第二章 全等 模型10 倍长中线模型-【荣恒专项】2026年72个模型公式速通初中几何（初中通用）

第二章 全等⑦ :::::::::::::::::::: 模型10倍长中线模型 ⑧模型解读 模型构建 在△ABC中，AD是△ABC的中线 B D D 图形拆解 B E 延长AD至点E,使 DE=AD,连接CE 相关结论 △ABD≌△ECD,AB∥CE 如图，延长AD至点E,使DE=AD, 连接CE. .·AD是△ABC的中线， .∴.BD=CD 在△ABD和△ECD中， 证明分析 C D (AD=ED, ∠ADB=∠EDC, BD=CD. ·.△ABD≌ECD(SAS), ∴.∠ABD=∠ECD, .AB∥CE 27 72个模型公式速通初中几何 模型拓展 已知条件 C为BD的中点 B 辅助线 延长AC至点F,使CF=AC,连接DF 结论 △ABC≌△FDC,AB∥DF 已知条件 AD∥BC,O为AC的中点 辅助线 延长EO交BC于点F 结论 △AEO≌△CFO ⑧模型应用 1(成都模拟)如图，在△ABC中，AD为边BC上的中线，E为 AD上一点，连接BE并延长交AC于点F,若∠AEF=∠FAE,求 证：CF=BE-EF 8/三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 延长AD至点G,使 DG=AD,连接BG 由倍长中线模型，可知 △BDG≌△CDA, 由AD为边BC上的中 .BG=CA,∠G=∠CAD. 线，可考虑倍长AD, 又.∠AEF=∠FAE,∠BEG=∠AEF, 构造全等三角形 ∴.∠G=∠BEG,AF=EF, D .BG=BE, .CA=BE, .·.CF=CA-AF=BE-EF G 28 模型10倍长中线模型 2如图，在△ABC中，已知AD平分∠BAC,E,F分别在BD,AD上， DE=CD,EF=AC.求证：EF∥AB. E /三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 延长AD到点M,使 由倍长中线模型，可知 DM=AD,连接EM △ADC≌△MDE, 方法一：由DE=CD,可 .∴∠DAC=∠M,AC=EM. 知D是CE的中点，考 又AC=EF, 虑倍长AD,构造全等 ∴.EM=EF,.∴.∠DFE=∠M, 三角形 .∴∠DAC=∠DFE .AD平分∠BAC, .∠DAC=∠DAB, ∴.∠DAB=∠DFE, .EF∥AB 由倍长中线模型，可知 △NDC≌△FDE, 方法二：由DE=CD,可 延长AD到点N,使 ∴.∠N=∠EFD,NC=EF DN=FD,连接CN 又AC=EF, 知D是CE的中点，考 ∴.AC=NC, 虑倍长DF,构造全等 三角形 ∴.∠CAN=∠N, ∴.∠CAN=∠EFD. E D .AD平分∠BAC, ∴.∠CAN=∠BAD, .∠BAD=∠EFD, ∴.EF∥AB 3如图，在口ABCD中，F是BC上的一点，连接AF,AE平分 ∠FAD交CD于中点E,连接EF,若∠FAD=60°，AD=2CF,求证： EF=3 CF. 29 72个模型公式速通初中几何 只/三步秒题 模型识别 模型抽离 模型应用 由倍长中线模型，可知 △ADE≌△GCE,'.AD=CG,AE=GE. 由E是边CD的中点， 延长AE,BC交于点G ·.四边形ABCD是平行四边形， 可考虑倍长AE,构造全 ·.AD∥BC,.∠DAE=∠G 等三角形 .'AE平分∠FAD,∠FAD=60°， E ∠A=∠nME子∠AD-=30e G ∴.∠FAE=∠G=30°，.AF=GF, .FE⊥AG.又.AD=2CF ..AF=GF=CG+CF=AD+CF=3CF 在Rt△AEF中，EF=AF=3CF 2 分层演练 1.如图，在△ABC中，AD是BC边上的： 4.如图，在△ABC中，AD交BC于点D, 中线，AC=3,AD=5,则AB的取值范围 E是BC的中点，过点E作EF∥AD交 是 CA的延长线于点F,交AB于点G.若 BG=CF,求证：∠BAC=2∠BAD. B D (第1题) (第2题) B 2.如图，在△ABC中，点D在AC边上， AD=3,AB+AC=10,E是BD的中点，连接 CE.若∠ACB=∠ABC+2∠BCE,则CD= 3.如图，在△ABC中，BD=DC=AC.若AE是 △ADC的中线，求证：AB=2AE. 3072个模型公式速通初中几何 第二章全等 模型10 倍长中线模型 分层演练 .·∠ACB=∠ABC+2∠BCE, 模型辨识由AD是BC边上的中线， ∠DCE=∠ACB-∠BCE= 可考虑倍长AD,构造全等三角形. (∠ABC+2∠BCE)-∠BCE=∠ABC+ 答案7<AB<13 LBCE. 解析 如图，延长AD至点E,使 .·∠AGC=∠ABC+∠BCE, .∠AGC=∠DCE, DE=AD=5,连接CE. ∴.∠F=∠DCE=∠AGC=∠BGF, AG=AC, ∴.BF=BG=CD D 设BF=BG=CD=x, AD=3, 由倍长中线模型，可知△ABD≌△ECD ∴.AC=AD+CD=3+x, ∴.AG=AC=3+x. ∴.AB=EC .AB+AC=10, .·AC=3,AE=AD+DE=10, ∴.3+x+x+3+x=10, ∴.AE-AC<EC<AE+AC, 解得x=手即CD=手 即7<EC<13, 故答案为 .AB的取值范围是7<AB<13. 故答案为7<AB<13, 3 模型辨识由AE是边DC上的中线， 可考虑倍长AE,构造全等三角形 2 模型辨识●由E是BD的中点，可考虑 答案证明：如图，延长AE至点F, 倍长CE,构造全等三角形 答案 使FE=AE,连接DF 解析如图，延长CE至点F,使 EF=CE,交AB于点G,连接BF D 、G 由倍长中线模型，可知△FDE≌△ACE, B ∴.FD=AC,∠EDF=∠C. 由倍长中线模型，可知△BEF≌△DEC, .·BD=DC=AC, ∴.∠F=∠DCE,BF=DC. ∴.BD=FD,∠CDA=∠CAD 12 参考答案 .'∠ADB=∠C+∠CAD, ∠ADF=∠EDF+∠CDA, ∴.∠ADB=∠ADF D 在△ADB和△ADF中， B AD=AD. ∠ADB=∠ADF, 由倍长中线模型，可知 BD=FD △BEG≌△CEQ, .△ADB≌△ADF(SAS), .BG=CQ,∠BGE=∠Q. 又BG=CF, ∴.AB=AF=-2AE. ∴.CQ=CF, 4 模型辨识由E是BC的中点，可考虑 .∠F=LQ, 倍长GE,构造全等三角形 ∴，∠BGE=∠F. 答案 证明：如图，延长GE至点Q, EF∥AD, ∴.∠BGE=∠BAD,∠F=∠CAD, 使EQ=EG,连接CQ. ∴.∠BAD=∠CAD, ∴.∠BAC=2∠BAD. 模型11 平行线中点模型 分层演练 .AB⊥BD, 模型辨识由AB∥CD,E为AC的中，点， ∴.∠ABD=90°， 可识别出平行线中点模型 .∠PDB=180°-∠ABD=90° 答案解：如图，延长BE交CD的 BD=4, .在Rt△BPD中， 延长线于点P. BP=√PD+BD=√22+4=2V5, BE=号BP=5 2 模型辨识AB∥CF,E为DF的中点， 可识别出平行线中点模型 AB∥CD,E为AC的中点， 答案 解：：AB∥CF,E是DF 由平行线中点模型，可知△AEB≌△CEP, 的中点，由平行线中点模型，可知 ∴.BE=PE,CP=AB=5. △ADE≌△CFE, 又CD=3, .∴.PD=CP-CD=2 .'.AD=CF. 13