第三章 轴对称、等腰、直角 模型24 见二倍角，构造等腰三角形-【荣恒专项】2026年72个模型公式速通初中几何（初中通用）

模型24见二倍角，构造等腰三角形 模型24见二倍角，构造等腰三角形 ©模型解读 模型构建 在△ABC中，∠ACB=2∠B D D a B C C C 作∠ACB的平分线交AB于点D△BCD是等腰三角形 a 2a 2a 2a> 图形拆解 D D 延长BC到点D,使 △ABD和△ACD 得AC=CD,连接AD 均为等腰三角形 2c△ 2% B C D E C DE C 过点A作AE⊥BC于点E, △ABD和△ACD 作AC关于AE对称的线段AD 均为等腰三角形 如图，作∠ACB的平分线交 又∠ACB=2∠B, D AB于点D. .∠B=∠BCD, ·CD平分∠ACB, .△BCD是等腰三角形 ∠ACD=∠BCD=1∠ACB. 如图，延长BC到点D,使 又.：∠ACB=2∠B, 得AC=CD,连接AD. 证明分析 ∴.∠B=∠D, 20 CD=AC, ·.△ABD和△ACD均为等 B D ∴.∠D=∠CAD, 腰三角形 ∴.∠ACB=2∠D. 如图，过点A作AE⊥BC于.∠ADC=2∠B 点E,作AC关于AE对称的 .∠B=∠BAD, 线段AD,则∠ADC=∠C. .△ABD和△ACD均为等 B D E C 又.·∠C=2∠B, 腰三角形 83 72个模型公式速通初中几何 ⑧模型应用 1(山西中考)如图，在四边形ABCD中，∠BCD=90°，对角线AC,BD相交于点O.若 AB=AC=5,BC=6,∠ADB=2∠CBD,则AD的长为 /三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 由题意可知，CH=BC-3,A=4, ∠ADB=∠E+∠DBE=2∠DBE, .∠E=∠DBE, .DB=DE. ∠BCD=90°，即DC⊥BE, .CE=BC=6, 由∠ADB-2∠CBD过点A作AH⊥BC于点H, .EH=CE+CH=6+3=9. 可知，出现二倍 延长AD,BC交于点E 角关系，考虑构 :DC⊥BE,AH⊥BC, 造等腰三角形 ∴.CD∥AH, CD CE DE CE AHHE'AD=CH 即CD-6 DE 6 4-9’AD-31 :CD=3 8.AD=1 DE. 2 又DE=√CE+CD=,6+ 2V97 3 3 ..AD=97 84 、模型24见二倍角，构造等腰三角形 2(哈尔滨期中)如图，在△ABC中，∠ABC=2∠C,BQ和 AP分别为∠ABC和∠BAC的平分线，若△ABQ的周长为20， BP=4,则AB的长为 A/三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 由题意得AB+AQ+BQ=20. ,·BQ为∠ABC的平分线，∠ABC=2∠C, LCB0=3∠ABG=∠C, ..CQ=BQ, ..AB+AQ+BQ=AB+AQ+CO=AB+AC=20. 由题意可知，△DPC为等腰三角形，则 由∠ABC=2∠C 过点P作PD∥BQ, ∠ADP=∠DPC+∠C=2∠C=∠ABP. 可知，出现二 交AC于点D ·AP为∠BAC的平分线， 倍角关系，考 ∴.∠ BAP=∠DAP. 虑构造等腰三 在△ABP和△ADP中， 角形 (∠ABP=∠ADP, ∠BAP=∠DAP, AP=AP, .△ABP≌△ADP(AAS), ∴.AB=AD,BP=DP .AC=AD+CD=AB+DP=AB+BP=AB+4 又.AB+AC=20, ∴.2AB+4=20, ∴.AB=8 具分层演练 1.如图，在△ABC中，∠B=2∠C,AD平：2.如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC, 分∠BAC,则下列等式成立的是( ∠B=2∠ADB,AB=4,CD=7,则AC的长 为 B A.AC=AD+BD B.AC=AB+CD C.AC=AD+CD D.AC=AB+BD 85 72个模型公式速通初中几何 3.如图，在△ABC中，∠ABC<60°，CD5.如图，在△ABC中，∠B=2∠C.若 平分∠ACB,交AB于点D,点E在线 AB=3,BC=5,求AC的长. 段CD上（点E不与点C,D重合），且 ∠EAC=2∠EBC.求证：AE+AC=BC. B 4.如图，在△ABC中，∠C=2∠A,BD 为AC边上的中线，且BC)AC.求证： △BCD为等边三角形， 8672个模型公式速通初中几何 .·AE平分∠FAC, .∠FAC=2∠CAE. 又.·∠BAF=2∠DAC+2∠CAE=2∠DAE= 180°， ∴.∠DAE=90° 故④正确； 又.AD⊥BC, .AE∥BC,故②正确； ·ED∥AB, ∴.∠B=∠CDE 4 又.AE∥BC, .∴.∠E=∠CDE=∠B,∠EAG=∠C. .·AB=AC) .∠B=∠C, ∴.∠E=∠EAG, ∴.AG=GE, 但不能得到AG=AE,故③错误， 即正确的结论有3个. 故选C, 3 模型辨识由GB,CF分别为∠ABC, ∠ACB的平分线，ED∥BC,可得到两 模型24 见二倍角， 分层演练 模型辨识∠B=2∠C,可以利用对称 和外角构造出等腰三角形， 答案D 解析 如图，在AC上截取AE=AB, 连接DE .AD平分∠BAE, 44 个等腰三角形 答案D 解析.·DE∥BC,BG平分∠ABC, CF平分∠ACB, ∴.△EBG,△FDC均为等腰三角形， .∴.BE=EG,CD=DF .FG=3,ED=7, .EB+CD=EG+DF=EF+FG+FG+DG=ED+ FG=10, 模型辨识由BH,CH分别为∠ABC, ∠ACB的平分线，DE∥BC,可得到两 个等腰三角形 答案解：由题意可知△DBH和 △HEC均是等腰三角形， ∴.DB=DH,EH=EC, ∴.AB=AD+DB=AD+DH, AC=AE+EC=AE+EH, .AB+AC=AD+AE+DE=12. 又BC=8, ..△ABC的周长为12+8=20. 构造等腰三角形 .∴.∠BAD=∠CAD. 又.AD=AD, .△ADB≌△ADE, .∴.BD=DE,∠B=∠AED. .∠B=2∠C, ∠AED=∠EDC+∠C, .∴.∠EDC=∠C, ∴.ED=EC, .∴.EC=BD, .∴.AC=AE+EC=AB+BD 故选D 2 模型辨识∠B=2∠ADB,可以利用对 称和外角构造出等腰三角形」 答案11 解析 如图，在AC上截取AE=AB, 连接DE. C .AD平分∠BAC, .∠BAD=∠DAC. 4 在△ABD和△AED中， (AB=AE, ∠BAD=∠DAC, AD=AD, .△ABD≌△AED(SAS), .∠B=∠AED,∠ADB=∠ADE, BD=DE. 又'∠B=2∠ADB, .∠AED=2∠ADB=∠BDE, .∴.∠CED=∠EDC, ∴.CD=CE .AC=AE+CE=AB+CD=4+7=11. 3 模型辨识∠EAC=2∠EBC,可以利用 对称和外角构造出等腰三角形 答案证明：如图，在CB上截取 CF,使CF=CA,连接EF B .CD平分∠ACB, .∠ACE=∠FCE. 在△ACE和△FCE中， 45 参考答条 CA=CF, ∠ACE=∠FCE, CE=CE, .△ACE≌△FCE(SAS), .∴.∠EAC=∠EFC,AE=FE. .∠EAC=2∠EBC, ∴.∠EFC=2∠EBC=∠EBC+∠BEF. ∴.∠EBC=∠FEB, ∴.FB=FE=AE. ∴.AE+AC=FB+FC=BC. 模型辨识∠BCA=2∠A,可通过延长 AC构造出两个等腰三角形」 答案证明：如图，延长AC至点E, 使CE=BC,连接BE. ·BD为AC边上的中线， :.AD-CD=AC. BC=AC, ∴.AD=CD=BC=CE, .∠E=∠CBE,AC=DE, ∴.∠BCA=∠E+∠CBE=2∠E. 又.·∠BCA=2∠A, ∴.∠A=∠E, .'AB=BE. 在△BAC和△BED中， (AC=ED. ∠A=∠E, AB=EB, .△BAC≌△BED(SAS), ∴.BC=BD. 又.BC=CD, ∴.BD=BC=CD, 72个模型公式速通初中几何 ∴.△BCD为等边三角形 ∴.∠F=∠BAF 5 模型辨识∠ABC=2∠C,可通过延长 ∴.∠ABC=∠F+∠BAF=2∠F. CB构造出两个等腰三角形 .∠ABC=2∠C, 答案解：如图，延长CB至点F, .∠F=∠C, 使BF=AB,连接AF,过点A作AG⊥BC ∴.AF=AC. 于点G AG⊥BC, .CG=FG=](BC+BF)=4. ∴.BG=BC-CG=1, .AG=√AB2-BG=√32-1=2V2, BG ∴.AC=√AG+CG=V(2√2)2+42=26 ·BF=AB=3,BC=5, 模型25 见特殊角，作垂线 分层演练 ∴.EF=4+V6 过点A作AG⊥DF,垂足为G, 模型辨识∠B=135°，∠C=120°，分 则DG=√6. 别过点A,D向BC作垂线，可构造出含 在Rt△ADG中，根据勾股定理得 特殊角的直角三角形 AD=V(4+√6)2+（√6）2=2+2√6 答案D 故选D. 解析 如图，过点A,D分别作AE, 2 模型辨识∠B=150°，过点A向CB的 DF垂直于直线BC,垂足分别为E,F 延长线作垂线，可构造出含30°角的直角 三角形 答案 150a 解析 如图，过点A作AD⊥BC, .'∠ABC=135°」 交CB的延长线于点D. ∴.∠ABE=45°. 。 .AB=23, 20m B 30m .BE=AE=49=V6. -C √2 .∠BCD=120°， .∠ABC=150°，.∴.∠ABD=30°， .∠DCF=60°. AD=2AB=3×20=10(m), .CD=42, .S△ABc=5BC·AD=号×30×10=150(m2). .DF-CD-26.CF-2 则购买这种草皮至少要150a元 46