典例引路悟通法 基底巧解立几难-《中学生数理化》高二数学2026年9月刊

解题锦囊 典例引路悟通法 基于空间向量基本 ■湖北省武汉市长 在立体几何解题中，建系法对几何 体中垂直条件有严格的依赖，而基底法 适用范围更广，可应对各类非正交空间 几何体，但向量选取抽象、表示易出错、 运算较繁杂是普遍现象。下面以高考 高频题型、典型易错题型为载体，阐述 基底解题“三部曲”，即“一个核心定理、 两种选基技巧、三项选用原则”，旨在梳 理基底选取逻辑，助力高效破解立体几 何难题。 一、一个核心定理：基底选取之根本 空间向量基本定理：如果三个向量 a、b、c不共面，那么对任意一个空间向 量p都能唯一表示为p=xa+yb十 c,其中{a,b,c}称为空间的一组基 底。该定理是基底法的理论基石，解题 核心是选取不共面、长度与夹角已知、 关联性强的三个向量作为基底，将所有 待求或待证向量统一用基底线性表示， 再借助数量积、模长公式解题。 二、两种选基技巧：突破基底选取 困境 1.共起点选基法：非正交几何体首选 对于平行六面体、斜棱柱、斜棱锥 等无垂直条件的规则几何体，可以优先 选取起点相同、长度与夹角已知的三条 棱向量作为基底。 例1如图1，已知平行六面体 ABCD-A1B1C1D1的各条棱长均为 22 基底巧解立几难 定理的解题“三部曲” 虹中学 谢飞平 2,且有∠A1AB =∠A1AD= ∠BAD=60°。 求证：AC1⊥平面 A1BD。 图1 分析：对于平 行六面体，优先选取起点相同的三条棱 向量为基底，记AB=a,AD=b,AAj =c。由向量的数量积运算求得AC,· A1B=0,AC·BD=0,则AC1⊥1 A,B,AC1⊥BD,再由线面垂直的判定 定理证明。 解：已知平行六面体ABCD A1B1C1D1的各条棱长均为2， ∠A1AB=∠A1AD=∠BAD=60°。 记AB=a,AD=b,AA1=c,所以|a =|b|=|c|=2,a·b=a·c=b·c= 2×2×c0s60°=2。 又因为AC=AB+BC+CC,= AB+AD+AA:=a+b+c,AB= AB-AA=a-c,BD=AD-AB= b-a,所以AC1·A1B=(a+b+c)· (a-c)=a2+a·b+a·c-a·c b·c-c2=4+2+2-2-2-4=0。 同理，AC·BD=0。 则AC1⊥A1B,AC1⊥BD。 又A1B∩BD=B,A,BC平面 A1BD,BDC平面A1BD,故AC1⊥平 面A1BD。 2.共点向量选基法：不规则几何体 适用 对于不规则的几何体，可以脱离几 何体形状限制，选取共点、不共面的三 个向量为基底。 例2如图2， 在四棱锥P-ABCD 中，底面ABCD是边 长为3的菱形，PC 图2 =4,∠ABC ∠BCP=∠DCP=120°。 (1)证明：AP⊥BD; (2)求AP的长。 分析：对于不规则四棱锥，可选取 共点、不共面的三条棱向量为基底，考 虑到题中所给条件，可记AB=a,AD =b,CP=c,以{a,b,c}为基底表示 BD和AP,再分别利用数量积公式和 模长公式求解。 解：(1)设AB=a,AD=b,CP= c,则BD=AD-AB=b-a,AP= AB+BC+CP=a+b+c。 所以BD·AP=(b-a)·(a+b +c)=a·b+b2-a2-a·b+b·c a·c=32-32+3X4Xcos60°-3× 4×cos60°=0，因此AP⊥BD。 (2)由(1)知AP=a十b+c。 所以AP2=(a+b+c)2=a2+b2 +c2+2a·b+2b·c+2a·c=32+32 +42+2×3×3Xcos60°+2×3×4× c0s60°+2×3×4Xc0s60°=67。 故AP的长为√67。 解题锦囊 三、三项选用原则：优化基底选取 路径 1.已知化原则：优先选取长度、夹 角明确的向量 例3在如图3 所示的平行六面体 ABCD-A BCD 中，∠A1AB 图3 ∠A1AD=45°， ∠BAD=60°，AB=1,AD=2,AA1= 22。 (1)求AC1的长度； (2)求二面角B-AA1D的大小； (3)求平行六面体ABCD- A1B1C1D1的体积。 分析：根据已知化原则，优先选取 长度、夹角明确的向量作为基底，结合 题设数据，可记AA1=a,AB=b,AD =c,以{a,b,c}为基底进行求解。 解：(1)设AA1=a,AB=b,AD=c, 则AC1=AA1+AB+AD=a+b+c。 由模长公式得|AC1丨= √Ja2+b2+2+2a·b+2b·c+2a·c =33。 (2)不妨设平面BAA1的法向量u =xa+yb+xc,则： u·a=(xa十yb+xc)·a=0, u·b=(xa+yb+c)·b=0。 8x+2y+4x=0, 故 2x+y+之=0。 令x=1,则y=0,z=一2。所以 可取u=a一2c。 23 解题锦囊 设平面AA1D的法向量为v,同理 可取v=a-4b。 设二面角B-AA,D的大小为0，则 u·v(a-2c)·(a-4b) cos 0=- u·|v|a-2c·a-4b =0,即0=90°。 二面角B-AA1D的大小为90°。 (3)设平面ABCD的法向量n= x1a十y1b十之1c,则： n·b=(x1a+y1b+之1c)·b=0, n·c=(x1a+y1b+z1c)·c=0。 2x1十y1十z1=0, 故 4x1+y1+4z1=0。 令z1=2,则x1=-3,y1=4。故n =-3a+4b+2c。 点A1到平面ABCD的距离h= 1a·n|a·(-3a+4b+2c)川_2,6 n |-3a+4b+2c 30 故V=Sh=1×2× 5×2 3 =22。 2.高关联原则：基底能直接关联所 有关键向量 例4如图 4,在三棱锥V ABC中，VA⊥ BC,VB⊥AC, 证明：VC⊥AB。 图4 分析：根据 高关联原则，优先选取与待证向量相关 的向量作为基底，结合题设条件，以 (BV,BA,BC}为基底进行证明。 解：选择BV,BA,BC为基底向 量。因为VA⊥BC,VB⊥AC,所以 24 VA·BC=(-BV+BA)·BC= -BV·BC+BA·BC=0,VB·AC =-BV.(-BA+BC)=BV.BA- BV.BC=0。 因此B·BC=BV·BC= BV.BA。 则BA·V元=BA·(BC-BV)= BA·BC-BV·BA=0,故VC⊥AB。 3.最简性原则：优先选取两两垂直 向量或单位向量 例5如图5，在四 棱锥P-ABCD中，PA⊥ 底面ABCD,底面ABCD 为梯形，AD∥BC,CD⊥ BC,AD=2,AB=BC= 3,PA=4,M为AD的中 图5 点，N为PC上的点，且 PC=3PN。求证：MN/平面PAB。 分析：根据最简性原则，优先选取 两两垂直向量作为基底，结合题设条 件，可选取{AP,AD,DC}为基底进行 证明。 解：（方法1）设B龙=号BC。 则MN=AN-AM=AP+PN -配=A+P心-专BC=A正 }c币-C)=A正-专丽=AP 号-A店)-号A币+号A店。 所以M、AP、AB三个向量共面。 而MN丈平面PAB,故MN∥平 面PAB。 解题锦囊 (方法2)记AP=a,AD=b,DC 令之=1，得x=0,y=4。可取n =c。 =4b十c。 则M不-AN-AM-AC+号A正 所以MN·n -(a-b+54b+e) 1 -号证号++号-号而 8 2 3a·b+ 、a·c- 3 6b. 1 3b·c+ 12 3c。 2+1 2 C 设平面PAB的法向量n=xa十 3 n·AB=0, 2 yb+c,则 ×4+3×8=0。 n·AP=0。 故MN⊥n,即MN∥平面PAB。 (a+b+c)·(e-2b=0, 利用基底法解决立体几何问题时， 故 应结合几何体结构特征、题设条件，综合 (xa+yb+zc)·a=0。 运用“一个核心定理、两种选基技巧、三 所以a·6-号a·6十b,c 项选用原则”精准选取合适基底，方可有 效避开复杂辅助线与烦琐坐标运算，实 2b2+c2- 2b·c=-2+8x=0, 现立体几何向量问题的高效破解。 xa2+ya·b+za·c=16x=0。 (责任编辑徐利杰) (上接第21页) S=4xR2-25π 灵魂，若线面平行，则方向向量与法向 2。 量垂直；若面面平行，则两平面法向量 规律与方法：通过上述解题方法 共线：若线面垂直，则方向向量与法向 可以看出，空间向量为解决立体几何 量共线；若面面垂直，则两平面法向量 问题提供了一种通法。它将几何逻辑 点积为0。当然，向量法并非万能，在 推理转化为代数计算，尤其适用于处 学习中应将传统几何法与空间向量法 理包含垂直关系的几何体。掌握好 相结合，既能培养空间想象能力，又能 “建系、设点、求向量、代公式”这一基 掌握高效的解题工具，这才是学习立 本流程，就能有效解决大部分空间几 体几何的最佳路径。 何问题。我们发现法向量是向量法的 (责任编辑徐利杰) 25