第二章 全等 模型17“四边形对角互补”全等模型-【荣恒专项】2026年72个模型公式速通初中几何（初中通用）

72个模型公式速通初中几何 模型7“四边形对角互补”全等模型 ©模型解读 模型构建 ∠ABC=∠ADC=90°，BD平分∠ABC Eg-------- A 图形拆解 作DE⊥BA交BA的延 长线于点E,作DF⊥BC 于点F 相关结论 ①△DEA兰△DFC;②AD=CD;③AB+BC=√2BD;④S四边形ABCD= BD2 2 如图， 作DE⊥BA交·.AB+BC=AB+BF+CF=AB+ BA的延长线于点E,作 BF+AE=BE+BF. DF⊥BC于点F 易证四边形DEBF为正方形， .BD平分∠ABC, ∴.BE=BF= 2 BD 2 D ∴.DE=DF .AB+BC=BE+BF=√2BD E .∠ABC=∠ADC=90°， (结论③)， 证明分析 ∴.∠BAD+∠C=180° 由△DEA≌△DFC,可知 .∠DAE+∠BAD=180°， S△DEA=S△DFC, .∴∠DAE=∠C. ∴.S四边形ABCD=S正方形DEBF .'∠E=∠DFC=90°， 2 BE2- BD ∴.△DEA≌△DFC(AAS) 21 -BD(结 (结论①)， 论④) .AE=CF,AD=CD(结论②)， 56 模型7“四边形树角互补”全等模型 8模型拓展 已知条件 ∠ABC=2∠ADC=120°，BD平分∠ABC D 辅助线 作DE⊥BA交BA的延长线于点E,作DF⊥BC于点F ①△AED≌△CFD; ②AD=CD: 结论 ③AB+BC=BD; C ④S四边形ABCD户 3 BD2 已知条件 在四边形ABCD中，AD=CD,∠BAD+∠C=180° D 辅助线 作DE⊥BA交BA的延长线于点E,作DF⊥BC于点F --- B ①△AED≌△CFD: 结论 ②BD平分∠ABC 8 模型应用 1 如图1，∠AOB=90°，OC平分∠AOB,以C为顶点作∠DCE=90°，交OA于点D,交OB于点E. （1)求证：CD=CE. (2)若0C=3,求OD+0E的长. (3)如图2，∠AOB=120°，OC平分∠AOB,以C为顶点作∠DCE=60°，交OA于点D, 交OB于点E.若OC=3,求四边形OECD的面积 EB 0 E B 图1 图2 57 72个模型公式速通初中几何 /三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 (1)由“四边形对角互补”全等模型的 过点C作CG⊥OA于 在四边形DOEC中， 结论，可知△CDG≌△CEH, 点G,CH⊥OB于点H ∠DOE与∠DCE互补， ∴.CD=CE. 且OC平分∠DOE,可 (2)由题意得，△OCG与△OCH是全 G 识别出“四边形对角互 等的等腰直角三角形，且OH=HC, 补”全等模型 H EB 由“四边形对角互补”全等模型的结论， 可知0D+0E=√20C=3√2 (3)由“四边形对角互补”全等模型的 过点C作CG⊥OA于 结论，可知△CDG≌△CEH, 点G,CH⊥OB于点H .DG=EH. 由题意得，△OCG与△OCH是全等的 在四边形DOEC中， 直角三角形，且OG=OH, ∠DOE与∠DCE互补， 且OC平分∠DOE,可 ·.S四边形0ECD=S四边形0HCG=2S△0Cm HE B 识别出“四边形对角互 在Rt△OCH中，有∠COH=60°，OC=3, 补”全等模型 ∴.S△ocHF 9W5 8, 93 ∴.S四边形OEcD=2S△OcH= 4 D分层演练 1.如图，正方形ABCD的对角线AC,BD交 2.如图，在平面直角坐标系中，A,B两 于点O,E是边AB上的一点，连接OE, 点分别在x轴、y轴的正半轴上，且 过点O作OF⊥OE交BC于点F若 OA=OB,点C在第一象限，OC=3,连接 AD=2,则四边形BFOE的面积为（) BC,AC,若∠BCA=90°，则BC+AC的值 为 E B A. B.1 C.2 D.4 58 模型7“四边形对角互补”全等模型 3.如图，在四边形ABCD中，BC>BA, (2)[问题探究]如图2，若∠A0B=120°， ∠A+∠C=180°，DE⊥BC,BD平分 ∠CPD=60°，PD=PC,OD=1,OC=2, ∠ABC.求证：AD=CD 求OP的长； D B E 0 C B 图2 4.(1)[问题解决]如图1，∠AOB=∠CPD= (3)[拓展延伸]如图3，P是正方形 90°，PD=PC,荣荣同学从点P分别 ABCD外一点，∠CPD=90°，对角 向OA,OB作垂线PE,PF,垂足分 线AC,BD交于点O,连接OP,且 别为E,F,请你按照荣荣同学的思 ! OP=2,求四边形OCPD的面积. 路证明△PED≌△PFC; D A D 图3 FC B 图1 59 72个模型公式速通初中几何 5.(1汇问题提出]如图1，在四边形ABCD中， (2)[问题解决]某公园计划修建主题活 AB=AD,∠B与∠D互补， 动区域，如图2所示，BA=BC=60m, BC=2CD=20,点A到BC边的距离为 ∠B=60°，CD∥AB,在BC上找一点 17,求四边形ABCD的面积。 E,修建两个不同的三角形活动区域， △ABE区域为体育健身活动区域， △ECD为文艺活动表演区域.根据规 D 划，要求ED=EA,∠AED=60°.设EC 的长为x(单位：m),△ECD的面积 图1 为y(单位：m),求y与x之间的函数 关系式，并求出△ECD面积的最大值 E 图2 6072个模型公式速通初中几何 AE=AH, ∴.△AEF≌△AHF(SAS), ∠EAF=∠HAF, .EF=HF. AF-AF, HF=BH+BF, .△AEF≌△AHF(SAS), ∴.EF=HF ∴.EF=DE+BF （3)证明：如图3，将△ACE绕点A .·HF=BH+BF, 顺时针旋转90°至△ABH的位置，连接 .∴.EF=DE+BF. DH, (2)解：EF=DE+BF,理由如下： 如图2，将△ADE绕点A顺时针旋转到 △ABH的位置，标示∠1，∠2，∠3. H B Eò G 图3 则CE=HB,AE=AH,∠ABH=∠C=45°， 图2 ∠EAH=90°， 由旋转可得AH=AE,BH=DE,∠1=∠2. ∴.∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°. .·∠ABH+∠ABF=∠D+∠ABF=90°+ 在△EAD和△HAD中， 90°=180°， (AE=AH, ∴.H,B,F三点共线 ∠EAD=∠HAD, :∠EAF=∠DAB, AD=AD, ·.LAF-L1+L3=L2+L3=3∠DMB .△EAD≌△HAD(SAS), ∴.DE=DH. 45°， :∠HBD=∠ABH+∠ABD=45°+45°=90°， ∴.∠HAF=∠EAF 在△AEF和△AHF中， .BD2+HB2=DHP, (AE=AH, .BD2+CE2=DE2. ∠EAF=∠HAF, AF-AF, 模型17 “四边形对角互补”全等模型 分层演练 边形对角互补”全等模型 答案 B 模型辨识在四边形BFOE中，∠EBF 解析 如图，过点O作OH⊥BC于 90°，且BO平分∠EBF,可识别出“四 26 参考答案 点H,OG⊥AB于点G 3 模型辨识在四边形ABCD中，∠BAD+ 由“四边形对角互补”全等模型的结论 ∠C=180°，且BD平分∠ABC,可识别出 可知S图边形B06=S正方形oGBA=号0B. “四边形对角互补”全等模型 由题目条件可知，S正方形ocB= S正方形ABCD 答案 证明：如图，过点D作DF⊥ AD-2,OB=AD. AB,交BA的延长线于点F ∴.S四边形BFOE= AD-1 ·DE⊥BC,BD平分∠ABC, H ∴.DE=DF,∠F=∠DEC=90°. 2 模型辨识在四边形BOAC中，∠BOA .∠BAD+∠C=180° 与∠BCA互补，且OA=OB,可识别出“四 且∠BAD+∠DAF=180°， 边形对角互补”全等模型 ∴.∠DAF=∠C. 答案3√2 在△ADF和△CDE中， 解析 将△OBC绕点O顺时针旋转 (LDAF=∠C, ∠F=∠DEC, 90°，得到△OAD,如图. DF=DE, y .△ADF≌△CDE(AAS), .AD=CD. 4 模型辨识(1)由∠AOB=∠CPD=90° 可识别出“四边形对角互补”全等模型. (2)∠D0C=2∠DPC=120°，可识别出“四 由旋转得0D=0C=3,∠C0D=90°， 边形对角互补”全等模型 ∠OAD=∠OBC. (3)在四边形ODPC中，OD=OC, 在四边形OACB中， ∠DOC+∠DPC=180°，可识别出“四边 .'∠B0A=∠BCA=90°， 形对角互补”全等模型 ∴.∠OBC+∠OAC=180°， 答案(1)证明：PE1OA, ∴.∠0AD+∠OAC=180°， PF⊥OB, ∴.C,A,D三点在同一条直线上， ∴.∠PED=∠PFC=∠AOB=90°， ∴.△OCD为等腰直角三角形， .四边形PEOF是矩形， 根据勾股定理，CD=0C2+0D, ∴.∠FPE=90°， .CD=3√2， ∴.∠FPD+∠EPD=90°. 即BC+AC=3V2. .∠DPC=90°， 27 72个模型公式速通初中几何 ∴.∠FPD+∠FPC=90°， ∴.∠EPD=∠FPC. PD=PC. ∴.△PED≌△PFC(AAS). 图2 (2)解：根据“四边形对角互补”全等 .BA=BC,且∠B=60°， 模型的结论，可得OP=OD+OC=3. .△BAC为等边三角形， (3)解：根据“四边形对角互补”全等 ∴.AB=AC,∠BAC=60°. 模型的结论，可得S回助形ocw20P-2。 .·ED=EA,∠AED=60°， 5模型辨识(1)在四边形ABCD中， ∴.△EAD为等边三角形， ∠B与∠ADC互补，且AB=AD,可识别 ∴.AE=AD,∠EAD=60 出“四边形对角互补”全等模型 .'∠BAE=∠BAC-∠EAC=60°-∠EAC, 答案解：（1)如图1，连接AC, ∠CAD=∠EAD-∠EAC=60°-∠EAC, 过点A作AH⊥BC于点H,将△ABH绕 ∴.∠BAE=∠CAD 点A逆时针旋转，得到△ADG 在△BAE和△CAD中， (AB=AC, ∠BAE=∠CAD, AE=AD, ∴.△BAE≌△CAD(SAS), 图1 ∴.BE=CD 由BC=2CD=20, 即BE=CD=60-x 得CD=10. 又CD∥AB .'△ADG是由△ABH旋转得到的， ∴.∠DCH=∠B=60° .△ADG≌△ABH, 在Rt△DCH中， ∴.∠G=∠AHB=90°，AG=AH=17, ∠ADG=∠B. DH=CD·sin60°=(60-x)·5-305 又.·∠B+∠ADC=180°， ∴.∠ADG+∠ADC=180°，即C,D,G三 △ECD的面积y=·EC·DH=号x 点共线， SAACD-2CD·AG=号×10×17=85， （30w-:)-15v5 S△AB=2·BC·AH=3×20×17=170, 当x= 153 =30时，y有最大值， ∴.S四边形ABCD=S△ABC+S△ACD=170+85=255, 2x-9 (2)如图2，连接AD,AC,过点D作 此时△BCD面积的最大值为)=-x DH⊥BC交BC的延长线于点H. 302+15√5×30=225√5 28