立足教材习题，探寻线面平行解题之道-《中学生数理化》高二数学2026年9月刊

教材引申 立足教材习题，探寻线面平行解题之道 ■河北南宫中学 霍忠林 线面平行是立体几何的主干知识， 解法1：如图2，取MD的中点E, 也是高考的高频考点，主要考查两大方 连接PE,QE。因为P是BM的中点， 向：线面平行的证明、已知线面平行确定 所以PE为△MBD的中位线，PE∥ 点的位置。然而，如何在目标平面内寻 BD。又PE在平面BCD,BDC平面 找已知直线的平行线？如何寻找过已 BCD,故PE∥平面BCD。因为M是 知直线且与目标平面平行的平面？又 AD的中点，AQ=3QC,所以AE ED =3 如何依托线面平行的性质，精准分析点 的位置关系？这些往往是同学们解题 QC,则QE∥CD,又QEt平面 A 的“痛点”。不少同学即便得出答案，也 多停留在“知其然”的浅层模仿，缺乏对 BCD,CDC平面BCD,故QE∥平面 解题逻辑与数学本质的深度理解。鉴 BCD。而PE∩QE=E,PEC平面 于此，下面精选人教A版普通高中教科 PQE,QEC平面PQE,所以平面 书数学中的两道典型习题，深入拆解这 PQE∥平面BCD。又PQC平面 两类题型，系统提炼解题方法，旨在帮助 PQE,所以PQ∥平面BCD。 同学们突破知识难点，化解解题痛点，真 正做到“既知其然，更知其所以然”。 例1(《数学必修第二册》第170 页第11题、《数学选择性必修第一册》 第42页第4题改编)如图1，在四面体 图2 A-BCD中，M是AD的中点，P是 点评：解法1通过构造经过直线 BM的中点，点Q在线段AC上，且 PQ且与平面BCD平行的辅助平面 AQ=3QC。求证：PQ∥平面BCD。 PQE,利用平面PQE∥平面BCD来证 明PQ∥平面BCD。通过面面平行来 证明线面平行的关键在于如何寻找过 已知直线且与已知平面平行的辅助平 面。如果一条直线与平面平行，那么经 图1 过该直线有且仅有一个平面与已知平 11 教材引申 面平行，因此满足条件的辅助平面是唯 故△CQH≌△IQM,则QH=QM,即 一的。解题时，可以借助分析法来寻找 Q是MH的中点。而P是BM的中 辅助平面。要证PQ∥平面BCD,则只 点，故PQ∥BH。因为PQ在平面 需要找两条直线与平面BCD平行且 BCD,BHC平面BCD,所以PQ∥平 与PQ相交，故优先考虑过P、Q作平 面BCD。 行于平面BCD的直线，而P是BM的 中点，故取MD的中点E,连接PE, QE,得到PE∥BD,QE∥CD,进而 PE∥平面BCD,QE∥平面BCD,所以 平面PQE就是要找的辅助平面。 解法2：如图3，连接AP并延长交 BD于点F,取FD的中点G,连接 图4 GM,CF。因为M是AD的中点，所以 点评：解法2和解法3均是先构造经 MG∥AF,即MG∥PF。又因为P是 过直线PQ且与平面BCD相交的辅助平 BM的中点，所以F是BG的中点，故 面，再证明PQ与两平面的交线平行，最 思} 后利用线面平行的判定定理完成证明。 PF=3。而 Q C 3 该策略的关键在于如何在目标平面内确 所以部-是成PQCF.因为 定已知直线的平行线。解题时，可以运用 《数学必修第二册》第127页的推论1“经 PQ在平面BCD,CFC平面BCD,所 过一条直线和这条直线外一点，有且只有 以PQ∥平面BCD。 一个平面”。直线PQ已确定，只需找直 线PQ外一点即可作出辅助平面，而辅助 平面要与平面BCD相交，故优先考虑平 面BCD内的点。若选，点C,则得到解法 2;若选点B,则得到解法3。这样便可在 平面BCD内锁定与直线PQ平行的直线 图3 CF或BH。 解法3：如图4，连接MQ并延长交 解法4：以BA,BC,BD为基底向 DC的延长线于点H,连接BH,取AC 的中点I,连接IM。因为M是AD的 量，则BM-(BA+BD)。而P是 中点，所以IMCD,即IM∥CH,所以 ∠QCH=∠QIM。因为AQ=3QC, BM的中点，所以B-Bi=(BA 所以IQ=QC。又∠CQH=∠IQM, +BD)。因为AQ=3QC,所以点Q为 12 教材引申 靠近点C的四等分点，故BQ=1B 所以PJ∥平面ACM。因为MJ A CC1,MJ∥CC1,所以四边形CC1JM +8BC,因此PG-BG-B驴-BA 为平行四边形，故C1J∥CM。而C1J 寸平面A1CM,CMC平面A1CM,所 +玩-}（威+助）-试 以C1J∥平面A,CM。又因为C1J∩ PJ=J,C1JC平面PJC1,PJC平面 BD,即PQ可以由平面5CD内的两 PJC1,所以平面PJC1∥平面A1CM。 个不共线的向量BC,BD线性表示，则 而PQC平面PJC1,所以PQ∥平面 PQ,BC,BD共面。又PQ平面 A1CM。因为N,J分别为B1C1, BCD,所以PQ∥平面BCD。 A1B1的中点，所以Q为△A1B1C1的 点评：解法4以BA,BC,BD为基 重心，即当Q为线段A,N上靠近N 底向量，通过基底向量法得到PQ,BC, 的三等分点时，满足题意。 BD共面，进而得出PQ∥平面BCD。 另外，题目未给出线段长度和垂直关系， 因此用坐标法求解较为烦琐。 例2(《数学选择性必修第一册》 第44页第16题)如图5，在直三棱柱 图6 ABC-A1B1C1中，∠BAC=90°，AB= AC=2,AA1=3。M是AB的中点，N 点评：解法1通过构造经过直线 是B,C1的中点，P是BC1与B1C的 PQ且与平面A,CM平行的辅助平面 交点。在线段A,N上是否存在点Q, PJC1,利用平面PJC1∥平面A1CM 使得PQ∥平面A,CM? 得到PQ∥平面A1CM,进而确定Q的 位置，这种处理方法与例1中的解法1 类似。 解法2：如图7，分别 延长B1B、AM,记B1B ∩A1M=K,连接CK。 图5 因为M是AB的中点， 解法1：如图6，取A1B1的中点 BM∥A1B1,所以BB1= J,连接PJ,C1J,MJ,则C1J∩A1N BK。延长NP交CK于 =Q。因为BC1∩B1C=P,所以PJ 点L,连接AL,则平面 是△A1B,C的中位线，PJ∥A,C。而 A,NL∩平面A,CM= 图7 PJ在平面A1CM,A1CC平面A1CM, A1L。又PQ∥平面 13 教材引申 A1CM,所以PQ∥A1L。因为PL∥ 法向量m=(x,y,之)，则 B1K,P是B1C的中点，所以PL为 m·A1C=2x-3x=0, 取x=3,则 △CB,K的中位线，即PL=2B,K= m·MC=2x-y=0。 m=(3,6,2)。若PQ∥平面A,CM,则 m页PN=名B,所以 m·PQ=0,即3（入-1）+6（入-1）+ 又PQA所以品-院-即 2X2-0解得入-号.故Q为线段 3 2 Q为线段A1N上靠近N的三等分点。 A,N上靠近V的三等分点。 点评：解法2的辅助平面构造思路 ,点评：解法3抓住AB,AC,AA 与例1中的解法2、解法3相同。要寻 两两垂直，通过建立空间直角坐标系来 找经过直线PQ的辅助平面，只需要找 处理，更侧重于计算。 直线PQ外一点即可，而辅助平面要与 综上所述，无论是“证明线面平行”， 平面A,CM相交，故优先考虑平面 还是“由线面平行确定点的位置”，采用综 A1CM内的点A1,从而得到平面 合法通常有两种策略：一是经过已知直线 A1PQ,即平面A1NL,这样便可在平 构造与已知平面平行的辅助平面（此时辅 面A,CM内找到与直线PQ平行的直 助平面是唯一的)，进而通过面面平行推 线A,L,再借助平行线分线段成比例 导线面平行来解决问题；二是经过已知直 得出点Q的位置。 线构造与已知平面相交的辅助平面（此时 解法3：由题意知 辅助平面不是唯一的)，再证明已知直线 AB,AC,AA1两两垂直， 与两平面的交线平行，进而通过线线平行 推导线面平行来解决问题。当然，处理线 分别以AC,AB,AA1为 面平行问题不仅限于综合法，空间向量法 x轴，y轴，之轴的正方 (坐标法与基底法)同样是重要工具。特 向，建立如图8所示的空 别是坐标法，因其程式化强，常被视为解 间直角坐标系。则A1(0, 图8 决空间垂直、平行及计算空间角的“利 0,3),C(2,0,0),M(0,1 器”，甚至成为许多教辅答案的标配。但 0,N1,13),P11,).从而A 这容易导致同学们陷入认知误区，片面认 为坐标法万能。比如例1，生硬建系往往 =(1,1,0),A1C=(2,0,-3),MC= 运算烦琐，而运用综合法或基底法却能直 (2,-1,0)。设A1Q=λA1V(0≤入≤ 击本质、速战速决。因此，在学习中，同学 1),则Q(入，入，3)，PQ 们要统筹兼顾综合法、坐标法与基底法， (a-1a-1》,设平面A,CM的 切忌顾此失彼。 (责任编辑赵 倩) 14