第三章 轴对称、等腰、直角 模型28 垂美四边形-【荣恒专项】2026年72个模型公式速通初中几何（初中通用）

72个模型公式速通初中几何 模型28垂美四边形 ⑧模型解读 模型构建 在四边形ABCD中，对角线AC⊥BD,垂足为O 图形拆解 相关结论 AB2+CD2-AD2+BC2 在Rt△AOD,Rt△BOC, ①+②，得OA2+0B+0C2+ Rt△AOB和Rt△COD中， OD2=AD2+BC2, 根据勾股定理，得 ③+④，得OA2+0B+0C2+ 证明分析 0A2+0D2=AD2,① OD2-CD2+AB2, 0B2+0C2=BC2,② ..AB2+CD2=AD2+BC2 OA2+OB2=AB2,③ 0C2+0D=CD2,④ 模型拓展 已知条件 在矩形ABCD中，P为边CD上一点，连接AP,BP 结论 DP2+BP2=AP2+PC2 D 在矩形ABCD中，P为矩形内部任意一点，连接AP, 已知条件 BP,CP,DP B 结论 AP+PC2=DP2+BP2 96 模型28垂美四边形 8 模型应用 1如图，四边形ABCD的对角线AC,BD互相垂直，若AD=2,AB=4,BC=5,则CD的 长为 /三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 由“四边形ABCD的对角线 在四边形ABCD中，由 AC,BD互相垂直”，即对角 “垂美四边形”模型，可 线互相垂直的四边形，可识别 知AD2+BC2=AB2+CD2, 出“垂美四边形”模型 ∴.CD=J13 2(杭州模拟)如图，E是矩形ABCD内任意一点，连接AE,BE,CE,DE,则下列结论正确 的是() A.AE+DE=BE+CE B.AE+CE=BE+DE C.AE+CE=BE+DE2 D.AE2+DE2=BE2+CE2 /三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 E为矩形内部任意一点，可识 由“垂美四边形”模型， 别出“垂美四边形”模型 可知AE2+CE2=BE2+DE2 97 72个模型公式速通初中几何 具分层演练 1.对角线互相垂直的四边形叫作“垂美四边 2.如图，在四边形ABCD中，AC⊥BD于点O, 形”，现有如图所示的“垂美四边形”ABCD AB=6,BC=8,CD=10,求AD的长. 点E为对角线BD上任意一点，连接AE, D CE.若AB=5,BC=3,求AE2-CE2的值. D C B B 98 模型28垂美四边形 3.(1)如图1，在矩形ABCD中，AC⊥BE 4.（1)【性质探究】如图1，已知在四边形 于点O,AB=2,BC=3,求AE的长： ABCD中，AC⊥BD,垂足为O,求证： (2)如图2，在△ABC中，∠ACB=90°， AB2+CD2-AD2+BC2 BC=6,AC=8,分别以AC和AB为直 (2)【解决问题】已知AB=5,BC=4,分 角边作等腰直角三角形ACG和等腰直 别以△ABC的边BC和AB向外作等 角三角形ABE,连接BG,CE相交于 腰直角三角形BCQ和等腰直角三角形 点Q,连接GE,求GE的长。 ABP ①如图2，若∠ACB=90°，连接PQ, 求PQ的长； ②如图3，若∠ACB≠90°，M,N分 别是AC,AP的中点，MN=23,则 图1 图2 S△ABCF 图1 图2 图3 9972个模型公式速通初中几何 理由如下： 设AG与BF交于点T,如图2. 图2 由(2) 知，△BGF≌△FHD, ∠FBG+∠BTG=90°，FH∥AC. .BF=DF,∠FBG=∠DFH, ∠BTG=∠BFH, ∴.∠DFH+∠BFH=90°， .∠BFD=90°， .∴△BFD是等腰直角三角形， ·BF=DF=5BD 2 模型28 分层演练 1 模型辨识 “垂美四边形”的对角线互 相垂直 答案 解：如图，连接AC,交BD于 点0， E C 则AC⊥BD: 在Rt△A0E中，AE2=A02+0E2, 在Rt△C0E中，CE2=C0+0E2, ∴.AE2-CE2=A02-C02 在Rt△AOB中，AO2=AB2-OB2, 在Rt△C0B中，C02=BC2-OB2, .A02-C02=AB2-BC2=52_-32=16, .AE2-CE2=16. 如图3，当BD最小时，△BFD面积最小， 图3 .·BD≥BC-CD, .当B,C,D三点共线时，BD的最小值 为BC-CD=5-3=2, .BF=DF=√2， 此时，Sm=号BF:DF号×迈×2-1， 即△BFD面积的最小值是1. 垂美四边形 2 模型辨识对角线互相垂直的四边形对 边的平方和相等 答案解：AC⊥BD, .四边形ABCD为垂美四边形， .AB2+CD2=AD2+BC2, 即62+102=AD2+82, 则AD2=72, .AD=6√2（负值已舍去). 3模型辨识对角线互相垂直的四边形对 边的平方和相等. 答案解：(1)四边形ABCD为 矩形，AB=2,BC=3, ∴.∠D=90°，AD=BC=3,CD=AB=2. 设AE=x,则DE=3-x, 在Rt△DCE中， CE=CD2+DE2=22+(3-x)2=x2-6x+13. 52 AC⊥BE, : :.四边形ABCE是垂美四边形. .AB2+CE2=AE2+BC2, .22+x2-6x+13=x2+32, 心影 即AE=号 (2)如图，设CE,AB相交于点M .△ACG和△ABE都是等腰直角三角形， ∴.AB=AE,AC=AG,∠BAE=∠CAG=90°， .∠BAE+∠CAB=∠CAG+∠CAB,即 ∠GAB=∠CAE, .△BAG≌△EAC(SAS), .∠ABG=∠AEC .·∠BMC=∠AME, ·.180°-∠ABG∠BMC=180°-∠AEC- ∠AME, 即∠BQM=∠EAM=90°， ∴.BG⊥CE, .四边形BCGE是垂美四边形， .BC2+GE2=CG2+BE2 .∠ACB=90°，BC=6,AC=8, ∴.CG=8V2,AB=10,BE=10√2， .62+GE2=(82)2+(102)2, 解得GE=2√3（负值已舍）. 4 模型辨识对角线互相垂直的四边形对 边的平方和相等 答案 (1)证明：.AC⊥BD, .∠AOD=∠AOB=∠BOC=∠COD=90° 53 参考答暴 由勾股定理，得 AD2+BC2=A02+D02+B02+C02, AB2+CD2=A02+B02+C02+D02, ∴.AB2+CD2=AD2+BC2 (2)①解：如图1，连接PC,AQ交于点D, 图1 '△ABP和△CBQ都是等腰直角三角形， ∴.PB=AB,CB=BQ,∠ABP=∠CBQ=90°， .∠PBC=∠ABQ, ∴.△PBC≌△ABQ(SAS), ∴.∠BPC=∠BAQ 又.∠BPC+∠CPA+∠BAP=90°， 即∠BAQ+∠CPA+∠BAP=90°， .∠PDA=90°， ∴.PC⊥AQ. 利用（1)中的结论得AP+C02=AC2+P02, 易得PA=5V2,CQ=4√2，AC=3, (52)2+（4V2)2=32+PQ2, ∴.PQ=√73 ②. 提示：如图2，连接PC,AQ交于点D, M 图2 同①可证△PBC≌△ABQ(SAS), ∴.AQ=PC且AQ⊥PC. 72个模型公式速通初中几何 M,N分别是AC,AP的中点， ∴.QE2-BE2=23. .MN=PC. .·EQ=4+BE, .MWN=2√3， ∴.（4+BE)2-BE2=23, .AQ=PC=45, 解得B=) 过点A作AE⊥QB,交QB的延长线于点E, Sam=号BC×B=号x4×员=子 则有AE2+BE2=AB2=25,AE2+QE2=A02=48, 模型29 将军饮马之“两点一线” 分层演练 ∴.∠CBP-∠CDP-15. 模型辨识直线同侧有两定，点，直线上 2 模型辨识N,B是直线同侧两定点，M 有一动点，求两条线段和的最小值，可识 是直线上一动点，求两条线段和的最小值， 别出将军饮马之“两，点一线”模型 可识别出将军饮马之“两，点一线”模型 答案解：如图，作点B关于MN的 答案解：如图，连接MD,DN. 对称点D,连接BD,CD,连接AD交MN 于点P,连接BP,此时AP+BP的值最小， 由菱形的对角线互相垂直平分，可得点B, D D关于AC对称， 由轴对称可知CB=CD,PB=PD, 则MD=MB ∴.∠CBD=∠CDB,∠PBD=∠PDB, ∴.MN+MB=MN+MD≥DN, .∴.∠CBP=∠CDP 由“两点一线”模型结论可得DN的长就 .∵∠BCN=30°， 是MN+MB的最小值. ∴.∠BCD=2∠BCN=60°， .:四边形ABCD是菱形，∠ABC=120°， .△BCD是等边三角形. ∴.∠ABD=60°，AB=AD, ·AC=BC, :.△ABD是等边三角形 ∴.AC=CD, ∴.∠CAD=∠CDA AN=BN, .∠ACB=90°，∠BCD=60° ∴.DN⊥AB. ·.∠CAD=∠CDA=)(180°-∠ACB- 在Rt△ADN中，DN=√AD-AN=√5 ∠BCD)=15°， .MW+MB的最小值是5. 54