第三章 轴对称、等腰、直角 模型27 斜边中线的构造-【荣恒专项】2026年72个模型公式速通初中几何（初中通用）

参考答案 AC=12,BC=16,..AB2=AC2+BC2. x2+（10-6)2=（8-x)2, .△ABC为直角三角形，且∠ACB=90°. 解得x=3,即CD的长为3cm 设CD=x, (2)设BD=ycm, 则CD=BC-BD=(8-y)cm. 根据直角三角形锐角平分线模型，得x+ .将直角三角形纸片ABC中的∠B进行 (20-12)2=（16-x)2, 折叠，使点B落在直角边AC的中点E处， 解得x=6, 折痕为DF, .CD=6, DE=DB=y cm,CE=AC=3 cm ∴.重叠部分（阴影部分）的面积为 ∴.在Rt△CDE中，利用勾股定理得 号CD·4C=号×6×12=36. CE2+DC2-DE2, 4 模型辨识(1)Rt△ABC,AD是∠BAC 即3+(8-y)2=y2, 的平分线，可识别直角三角形锐角平分线 解得)亮即BD的长为瓷cm. 模型。 (3)设CD=zcm,根据直角三角形锐角 (3)Rt△ABC,BD是∠CBA的平分线， 平分线模型，得 可识别直角三角形锐角平分线模型 z2+（10-8)2=(6-z)2, 答案解：（1)根据勾股定理易得 解得x=景AD=6-=9 AB=l0cm.设CD=xcm,由直角三角形锐 即AD的长为号cm 角平分线模型，得 模型 斜边中线的构造 分层演练 .'∠CAB=60°， 模型辨识，Rt△ABC,E是斜边中点， ∴.△ACE为等边三角形， ∴.CE=AC=2,∠ACE=60° 可构造出斜边中线。 答案√万 ∴.∠DCE=∠BCE+∠DCB=90° 在Rt△ABC中，BC=ACtan60°=2√3， 解析 如图，连接CE. 在Rt△BCD中，CD=BCcos60°=√5， 在Rt△CDE中，由勾股定理得 DE2=CD'+CE, .DE=√7. 2 模型辨识Rt△BFC,D是斜边BC的 E是AB的中点， .CE是Rt△ABC的中线， 中点，可构造出斜边中线；Rt△BEC,D ∴.CE=AE. 是斜边BC的中点，可构造出斜边中线， 49 72个模型公式速通初中几何 答案 证明：如图，连接DE,DF :.△ACE≌△OCD(SAS). ∴.∠CAE=∠C0D=180°-∠A0C=180° 60°=120° （2)补全图形，如图2所示.FG=AF+AE. 证明如下： 过点D作DH∥CO交CB于点M,交AG BE,CF分别为边AC,AB上的高，D为 于点H. BC的中点， DF=BC,DE=BC. .DF=DE,即△DEF是等腰三角形， 又DM⊥EF, M ∴.M是EF的中点， 图2 即FM=EM. 由(1)可知，∠ACE=∠OCD 3模型辨识（1)Rt△ABC,取斜边中点 .MH∥CO, O,可构造出斜边中线 ∴.∠HDG=∠OCD. 答案解：（1)如图1，取AB的中 .∠ACE=∠HDG. 点0，连接C0. .∠ACE=∠G, ∴.∠HDG∠G. .∴.HD=HG ·F是DE的中点， ∴.EF=DF 图1 .·∠CAE+∠AC0=120°+60°=180°， ∴.AE∥C0∥DH, 在Rt△ACB中， ∴.∠EAF=∠DHF, ∠ACB=90°，O为AB的中点， 又.∠AFE=∠HFD, C0=2AB=A0, ∴.△AFE≌△HFD(AAS). .·∠BAC=60°， ∴.AE=HD,AF=HF ∴.△AC0是等边三角形 ∴.FG=FH+HG=AF+AE. ∴.AC=C0,∠A0C=60° 4 模型辨识(2)Rt△ACD,取斜边AD ·线段CD绕点C逆时针旋转60°得到线 的中点G,可构造出斜边中线 段CE, 答案 证明：（1)：DE2=DF·DA, ∴.CD=CE, 腕 DE-DF 即△CDE是等边三角形. .∠ACO=∠ECD=60°， ∠FDE=∠EDA, 则∠ACE=∠OCD, .△DEF∽△DAE. 50 参考答案 ∴.∠DAE=∠DEF 答案 （1)解：BF=DF,BF⊥DF. .∠EDB=∠ADC, 提示：如图1，连接CF .∠ADB=∠CDE. ..△ABD△ECD (2)由（1)知，△ABD∽△ECD, ∴.∠B=∠ECD. ∴.BE=CE 图1 .∠ACB=90°， ·△ABC,△EDC是等腰直角三角形， ∴.∠BAC+∠B=∠BCE+∠ACE, ∠ABC=∠EDC=90°， ∴.∠BAC=∠ACE, ∴.∠ACB=∠DCE=45°，DC=DE. .∴.∠ACE=180°-∠ACB-∠DCE=180°-45°- ∴.AE=CE=BE 45°=90° 如图，取AD的中点G,连接CG F为AE的中点， ∴.CF=号AE=AF=EF. 又.DF=DF, G ∴.△DCF≌△DEF(SSS), ·LCDF=LEDF=∠EDC-45, 同理，△ABF≌△CBF(SSS), .∠ACD=90°， ∴.∠ABF=∠CBF-45°， DG-CG=]AD. ∴.∠CDF=∠CBF=45°， ∴.∠GDC=∠GCD. ∴.BF=DF,∠BFD=18O°-∠CDF- ∴.∠DGC=180°-2∠ADC. ∠CBF=180°-45°-45°=90°， .'∠BDE=∠ADC, .BF⊥DF ∴.∠ADE=180°-2∠ADC. (2)证明：，△ABC,△EDC均是等腰 ∴.∠ADE=∠CGF, 直角三角形，G,H分别是AC与EC的中点， 由(1)知，△DEF△DAE, LCGB=90,BG=CG=号AC, ∴.∠AED=∠DFE LCHD-90,DH=CH=EC. .'∠DFE=∠CFG, :F是AE的中点， ∴.∠AED=∠CFG, ∴.FH是△AEC的中位线， ∴.△CGF∽△ADE, .FH∥AC,FH=AC=CG=BG, 骆张 ∴.四边形FHCG是平行四边形， CF=AE, ∴.FG=CH,∠FGC=∠FHC, ∴.FG=DH,∠FGB+∠CGB=∠DHF+ FC=EC. ∠CHD, 5 模型辨识(1)Rt△ACE,F是斜边 ∴.∠FGB=∠DHF, AE的中，点，可构造出斜边中线 ∴.△BGF≌△FHD(SAS) (3)解：△BFD面积的最小值是1. 51 72个模型公式速通初中几何 理由如下： 如图3，当BD最小时，△BFD面积最小， 设AG与BF交于点T,如图2. 图2 由(2) 知，△BGF≌△FHD, 图3 ∠FBG+∠BTG=90°，FH∥AC. .·BD≥BC-CD, ∴.BF=DF,∠FBG=∠DFH, .当B,C,D三点共线时，BD的最小值 ∠BTG=∠BFH, 为BC-CD=5-3=2, ∴.∠DFH+∠BFH=90°， ∴.BF=DF=√2， ∴.∠BFD=90°， .△BFD是等腰直角三角形， 此时，Same=BF·DF=)×V2×V2=l, ·.BF=DF=5BD: 即△BFD面积的最小值是1. 2 模型28 垂美四边形 分层演练 2 模型辨识对角线互相垂直的四边形对 模型辨识 “垂美四边形”的对角线互 边的平方和相等 相垂直 答案解：AC⊥BD, 答案 解：如图，连接AC,交BD于 .四边形ABCD为垂美四边形， 点0， .AB2+CD2=AD2+BC2, D 即62+102=AD2+82, 则AD2=72, .AD=6√2（负值已舍去) B 3 模型辨识对角线互相垂直的四边形对 则AC⊥BD. 边的平方和相等. 在Rt△A0E中，AE2=A02+0E2 答案解：(1)四边形ABCD为 在Rt△C0E中，CE2=C0+0E2, 矩形，AB=2,BC=3, ∴.AE2-CE2=A02-C02 .∠D=90°，AD=BC=3,CD=AB=2. 在Rt△AOB中，AO2=AB2-OB 在Rt△C0B中，C02=BC2-OB2, 设AE=x,则DE=3-x, .A02-C02=AB2-BC2=52-32=16, 在Rt△DCE中， ∴.AE2-CE2=16. CE2=CD2+DE2=22+（3-x)2=x2-6x+13. 52模型27斜边中线的构造 模型27斜边中线的构造 ©模型解读 模型构建 在Rt△ABC中，D为AB的中点 图形拆解 连接CD 相关结论 CD-AB-AD-BD 8 模型应用 1 (西安月考)如图，点B在C的左侧运动，且AD∥BC, D=90°，CD=3,AD=6,点E在AD上，且DE=2,点F 在BE上运动，当F运动到BE的中点时，AF+BF的最小值 为 /三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 ,EG⊥BC,F是BE的中点， .BF=EF=FG=-1 BE, ∴.AF+BF=AF+FG≥AG, 过点E作EG⊥BC,垂 由“F运动到BE 当A,F,G三点共线时，AF+BF的值最小， 足为G,连接FG,AG 的中点”，可考 即AG的长度. 虑构造直角三角 .AD∥BC,∠D=90°，.∠C=90° 形，连斜边中线 又EG⊥BC,∴.四边形EGCD是矩形， ∴.EG=CD=3,∠GED=90°，∴.∠AEG=90° G AD=6,DE=2,..AE=AD-DE=4, ∴.在Rt△AEG中，AG=AE2+EG2=5, .AF+BF的最小值为5 93 72个模型公式速通初中几何 Q分层演练 1.把两个含30°的直角三角尺按如图所示的3.如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°， 方式摆放，E为AB的中点，连接DE.若 ∠BAC=60°，D是边BA上一点（不与点B AC=2,则DE的长为 重合，且BD<}BA),将线段CD绕点 C逆时针旋转60°得到线段CE,连接DE, AE. (1)求∠CAE的度数； (2)F是DE的中点，连接AF并延长，交 CD的延长线于点G,依题意补全图 2.如图，在△ABC中，BE,CF分别为边 形，若∠G=∠ACE,用等式表示线 AC,AB上的高，D为BC的中点，DM⊥ 段FG,AF,AE之间的数量关系，并 EF于点M,求证：FM=EM. 证明. M B D 94 模型27斜边中线的构造 4.如图，在△ABC中，已知点D,E分别：5.△ABC,△EDC是两个等腰直角三角形， 在边BC,AB上，EC和AD相交于点F, 其中∠ABC=∠EDC=90°，AB=5,DE=3, ∠EDB=∠ADC,DE=DF·DA 连接AE,取AE的中点F,连接BF,DF. (1)求证：△ABD∽△ECD; (1)如图1，当B,C,D三点共线时，请 (2)如果∠AC909,求证：FC号C 直接写出BF与DF的数量关系与位 置关系； (2)如图2，将△EDC绕点C逆时针旋 转，取AC与EC的中点G,H,当G, H,F三点不共线时，连接GF,HF, B D BG,DH,求证：△BGF≌△FHD; (3)在（2)的条件下，连接BD,在 △EDC绕点C旋转的过程中，求 △BFD面积的最小值，并说明理由. 图 图2 B 备用图 95