第三章 轴对称、等腰、直角 模型34 直角三角形共斜边-【荣恒专项】2026年72个模型公式速通初中几何（初中通用）

72个模型公式速通初中几何 模型34直角三角形共斜边 模型解读 模型构建 △ABC和△ABD均为直角三角形 B B 图形拆解 D D 取斜边中点O,连接CO,DO 相关结论 0A=0B=0C=0D=2AB,∠C0D=2∠CAD 如图，取斜边中点0，连接.∠3=∠4，∠5=∠6. C C0,D0, ∠1=∠3+∠4=2∠3， 证明分析 .∠ACB=∠ADB=90°，0∠2=∠5+∠6=2∠5， 502 为AB的中点， ∴.∠1+∠2=2（∠3+∠5）， O .0A=OB=OC=OD=-AB, 即∠COD=2∠CAD 2 模型应用 1已知：如图，在四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AC平分∠BAD,E是BD的中点， AF⊥BD,垂足为F.求证：CB=CD 118 模型34直角三角形共斜边 9/三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 由“直角三角形共斜边”， 可知AB=CE=B=子6D, .∠EAB=∠EBA,∠EAC=∠ECA. △ABD,△CBD是 连接AE .'∠ABF+∠ADB=90°=∠DAF+∠ADF, 共斜边的两个直角 ∴.∠ABF=∠DAF, 三角形，可识别出 .∠EAB=∠EBA=∠DAF. 直角三角形共斜边 .·AC平分∠BAD,.∠BAC=∠DAC, 模型 ∴.∠EAB+∠EAC=∠DAF+∠FAC, .∠EAC=∠FAC=∠ECA, .AF∥CE,.CE⊥BD, .CE垂直平分BD,·.CB=CD 2如图，在△ABC中，CF⊥AB于点F,BE⊥AC于点E,M为 BC的中点.若△MEF是等边三角形，求∠EBF的度数. A/三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 由“直角三角形共斜边”， △BCF,△BCE是 可知MF=ME=子BC=MB=MC, 共斜边的两个直角 .∠FBM=∠BFM,∠MEC=∠MCE, 三角形，可识别出 ∴.2∠ABC+∠FMB+2∠ACB+∠EMC=360° 直角三角形共斜边 ∠FMB+∠EMC=180°-∠FME= 模型 180°-60°=120°， .∠ABC+∠ACB=120°， ∴.∠A=180°-∠ABC-∠ACB=60° .BE⊥AC, ∴.∠EBF=90°-60°=30° 119 72个模型公式速通初中几何 分层演练 1.[重点题]如图，在四边形ABCD中，3.如图，在四边形ABCD中，∠ABC= ∠BCD=∠BAD=90°，AC,BD相交于点 ∠ADC=90°，M,N分别是AC,BD的中点. E,且G,H分别是AC,BD的中点.若 (1)猜想MW和BD之间的位置关系，并 ∠BEC=80°，则∠GHE等于( 证明你的结论； (2)如果∠BCD=45°，BD=2,求MN的长. B A.5° B.10° C.20 D.309 2.如图，BE,CF是△ABC的两条高，P是 BC边的中点，连接PE,PF,EF (1)求证：PE=PF; (2)若∠A=70°，求∠EPF的度数 120 模型34直角三角形共斜边 4.如图，BN,CM是△ABC的两条高，D是：5.如图，已知△ABC是等腰直角三角形，其 BC的中点，DE⊥MN于点E 中AC=BC,∠ACB=90°，D为AC上任意一点， (1)求证：E是MN的中点； 过点D作DE⊥AB于点E,连接BD,取 (2)若BC=12,MW=8,求DE的长 BD的中点O,连接OC,OE,CE (1)求证：①OC=OE; ②△OCE为等腰直角三角形 (2)若BC=4,CE⊥BD,试求AD的长 C 121参考答案 此时在EQ上取PQ=2. .A,B在东西方向上相距64m,在南北 在Rt△BCM中，BM=AB-AM=5-2=3, 方向上相距84m,且河宽为4m, BC=4, ∴.点G与点F的东西距离为64-4=60(m), .CM=VBM+BC2=32+4=5, 南北距离为84-4=80(m), ∴.四边形APQB周长的最小值为5+7=12. ∴.点G与点F的距离为√60+802=100(m), 4 模型辨识A,B为定点，河宽固定，可 ∴.从A处到B处的最短距离是100+4+4= 识别出将军饮马之“两定点一定长”模型. 108(m). 答案解：如图，将点A向下平移 至点F,使AF的长等于河宽，将点B向 右平移至点G,使BG的长等于河宽，连 接GR由“两定点一定长”模型可得， AD+DE+EB的最小值为GF的长， 模型34 直角三角形共斜边 分层演练 ,G为AC的中点，根据等腰三角形三线 模型辨识△ABD,△BCD是共斜边的 合一，可得HG⊥AC, 两个直角三角形，可识别出直角三角形共 .∠HGE=90°. 斜边模型 :∠BEC=80°，.∠GEH=80°， 答案 B .∠GHE=90°-∠GEH=90°-80°=10° 解析如图，连接AH,CH 2模型辨识△BCF,△BCE是共斜边的 两个直角三角形，可识别出直角三角形共 斜边模型。 答案 (1)证明：BE,CF是 △ABC的两条高， ·.∠BFC=∠BEC=90° .·∠BAD=∠BCD=90°，H为BD的中 .P是BC边的中点， 点，根据直角三角形斜边中线定理，可得 BP-FP-]BC,CP-EP-]BC. AH=CH=BD, ∴.PE=PF .△AHC为等腰三角形. (2)解：∠A=70°， 63 72个模型公式速通初中几何 .∠ABC+∠ACB=180°-∠A=110° MN=号BD=1 由(1)得，PB=PF,EP=CP, 模型辨识△BCM,△BCW是共斜边的 .∠ABC=∠BFP,∠ACB=∠CEP, 两个直角三角形，可识别出直角三角形共 .∠BFP+∠CEP=∠ABC+∠ACB=110°， 斜边模型 ∴.∠BPF+∠EPC=360°-（∠ABC+∠ACB+ 答案 (1)证明：如图，连接DM, ∠BFP+∠CEP)=140°， DN. ∴.∠EPF=180°-(LFPB+∠EPC)=40°， 即∠EPF的度数为40°. 3模型辨识△ABC,△ADC是共斜边的 两个直角三角形，可识别出直角三角形共 斜边模型 答案 (1)猜想：MN⊥BD. .·BN,CM是△ABC的两条高， 证明：如图，连接MB,DM ∴.∠BMC=∠CNB=90° D是BC的中点， .DM=]BC,DN=BC, ∴.DM=DN. .·DE⊥MN, C ∴.E是MN的中点 .∠ABC=90°，M是AC的中点， （2)解：BC=12, .BM=号AC ..DN=BC=6. .'∠ADC=90°，M是AC的中点， E是MN的中点，MN=8, .DM=TAC. .EN=号MN=4. ∴.BM=DM. 在Rt△DEN中，由勾股定理得DW2= N是BD的中点， ∴.MN⊥BD. DE+EN, (2)解：，∠ABC=90°，M是AC的中点， ∴.DE=VDW2-EW=√62-4平=2√5 ∴.BM=CM,∴.∠BCM=∠CBM. 5 模型辨识●△DBC,△DBE是共斜边的 同理∠DCM=∠CDM, 两个直角三角形，可识别出直角三角形共 ∴.∠BMD=∠BMA+∠DMA=2∠BCM+ 斜边模型 2∠DCM=2(∠BCM+∠DCM)=2∠BCD= 答案 (1)证明：①.·∠BCD=90°， 90°. DE⊥AB,O为BD的中点， BM=MD, ∴.△BMD是等腰直角三角形 .OE=BD,OC=BD, .0C=0E .N是BD的中点，BD=2, ②：0C=0E=BD=0B, 64 参考答案 ∴.∠OCB=∠OBC,∠OBE=∠OEB. (2)解：，OC=OE,CE⊥BD, 又∠COD=∠OCB+∠OBC,∠DOE ∴.BD是CE的垂直平分线， ∴.BE=BC=4. ∠OBE+∠OEB, 在Rt△ABC中，根据勾股定理可得 ∴.∠COD=2∠OBC,∠DOE=2∠OBE. AB=VAC2+BC=4√2， .AC=BC,∠ACB=90°， .AE=AB-BE=4√2-4、 .∠ABC=45°， .△ABC是等腰直角三角形， ∴.∠COE=∠COD+∠DOE=2(∠OBC+ .∠A=45° ∠OBE)=2∠ABC=2×45°=90° DE⊥AB 又.OC=0E, .AD=√2AE=√2×(4√2-4)=8-4V2. .△0CE为等腰直角三角形， 模型35 维维亚尼模型 分层演练 四边形ABCD是正方形，BD为对角线， 模型辨识△ABC是等边三角形，且 .∠EBH=45 .·BE=BC=3, PD⊥BC,PE⊥AC,PF⊥AB,可识别 ∴.在等腰直角三角形BEH中，根据勾股 出维维亚尼模型 答案解：由维维亚尼模型，得 定理，得h平 .·S△BFE+S△BCF=S△BBC, PD+PE+PF的长等于等边三角形的高 2BE·FN+号BC·FM=号BC·EH :'PD+PE+PF=4V3,SA ARCT=16√5， BE=BC, SAAN=AB (PD+PE+PF)=16, FN+FM-EH-32 ∴.AB=8 3 模型辨识(2)△BMN为等腰三角 2 模型辨识△BEC为等腰三角形，过底 形，点P在底边MN上，PE⊥BM, 边上的，点向两腰作垂线，可识别出维维亚 PF⊥BN,可识别出维维亚尼模型 尼模型 答案解：(1)：在矩形ABCD中， 答案 解：如图，过点E作 AB=3,AD=4, EH⊥BC,垂足为H,连接BF . BD=JAB'+AD =5,AO=AC= BD=OD. 设点A到BD的距离为h, 则号BD×h=5AB×AD, =34=号 65