概念是源 一网打尽-《中学生数理化》高二数学2026年9月刊

夯基固本 概急是源 ■邯郸市复兴 空间向量与立体几何是高考的重 点、热点内容，空间向量的概念与基本定 理是空间向量与立体几何的基础，也是正 确进行空间向量的线性运算、数量积运算 的前提条件。不少同学注重于频繁刷题， 而忽视对基本概念与基本定理的理解，下 面就空间向量的概念与基本定理进行归 纳，以期对同学们的学习有所帮助。 一、空间向量的概念与基本定理 1.空间向量的有关概念 表1 名称 定义 空间向量 在空间中，具有大小和方向的量 相等向量 方向相同且模相等的向量 相反向量 方向相反且模相等的向量 共线向量 表示空间向量的有向线段所在 《或平行向量)的直线互相平行或重合的向量 共面向量 平行于同一个平面的向量 2.空间向量的有关定理 (1)共线向量定理：对空间任意两 个向量a,b(b≠0)，a∥b的充要条件 是存在唯一的实数入，使得a=b。 (2)共面向量定理：如果两个向量 a,b不共线，那么向量p与向量a,b共 面的充要条件是存在唯一的有序实数 对(x,y),使得p=xa+yb。 (3)空间向量基本定理：如果三个 向量a,b,c不共面，那么对空间任一 向量p,存在唯一的有序实数组{x,y, 一网打昼 口学 史洁 之}，使得p=xa+yb+zc,其中， {a,b,c}叫作空间的一个基底。 3.空间向量的坐标表示及其应用 设a=(a1,a2,a3）,b=(b1,b2,b3)。 表2 向量表示 坐标表示 数量积 a·b a1b1十a2b2十a3bg 共线 a=λb(b≠0，λ∈R) a=xba:=Ab:,as=Abs 垂直 a·b=0(a≠0，b≠0) a1b1十a2b2十a3b3=0 查 a,b √Jai+a+a,√Jb+b+ cos(a,b〉= 夹角 (a,b>(a≠0，b≠0) a1b1十azb2+a3bg √/a+a十a·Wb+b+b 4.空间位置关系的向量表示 表3 位置关系 向量表示 直线l1,l2的方 L/2 n1n2台n1=n2 向向量分别为 n1⊥n2台n1·n2 l1⊥l2 n1,n =0 直线！的方向向 l∥a n⊥m台n·m=0 量为n,平面a 的法向量为m l⊥a n∥m台n=入m 平面α，3的法向 a//3 n∥m台n=入m 量分别为n,m a⊥3 n⊥m台n·m=0 5.点到直线的距离 已知直线1的单位方向向量为， A是直线1上的定点，P是直线1外一 点。设向量AP在直线L上的投影向量 为AQ=a,则点P到 直线1的距离为 a- 图1 (如图1)。 6.点到平面的距离 已知平面a的法向量为n,A是平面a内 的任一点，P是平面α外一 点。过点P作平面α的垂 线l,交平面α于点Q,则点 P到平面a的距离PQ AP.n 图2 n (如图2)。 7.线面距离和面面距离 线面距离、面面距离均可转化为点 到平面的距离，然后进行求解。 (1)直线a与平面&之间的距离d _AB·n,其中A∈a,B∈an是平 n 面a的法向量。 (2)两个平行平面α，3之间的距离 d=. AB,n,其中A∈a,B∈B,n是 n 平面a的法向量。 二、概念方法辨析 1.忽视零向量 在进行空间向量相关概念判断时， 要注意零向量的特殊性，如零向量与任 意向量平行等。 2.注意直线间夹角与向量间夹角 的取值范围 两条异面直线所成角的取值范围 是 ,两个向量夹角的取值范围是 夯基固本 [0,π]，注意两者的区别与联系。 三、应用举例 例1已知a,b,c是空间中不共 面的向量，若AB=2a-b+c,AC= a+2b-c,AD=-a+mb+nc。 (1)若B,C,D三点共线，求m,n 的值； (2)若A,B,C,D四点共面，求 mn的最大值。 解析：(1)已知B,C,D三点共线， 则BD=ABC。 又BC=AC-AB=-a+3b- 2c,BD=AD-AB=-3a+(m+1)b +(n-1)c,故： -3=-λ， m=8, m十1=3λ，解得 n=-5。 n-1=-2λ。 (2)因为A,B,C,D四点共面，所 以AD=xAB+yAC。 则-a+mb+nc=x(2a一b十c) +y(a+2b-c)。 -1=2x+y, 故m=-x+2y, n=x一y。 易得3m+5n=-1。 故mn=m· w+-m+}+ 当m=一6时，mn取到最大值60 (责任编辑徐利太)