”相似模型 模型，可知△ADP△BPC, A 则AD·BC=AP·BP. (3)由“一线三等角”相似 BD FC 图3 模型，可知△ABD∽△DFE 分层演练 1.如图，D,E分别是等边三角形ABC的边 2如图，点A,B分别在反比例函数)=I AB,BC上的点，将△BDE沿直线DE翻 折，点B的对应点F恰好落在边AC上， (x>0),y=a(x<0)的图象上 若AC-4M,则的值是（ 若OA⊥OB, 0B=2,则a的值为() A B D 4.2 B. 3 .3 D.s A.-2 B.-4 C.4 D.2 3 4 5 7 152 模型45“一线三垂直”相似模型 3.如图，在正方形ABCD中，点E在边AD上，4.已知∠DAB=∠DBE 连接EB,作EF⊥BE交CD于点F (1)如图1，若点C在AB的延长线上， (1)求证：△ABE∽△DEF; ∠C=∠A,求证：△DAB∽△BCE: (2)连接BF,若△ABE~△EBF,试确 【思考探究】 定点E的位置. (2)如图2，若点C在AB的延长线上， CE∥AD, ∠C=45°，AD=N2AB, 求的值： 【拓展延伸】 (3)如图3，连接AE,若△DAB∽△DBE, 2,AE=nBD,求n的值 AB D AB C B 图1 图2 图3 15372个模型公式速通初中几何 又：BQ=BG+QG-GF+3GF=3GE, GQ =3 D张9 即GF=V2 又.MN∥GF,DP∥BQ, 器6把 号 ②证明：.ME∥GC, 器祭瓷 又.四边形DGFE为正方形， ∴.GF=EF=GD, 模型45 分层演练 模型辨识由∠A=∠C=∠DFE, 别出“一线三等角”相似模型 答案D 解析 设AF=x .△ABC为等边三角形，AC=4AF, ∴.AC=AB=BC=4x, ∠A=∠B=∠C=60°， ∴.CF=3x. ,将△BDE翻折得到△FDE, ∴.BD=FD,BE=FE, ∠B=∠DFE=60°. .·∠AFD+∠DFE=∠C+∠CEF, ∴.∠AFD=∠CEF, ∴.△ADF∽△CFE, BD=DE-CAADE=AD+DFTAF BE FE CACFE EF+CE+CF MN=NE, E FC' 即祭瓷 "EN 同理，在△ABF中， 梁"当 AGBG' 州-路. 即DM=BG MN DG .∠BAC=90°， .∴.∠B+∠C=90° 又.∠B+∠BDG=90°， .∠BDG=∠C, ∴.tan∠BDG=tanC, %隱 搬2g ENMN' .MN2=DM·EN. 线三垂直”相似模型 0825-8+85-蓉- BE+CE+CF 可识 故选D 2 模型辨识过点A作AC⊥x轴，过点 B作BD⊥x轴，可构造出“一线三垂直” 相似模型。 答案B 解析 如图，过点A作AC⊥x轴 于点C,过点B作BD⊥x轴于点D,则 ∠A0C+∠OAC=90° D 又.∠AOB=90°， ∴.∠B0D+∠A0C=90°， 80 ∴.∠BOD=∠OAC, .△BD0△OCA, 4肥8肥-98-2 由题意设0C=x(x>0),则AC= .0D=2AC=2 BD=20C=2x. 又点B在第二象限， 点B的坐标为(-是2x). 将点B的坐标代入=是中， 得a=-2.2x=-4 故选B 3 模型辨识(1)由∠A=∠D=∠BEF 90°，可识别出“一线三垂直”相似模型： 答案 （1)证明：：四边形ABCD 是正方形， .∠A=∠D=90°， ∴.∠AEB+∠ABE=90°. .EF⊥BE, .∠AEB+∠DEF=90°， .∠ABE=∠DEF .△ABE∽△DEF (2)解：.△ABE∽△DEF∽△EBF, 提器品=器=怨 ∴.DE=AE, .E为AD的中点 4 模型辨识●(1)由∠A=∠C=∠DBE, 可识别出“一线三等角”相似模型. (2)过点E作EF⊥EC,可构造出“ 线三等角”相似模型 (3)延长AB至，点F,连接EF,使得∠F ∠DAB,可构造出“一线三等角”相似模型 答案（1)证明：·∠DBE+∠CBE= ∠DBC=∠A+∠ADB,∠A=∠DBE, ∴.∠ADB=∠CBE. 又.∠A=∠C, 81 参考答暴 ∴.△DAB∽△BCE. (2)解：如图1，过点E作EF⊥EC, 交AC于点F, D E A B FC 图1 则∠CFE=∠C=45°， ∠BFE=90°+45°=135°， .CE=EF,CF=CE2+EF2=2 EF. CE∥AD, ∴.∠A=180°-45°=135°=∠BFE. 又∠DBE=∠A,∴.∠CBE=∠ADB, ∴.△BFE∽△DAB 02 设CE=EF=a（a>0), 则BF=√2a,CF=√2a, ∴.BC=BF+CF=2√2a, CE= BC2√2a4 (3)解：如图2，延长AB至点F,连接 EF,使得∠F=∠DAB, 易得△DAB∽△BFE, D A 图2 端器饶 .△DAB∽△DBE, 地=跳=2 AB BE 2 锦帮 2 AB=BF. 设AD=m(m>0), 则AB=BF=√2m, ∴.EF=√2AB=2m, AF=AB+BF=2√2m, 72个模型公式速通初中几何 需指2 驰=4D-1 AEF元=2： 又∠DAB=∠F, .AE=2BD, ∴.△DAB∽△EFA, ∴.n=2. 模型46 “手拉手”相似模型 分层演练 .∠ACB=90°，∠ABC=30°， 模型辨识由已知条件得船=铝 ∴.∠CAB=60° 由旋转的性质及DE∥AB可知， BC ,可识别出“手拉手”相似模型： ∠CDE=∠D'=∠CAB=60°，CD=CD'=1, DE CE=CE=√5 答案 B 又C-CE CA CB' ∠ACD'=∠BCE, 解析 由题意知能=学铝=名= 黑品 景器子 .△ACD'∽△BCE, ∴.∠D'=∠CE'B=∠CAB=60°， 能-8器 .E'H=CE.cos60°= 2 ∴.△ABC∽△ADE, ∴.∠BAC=∠DAE, CH=HE·an60=多 在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=√7， ·.∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC, ∠ABC=30°， 即∠BAD=∠CAE=20°. 故选B, BC-60=瓦 2 模型辨识由旋转的性质及DE∥AB, ·B=VBC-C7=21-g=5y5 4-2 可知黑需 ∠ACD'=∠BCE,可识 .BE'=HE'+BH=3√3. 别出“手拉手”相似模型。 故选B 答案 B 3 模型辨识●（2)由四边形ABCD和四 解析 如图，作CH⊥BE于点H, 边形AEFG-都是正方形，得怎=指 设AC交BE于点O ∠CAF=∠BAE,可识别出“手拉手”相 似模型 OH 答案 （1)证明：，四边形ABCD 和四边形AEFG都是正方形， B ∴.∠ACD=∠AFG=∠CFM=45° D' 又.'∠CMF=∠AMC, 82