第二章 全等 模型22 倍数线段的构造-【荣恒专项】2026年72个模型公式速通初中几何（初中通用）

参考答案 ∴.BH=AC,∠BHM=∠CAM, E .AC∥BH, D ∴.∠HBA+∠CAB=180° .·四边形ABDE,四边形ACFG均为正方形， ∴.∠BAE=∠CAG=90°， 图2 .∠BAC+∠EAG=180°， 易证△ANG≌△CHA, ∴.∠ABH=∠EAG,且AB=AE,AC=AG, ∴.AN=CH ∴.BH=AG 在Rt△ACM中，AC=4,CM=3, 在△EAG和△ABH中， ∴.AM=V32+42=5. CAE=AB, 2AM·CH=2ACCM, ∠EAG=∠ABH, AG-BH CH=号 ·.△EAG≌△ABH(SAS), AN号 ∴.EG=AH,∠NEA=∠HAB, ②如图3，当点F在线段BC上时，作 .AM=号EG, CH⊥AM于点H,同理可得AN=CH=12. ∴.∠ANE=180°-（∠NEA+∠EAN)=180°- (∠HAB+∠EAN)=180°-(180°-90°)= 90°， .AN⊥EG. (3)解：①如图2，当点F在BC的延长 图3 线上时，作CH⊥AM于点H. 综上所述，AN的值为 5 模型22 倍数线段的构造 分层演练 ∴.∠E=∠ADB. 又.∠DFG∠AFE, 模型辨识(3)问题中出现√2，可构 .∠DGF=∠EAF=90°， 造等腰直角三角形」 故BD⊥EC 答案(1)证明：·四边形ABCD (2)解：四边形ABCD是矩形， 是矩形，点E在BA的延长线上， .AE∥CD ∴.∠EAF=∠DAB=90° ∴.∠E=∠DCF,∠EAF=∠CDF, 又.AE=AD,AF=AB, ∴.△AEF∽△DCF, ∴.△AEF≌△ADB(SAS), 39 72个模型公式速通初中几何 瓷部。 ∴.DB=DG ②由①知△ADB≌△CDG, 即AE·DF=AF·DC ∴.∠G=∠ABD=45° 设AE=AD=a（a>0), 由旋转的性质得∠GDF=∠BDE. 则有a(a-2)=4, 又.·DG=DB, 化简得a2-2a-4=0, ∴.△DGF≌△DBE(ASA), 解得a=√5+1（负值已舍去）， ∴.BE=GF, .AE=5+1. .BE+BF=GF+BF=BG. (3)证明：如图，在线段EG上取点P, 在Rt△BDG中，BG=2BD, 使得EP=DG,连接AP ∴.BE+BF=√2BD (2)①证明：在菱形ABCD中， ∠ABC=∠ADC=60°， LADB=LCDB=号∠ADC=号×60°=30， 由旋转得∠EDF=∠BDG-120°， ∠EDB=∠FDG 在△AEP与△ADG中， (AE-AD, 又：∠DBG=∠DBA=∠ABC=30, {∠E=∠ADG, .在△DBG中，∠G=180°-∠BDG EP=DG ∠DBG=180°-120°-30°=30°， ∴.△AEP≌△ADG(SAS), ∴.∠DBG=∠G=∠DBA, ∴.AP=AG,∠EAP=∠DAG, .'DB=DG, ∴.∠PAG=∠PAD+∠DAG=∠PAD+∠EAP= .△EDB≌△FDG（ASA), ∠DAE=90°， .BE=FG, .△PAG为等腰直角三角形， .BF+BE=BF+FG=BG. ∴.EG-DG=EG-EP=PG=√2AG 如图1，过点D作DH⊥BG于点H, D 2 模型辨识（2)问题中出现√5，可构 造含30°角的直角三角形 答案(1)①DB=DG 图1 ②BE+BF=√2BD .BD=DG, 提示：①由正方形ABCD及旋转角可得， .BG=2BH. ∠GDB=90°=∠ADC 在Rt△BHD中，∠DBH=30°， ∴.∠ADB=∠GDC=45° 盟=c0s30r-3 BD 2, 在正方形ABCD中，AD=CD, ∠A=∠DCG=90°， ∴.2BH=√3BD,即BG=√3BD, ·.△ADB≌△CDG(ASA), ∴.BF+BE=√3BD. 40 参考答案 ②解：当点E在线段AB上时，如图2， 3 模型辨识(2)问题中出现√2，可构 D 造等腰直角三角形 答案 （1)证明：：DE=EF, AE⊥DP, 图2 .BE=1,AB=2, ∴.AF=AD, .∴.AE=BE=1. ∴.∠AFD=∠ADF 在菱形ABCD中，.·AD∥BC, .·∠ADF+∠DAE=∠PAE+∠DAE=90°， ∴.∠ADE=∠M,∠A=∠MBE, .∠AFD=∠PAE. .△ADE≌△BME, .AG平分∠BAF, .BM=AD=AB=2. ∴.∠FAG=∠GAP. 过点D作DK⊥BC于点K, .'∠AFD+∠FAE=90°， 在菱形ABCD中，.∠ADC=60°， .∠AFD+∠PAE+∠FAP=90°， .2∠GAP+2∠PAE=90°， ∴.∠DCK=60°，∠DBC=30°， 即∠GAE=45°， .在Rt△DCK中，DK=CD·sin60°=√5. 又.AE⊥GE, 在Rt△DKB中，BD=2DK=2√5 :.△AEG为等腰直角三角形， 又BF+BE=V5BD, （2)证明：如图1，过点C作CH⊥DP, ∴.BF=√5BD-BE=5, 交DP于点H, ∴.FM=BF+BM=5+2=7. 则∠DHC=90°=∠AED. 当点E在线段AB的延长线上时，如图3， G 图3 B 在菱形ABCD中，：AD∥BC, 图1 .△EBM∽△EAD, .'∠ADE+∠CDH=90°， 器器 ∠CDH+∠DCH=90°， .∠ADE=∠DCH. 即=子可得BM=子 在△ADE和△DCH中， 同理可得△EDB≌△FDG, (∠AED=∠DHC, ∴.FG=BE=1. .∠ADE=∠DCH, 易得BG=6, AD=DC, FM=BF-BM=6+1-号=号 ∴.△ADE≌△DCH（AAS), 综上，FM的长为7或号 .CH=DE,DH=AE=EG, 41 72个模型公式速通初中几何 ∴.EH+EG=EH+HD, 4 模型辨识(1)问题中出现√2，可构 即GH=ED, 造等腰直角三角形 ∴.GH=CH, 答案(1)证明：如图1，在BF上 .CG=√2GH. 截取BF=DE,连接CF 又：AG=√2EG=√2DH, .CG+AG=2GH+√2HD=√2(GH+HD), 即AG+CG=√2DG. (3)解：如图2，过点F作FN⊥CD 图1 分别交AB,CD于点M,N,则四边形 .四边形ABCD是正方形， AMND是矩形， .BC=DC,∠BCD=90°. DE⊥BP, ∴.∠PED=90° ∴.∠PBC+∠BPC=∠PDE+∠DPE=90° M …W .·∠BPC=∠DPE, C 图2 ∴.∠PBC=∠PDE. 又.·BF=DE,BC=DC, .AD∥FN, .△BCF≌△DCE(SAS), ∴.MN=AD=2. .P为AB的中点，AB=2, ∴.CF=CE,∠BCF=∠DCE, ∴.∠FCE=∠FCD+∠DCE=∠FCD+∠BCF= .AP=)AB=1. ∠BCD=90°， ,AD∥FN, ∴.△ECF是等腰直角三角形， ·.∠DFN=∠ADF, ∴.tan∠ADP=tan∠DFN, 在Rt△FCE中，FE2=CF2+CE2=2CE2, 器器2 ∴.EF=√2CE, .BE-DE=BE-BF=EF=2 CE. 设MB=x(0<x<1),则PM=1-x, (2)解：题图2中BE+DE=√2CE,题 FM-2PM-2-2x. 在Rt△AFM中，AF=AB=2,AM=AB- 图3中DE-BE=√2CE.理由如下：如图2， MB=2-x,AF=FM2+AM2, 在PB的延长线上截取BF=DE,连接CF .22=(2-2x)2+(2-x)）2, 解得x=或x=2(舍去)， BM=3,FM=2-2×号-号 在Rt△FMB中，BF=√FM+MB2 9+)-o 图2 42 参考答案 四边形ABCD是正方形， ∴.BC=DC,∠BCD=90° ·DE⊥BP, ∴.∠PED=90°， .∠PBC+∠EDC=180°. 图3 .四边形ABCD是正方形， 又.∠PBC+∠FBC=180°， .BC=DC,∠BCD=90° ∴.∠FBC=∠EDC. .DE⊥BP,∴.∠DEP=90° 又BF=DE,BC=DC, ∴.∠PBC+∠P=∠PDE+∠P=90° .△BCF≌△DCE(SAS), ∴.∠EBC=∠FDC. ∴.CF=CE,∠BCF=∠DCE, 又.'DF=BE,BC=DC, ∴.△BCE≌△DCF(SAS), ∴.∠FCE=∠FCD-∠DCE=∠FCD-∠BCF= .CE=CF,∠BCE=∠DCF, ∠BCD=90°， ·.∠FCE=∠FCB+∠BCE=∠FCB+∠DCF= ∴.△ECF是等腰直角三角形 ∠BCD=90°， 在Rt△FCE中，FE2=CF2+CE2=2CE2, .△ECF是等腰直角三角形 ∴.EF=√2CE, 在Rt△FCE中，FE2=CF2+CE2=2CE2, ∴.BE+DE=BE+BF=EF=√2CE, .EF=√2CE, 如图3，在DE上截取DF=BE,连接CF ∴.DE-BE=DE-DF=EF=√2CE 第三章 轴对称、等腰、直角 模型23 作平行，得等腰 分层演练 CE=BC=10 cm. 故选A. 模型辨识由BO,CO分别为∠ABC, ∠ACB的平分线，OD,OE分别为AB 2 模型辨识由AD,AE分别为∠BAC, AC的平行线，可得到两个等腰三角形. ∠CAF的平分线，结合ED∥AB,可得 答案A 到两个等腰三角形」 答案C 解析 .CO,B0分别是∠ACB, 解析AB=AC,AD是∠BAC的平 ∠ABC的平分线，OD,OE分别为AB, AC的平行线， 分线， ∴.△BDO和△OEC均为等腰三角形 ∴.AD⊥BC,故①正确； .OD=BD,OE=CE, .·AD平分∠BAC, ∴.△ODE的周长为OD+DE+OE=BD+DE+ .∠BAC=2∠DAC 43模型22倍数线段的构造 模型22倍数线段的构造 ©模型解读 模型构建 已知线段AB B B B 已知或求证中含√2AB 过点A作B'A⊥AB, BB=√2AB 使得AB'=AB,连接 BB' 图形拆解 C C B 60°六 60° 已知或求证中含√3AB B B 过点A作AC⊥AB, AC=3 AB 再作∠ABC=60°，BC 与AC交于点C 8 模型应用 如图，在正方形ABCD中，P是边CD上的任意一点，连接 BP,O为BP的中点，作PE⊥BD于点E,连接EO,AE (1)若∠PBC=,求∠POE的大小（用含a的式子表示）； 0 (2)求证：BP=V2AE, 77 72个模型公式速通初中几何 9/三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 (1)在正方形ABCD中， BC=DC,∠BCD=90°， ∴.∠DBC=∠CDB=45°. 连接OC,EC ·'∠PBC=a, .∴.∠DBP=45°-a 出现系数√2，考虑构造 PE⊥BD,且O为BP的中点， 等腰直角三角形 ∴.E0=B0, .∠EBO=∠BEO, .∠POE=∠EB0+∠BEO=90°-2a. (2)易知△EOC是等腰直角三角形， AE=CE, .C2OE-5m, 2 ·.BP-√2ECV2AE 2如图，在△ABC中，∠ACB=120°，BC>AC,点E在BC边上， 点D在AB边上，CE=CA,连接DE,∠ACB+∠ADE=180°， CH⊥AB,垂足为H.求证：AD+DE=2√3CH. 只/三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 作∠FCD=∠ACB,交 易得△AFC≌△EDC(ASA), BA的延长线于点F ∴.CF=CD,AF=ED. 又.CH⊥DF,∠DCF=120°， 出现系数√3，考虑构 F 造含30°的直角三角形 ∴.∠DCH=60°， .DH=√3CH. AD+DE=AD+AF=FD-2DH, ∴.AD+DE=2V3CH 78 模型22倍数线段的构造 分层演练 1.如图1，已知四边形ABCD是矩形，点E2.(1)如图1，在正方形ABCD中，E是 在BA的延长线上，AE=AD,EC与BD相 AB边上的一点，连接BD,DE,将 交于点G,与AD相交于点F,AF=AB ∠BDE绕点D顺时针旋转90°，角的 (1)求证：BD⊥EC; 两边DE,DB旋转后分别与射线BC (2)若AB=2,求AE的长； 交于点F和G (3)如图2，连接AG,求证：EG- ①线段DB和DG之间的数量关系 DG-2 AG 是 ②线段BE,BF和BD之间的数量关 系是 (2)如图2，若四边形ABCD为菱形， B ∠ADC=60°，E是菱形ABCD的边AB 图1 图2 所在直线上的一点，连接BD,DE, 将∠BDE绕点D顺时针旋转120°， 角的两边DE,BD旋转后分别与射线 BC交于点F和G. ①点E在线段AB上时（点E不与端 点重合)，求证：BF+BE=√5BD; ②射线DE交直线BC于点M,若 BE=1,AB=2,求线段FM的长 D 图1 图2 79 72个模型公式速通初中几何 3.如图，在正方形ABCD中，P为AB边上：4.在正方形ABCD中，P是直线CD上的一点， 任一点，AE⊥DP于点E,点F在DP的 连接BP,过点D作DE⊥BP,交直线BP 延长线上，且DE=EF,连接AF,BF, 于点E,连接CE ∠BAF的平分线交DF于点G,连接GC. (1)如图1，当点P在线段CD上时，求证： D BE-DE=2 CE. (2)如图2、图3所示，当点P在直线 PE CD上移动时，线段BE,DE与CE之 G 间又有怎样的数量关系？请说明理由. B (1)求证：△AEG是等腰直角三角形； (2)求证：AG+CG=√2DG: (3)若AB=2,P为AB的中点，求BF的长 图1 图2 图3 80