第二章 全等 模型11 平行线中点模型-【荣恒专项】2026年72个模型公式速通初中几何（初中通用）

模型11)平行线中点模型 模型11平行线中点模型 ⑧模型解读 模型构建 AB∥CD,O为线段EF的中点 E E P E B A B 图形拆解 D D Q 延长PO,交CD于点Q 相关结论 △POE≌△QOE 如图，延长PO,交CD于点Q f∠PEO=∠QF0, A E B .AB∥CD, E0=F0, ∴.∠PE0=∠OFQ. ∠POE=∠QOF, 证明分析 :O为线段EF的中点， ·.△POE≌△OOF(ASA) 0 ∴.E0=0F 在△POE和△QOF中， 模型应用 1将矩形ABCD与矩形CEFG按如图所示的方式摆放，点B,C,E共线，连接AF,取AF的 中点H,连接GH.若BC=EF=3,CD=CE=1,则GH= G 31 72个模型公式速通初中几何 /三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 延长GH交AD于点M 由平行线中点模型，可知 由矩形ABCD与矩形 G △AMH≌△FGH, CEFG的摆放方式，可 .AM=FG=CE=1,MH=GH, 夕 知AD∥GF.又H为AF ∴.MD=AD-AM=3-1=2, 的中点，可识别出平行 DG=GC-CD=EF-CD=3-1=2 D M 线中点模型 在Rt△MDG中， B E GM=MD+DG2=22+22=22, ·.GH=LGM=2 分层演练 1.如图，在四边形ABCD中，AB∥CD,AB⊥2.如图，AB∥CF,E为DF的中点，AB=10, BD,AB=5,BD=4,CD=3,若E是AC的中点， CF=6,求BD的长. 求BE的长. D E B 32 模型11)平行线中点模型 3.如图，在菱形ABCD中，E,F分别是BC, :5.如图，在菱形ABCD中，AB=2,∠B是锐 CD的中点，过点E作EG⊥AD于点G, 角，AE⊥BC于点E,M是AB的中点，连接 连接GF.若∠A=80°，求∠DGF的度数 MD,ME.若∠EMD=90°，求cos∠ABC的值. y A 4.如图，☑ABCD的顶点C在等边三角形 BEF的边BF上，点E在AB的延长线上， G为DE的中点，连接CG.若AD=3, AB=CF=2,求BG的长. 33参考答案 .'∠ADB=∠C+∠CAD, ∠ADF=∠EDF+∠CDA, ∴.∠ADB=∠ADF D 在△ADB和△ADF中， B AD=AD. ∠ADB=∠ADF, 由倍长中线模型，可知 BD=FD △BEG≌△CEQ, .△ADB≌△ADF(SAS), .BG=CQ,∠BGE=∠Q. 又BG=CF, ∴.AB=AF=-2AE. ∴.CQ=CF, 4 模型辨识由E是BC的中点，可考虑 .∠F=LQ, 倍长GE,构造全等三角形 ∴，∠BGE=∠F. 答案 证明：如图，延长GE至点Q, EF∥AD, ∴.∠BGE=∠BAD,∠F=∠CAD, 使EQ=EG,连接CQ. ∴.∠BAD=∠CAD, ∴.∠BAC=2∠BAD. 模型11 平行线中点模型 分层演练 .AB⊥BD, 模型辨识由AB∥CD,E为AC的中，点， ∴.∠ABD=90°， 可识别出平行线中点模型 .∠PDB=180°-∠ABD=90° 答案解：如图，延长BE交CD的 BD=4, .在Rt△BPD中， 延长线于点P. BP=√PD+BD=√22+4=2V5, BE=号BP=5 2 模型辨识AB∥CF,E为DF的中点， 可识别出平行线中点模型 AB∥CD,E为AC的中点， 答案 解：：AB∥CF,E是DF 由平行线中点模型，可知△AEB≌△CEP, 的中点，由平行线中点模型，可知 ∴.BE=PE,CP=AB=5. △ADE≌△CFE, 又CD=3, .∴.PD=CP-CD=2 .'.AD=CF. 13 72个模型公式速通初中几何 .AB=10,CF=6, 边形， .BD=AB-AD=AB-CF-4. .BC=AD=3,CD=AB=2,DC//AB, 3 ∴.BF=BC+CF=5. 模型辨识由AD∥BC,F为CD的中点， 可识别出平行线中，点模型 ·△BEF是等边三角形， 答案解：如图，延长AD与EF的 .∠CBE=60°，BE=BF=5, 延长线交于点H, 如图，延长CG交BE于点H. H .四边形ABCD是菱形， :.AD∥BC, 由平行线中点模型，可知△EHG≌△DCG, .∠H=∠CEF ∴.EH=DC=2,HG=CG F是CD的中点， .BH=BE-EH=3. 由平行线中点模型，可知△CEF≌△DHF, .·∠CBH=60°，BC=BH=3, .EF=FH. .△CBH是等边三角形， .·EG⊥AD, .CH=BC=3,BG⊥CH, ∴.GF=FH, cc=Hc-=号CH=3, .∠DGF=H, ∴.在Rt△BCG中， ∴.∠DGF=∠CEF 33 .四边形ABCD是菱形，∠A=80°， BG=BC2-CG2 = 2 ∴.∠C=∠A=80° 5 模型辨识AD∥BC,M为AB的中点， 在菱形ABCD中，E,F分别是BC, 可识别出平行线中点模型」 CD的中点， 答案解：如图，延长DM交CB的延 .∴.CE=CF,∠CEF=∠CFE. 长线于点H,连接DE. 在△CEF中，∠CEF=3(180-∠C)=3× D (180°-80°)=50°， ∴.∠DGF=∠CEF=50° H 4 模型辨识由AB∥CD,G为DE的中，点， E 可识别出平行线中，点模型 .四边形ABCD是菱形， 答案解：：四边形ABCD是平行四 ∴.BC=AD=AB=2,AD∥CH. 14 参考答案 又M为AB的中点， .AE⊥BC, ∴.由平行线中点模型，可知 ∴.∠AEB=∠EAD=90° △ADM≌△BHM, 在Rt△ABE中，AE2=AB2-BE2, ∴.AD=HB=2,DM=HM. 在Rt△ADE中，AE2=DE2-AD2, .:∠EMD=90°， .AB2-BE2=DE2-AD2,即22-x2=(2+x)2-22, .EM⊥DH, 解得x=√5-1或x=-√5-1（舍去)， ∴.EH=ED. ..cos ABC= E-3-1 AB 2 设BE=x,则EH=ED=2+x. 模型12 “雨伞” 模型 分层演练 根据“雨伞”模型，可知△AEF≌△ACF, 模型辨识由BP平分∠ABC,AP⊥BP, ∴.AE=AC=5. AB=8, 可识别出“雨伞”模型. .BE=AB-AE=8-5=3. 答案1 3 模型辨识由AD是∠BAC的平分线， 解析如图，延长AP交BC于点E. CD⊥AD,可识别出“雨伞”模型 答案 解：如图，延长CD与AB的 延长线交于点E. .BP平分∠ABC,AP⊥BP, 由“雨伞”模型，可知△ABP≌△EBP, D .AP=EP, .S△ABP=S△EBP,S△ACP=S△EGP: .AD是∠BAC的平分线，CD⊥AD, 又S△ABC=S△ABP+S△EBP+S△ACP+S△ECP, 由“雨伞”模型，可知△ADC≌△ADE, ∴.AC=AE,DC=DE, .SAm=Sam+Sa0=号SAaC方×2 .BE=AE-AB=AC-AB=5, 1(cm2). S△BCB=2 SA BDG. 2 模型辨识●由AD为△ABC的角平分线， 当BE⊥BC时，S△BCE有最大值，此时 CE⊥AD,可识别出“雨伞”模型 S△BCB=2 SA BDC-=2×30=60, 答案 解：.AD平分∠B4C,CE⊥AD, 即号BC·BE=60, 15