6.6 直线与圆的方程应用举例（练习）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】（原卷版+解析版）

高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】 第六章 直线与圆的方程 6.6 直线与圆的方程应用举例 一、选择题 1. 一条光线从点 P(4,5) 射出，经过 轴反射。若入射光线所在直线的斜率为 −2，则反射光线所在直线的斜率为（　　）。 A. −2 B. 2 C. D. 2. 用直线与圆的方程解决实际问题时，一般的流程是（　　）。 A. 先求出方程的解，再建立平面直角坐标系 B. 先建立平面直角坐标系并把实际对象抽象为点、直线和圆，再把实际要求翻译为方程问题，求出结果后把结论翻译回实际 C. 先画出示意图，只要结果符合题意就不必写出方程 D. 先确定单位长度，再直接写出实际结论 3. 某圆拱桥的跨度为 12 ，圆拱高为 3 。以圆拱两端点所在直线为 轴、圆拱所在弧的对称轴为 轴建立平面直角坐标系，则该圆拱所在圆的半径为（　　）。 A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 4. 某圆拱桥的跨度为 24 、圆拱高为 8 。若以圆拱两端点所在直线为 轴、圆拱所在弧的对称轴为 轴建立平面直角坐标系，则拱脚与拱顶的坐标分别是（　　）。 A. 拱脚 (−12,0) 和 (12,0)，拱顶 (0,8) B. 拱脚 (0,−12) 和 (0,12)，拱顶 (8,0) C. 拱脚 (−12,8) 和 (12,8)，拱顶 (0,0) D. 拱脚 (0,0) 和 (12,0)，拱顶 (0,8) 二、填空题 5. 一条光线从点 P(4,1) 射出，经过 轴反射后过点 Q(−2,3)，则点 Q 关于 轴的对称点 Q′ 的坐标为 ____。 6. 某船航线所在直线为 （单位：km），圆形暗礁区域为 （单位：km），则暗礁区域的圆心到航线所在直线的距离为 ____ km。 7. 某圆拱桥的跨度为 20 、拱高为 5 。以圆拱两端点所在直线为 轴、圆拱所在弧的对称轴为 轴建立平面直角坐标系，若桥下某支柱的高度为 2.5 ，则该支柱到圆拱对称轴的水平距离为 ____ 。 8. 某圆拱形隧道横截面所在圆的方程为 （单位：m）。一辆宽 8 m 的货车从隧道正中通过，则隧道在货车通过处的净高约为 ____ m（保留两位小数）。 一、选择题 9. 一条光线从点 P(2,5) 射出，经过 轴反射后到达点 Q(−2,3)，则光线从 P 到 Q 经过的路程为（　　）。 A. B. 8 C. D. 6 10. 某船航线所在直线为 （单位：km），圆形暗礁区域为 （单位：km）。若该船按原路线航行会有触礁危险，则 m 的取值范围是（　　）。 A. −25≤≤25 B. 或 <−25 C. − D. 或 =−25 11. 某圆拱形隧道横截面所在圆的方程为 （单位：m）。为保证安全，车顶离隧道顶部至少应有 0.5 m 的距离。现有甲、乙两辆货车从隧道正中通过，甲车宽 14 m、限高 8 m，乙车宽 30 m、限高 4.8 m，则（　　）。 A. 甲车可以通过，乙车不能通过 B. 甲车不能通过，乙车可以通过 C. 两车都能通过 D. 两车都不能通过 二、填空题 12. 在判断轮船是否受台风影响时，先算出圆心到航线所在直线的距离 d 与台风影响区域的半径 r。若得到 ，则轮船航线所在直线与影响区域所在圆的位置关系是 ____，轮船 ____ 受到台风影响（填“会”或“不会”）。 13. 一条光线经过 x 轴上的点 M 反射。若反射光线所在直线的方程为 ，则入射光线所在直线的方程为 ____。 14. 某圆拱形隧道横截面所在圆的方程为 （单位：m）。一辆货车从隧道正中通过，为保证安全，车顶离隧道顶部至少应有 0.5 m 的距离。若该货车的限高为 6.5 m，则货车宽度最大为 ____ m。 三、解答题 15. 某港口附近有一片圆形暗礁区域，其边界所在圆的方程为 （单位：km）。一艘轮船沿直线航行，航线经过点 A(−6,2) 和点 B(4,−3)（单位：km）。(1) 求轮船航线所在直线的方程；(2) 判断轮船按此航线航行是否有触礁危险，并说明理由。 学科网（北京）股份有限公司 $ 高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】 第六章 直线与圆的方程 6.6 直线与圆的方程应用举例 一、选择题 1. 一条光线从点 P(4,5) 射出，经过 轴反射。若入射光线所在直线的斜率为 −2，则反射光线所在直线的斜率为（　　）。 A. −2 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】入射光线与反射光线关于 轴对称。两条直线关于 轴对称时，它们的斜率互为相反数，所以反射光线所在直线的斜率为 2。故选 B。A 是入射光线的斜率，C、D 分别是 −2 与 − 的倒数形式，都不满足关于 轴对称的斜率关系。 2. 用直线与圆的方程解决实际问题时，一般的流程是（　　）。 A. 先求出方程的解，再建立平面直角坐标系 B. 先建立平面直角坐标系并把实际对象抽象为点、直线和圆，再把实际要求翻译为方程问题，求出结果后把结论翻译回实际 C. 先画出示意图，只要结果符合题意就不必写出方程 D. 先确定单位长度，再直接写出实际结论 【答案】B 【解析】解决这类实际问题的一般流程是：先建立平面直角坐标系，选择便于计算的原点、坐标轴方向和单位长度；再把实际对象抽象为点、直线和圆；然后把实际要求翻译为方程问题；最后求出结果，并把数学结论翻译回实际结论。故选 B。A 把求解放在建系之前，C 否认了列方程的必要，D 跳过了建系与求解，都不符合流程。 3. 某圆拱桥的跨度为 12 ，圆拱高为 3 。以圆拱两端点所在直线为 轴、圆拱所在弧的对称轴为 轴建立平面直角坐标系，则该圆拱所在圆的半径为（　　）。 A. 6 B. 7.5 C. 9 D. 12 【答案】B 【解析】拱脚坐标为 ，拱顶坐标为 。设圆心坐标为 ，由拱脚和拱顶到圆心的距离都等于半径，得 ，即 ，解得 ，半径 。故选 B。 4. 某圆拱桥的跨度为 24 、圆拱高为 8 。若以圆拱两端点所在直线为 轴、圆拱所在弧的对称轴为 轴建立平面直角坐标系，则拱脚与拱顶的坐标分别是（　　）。 A. 拱脚 (−12,0) 和 (12,0)，拱顶 (0,8) B. 拱脚 (0,−12) 和 (0,12)，拱顶 (8,0) C. 拱脚 (−12,8) 和 (12,8)，拱顶 (0,0) D. 拱脚 (0,0) 和 (12,0)，拱顶 (0,8) 【答案】A 【解析】以圆拱两端点所在直线为 轴时，两端点关于 轴对称，且到对称轴的距离都等于跨度的一半 12，所以拱脚坐标为 (−12,0) 和 (12,0)；拱顶在对称轴上，到 轴的距离等于拱高 8，所以拱顶坐标为 (0,8)。故选 A。 二、填空题 5. 一条光线从点 P(4,1) 射出，经过 轴反射后过点 Q(−2,3)，则点 Q 关于 轴的对称点 Q′ 的坐标为 ____。 【答案】(−2,−3) 【解析】点关于 轴对称时，横坐标不变、纵坐标互为相反数，所以 Q(−2,3) 关于 轴的对称点 Q′ 的坐标为 (−2,−3)。 6. 某船航线所在直线为 （单位：km），圆形暗礁区域为 （单位：km），则暗礁区域的圆心到航线所在直线的距离为 ____ km。 【答案】（约 4.24） 【解析】暗礁区域所在圆的圆心为 O(0,0)，半径 。圆心 O 到直线 x−y+6=0 的距离 ，约等于 4.24。 7. 某圆拱桥的跨度为 20 、拱高为 5 。以圆拱两端点所在直线为 轴、圆拱所在弧的对称轴为 轴建立平面直角坐标系，若桥下某支柱的高度为 2.5 ，则该支柱到圆拱对称轴的水平距离为 ____ 。 【答案】7.5 【解析】拱脚坐标为 ，拱顶坐标为 。设圆心坐标为 ，由 得 ，解得 ，半径 ，圆拱所在圆的方程为 。把支柱高度 代入，得 ，即 ，所以 ，即该支柱到圆拱对称轴的水平距离为 7.5 m。 8. 某圆拱形隧道横截面所在圆的方程为 （单位：m）。一辆宽 8 m 的货车从隧道正中通过，则隧道在货车通过处的净高约为 ____ m（保留两位小数）。 【答案】1.17 【解析】货车宽 8 m，取半宽 4 m 代入方程，得 ，即 。因为 y+8 取正值，所以 ，即 ，所以隧道在货车通过处的净高约为 1.17 m。 一、选择题 9. 一条光线从点 P(2,5) 射出，经过 轴反射后到达点 Q(−2,3)，则光线从 P 到 Q 经过的路程为（　　）。 A. B. 8 C. D. 6 【答案】A 【解析】光线从 P 射到 x 轴上的反射点后再射到 Q，路程等于点 P 到点 Q 关于 x 轴的对称点 Q′ 的距离。Q(−2,3) 关于 x 轴的对称点 Q′ 的坐标为 (−2,−3)，所以 。故选 A。B、C、D 都没有把反射路径转化为线段 PQ′ 的长。 10. 某船航线所在直线为 （单位：km），圆形暗礁区域为 （单位：km）。若该船按原路线航行会有触礁危险，则 m 的取值范围是（　　）。 A. −25≤≤25 B. 或 <−25 C. − D. 或 =−25 【答案】A 【解析】暗礁区域所在圆的圆心为 O(0,0)，半径 r=5。圆心 O 到航线 l 的距离 。有触礁危险说明直线与圆相交或相切，即 ，所以 ，解得 。故选 A。 11. 某圆拱形隧道横截面所在圆的方程为 （单位：m）。为保证安全，车顶离隧道顶部至少应有 0.5 m 的距离。现有甲、乙两辆货车从隧道正中通过，甲车宽 14 m、限高 8 m，乙车宽 30 m、限高 4.8 m，则（　　）。 A. 甲车可以通过，乙车不能通过 B. 甲车不能通过，乙车可以通过 C. 两车都能通过 D. 两车都不能通过 【答案】A 【解析】甲车宽 14 m，取半宽 7 m 代入方程，得 ，即 ，所以 ，甲车通过处的净高为 9 m，允许的限高不超过 m，甲车限高 8 m 可以通过。乙车宽 30 m，取半宽 15 m 代入方程，得 ，即 ，所以 ，乙车通过处的净高为 5 m，允许的限高不超过 m，乙车限高 4.8 m 超过 4.5 m，不能通过。故选 A。 二、填空题 12. 在判断轮船是否受台风影响时，先算出圆心到航线所在直线的距离 d 与台风影响区域的半径 r。若得到 ，则轮船航线所在直线与影响区域所在圆的位置关系是 ____，轮船 ____ 受到台风影响（填“会”或“不会”）。 【答案】相交；会 【解析】圆心到航线的距离小于半径时，直线与圆相交，轮船航线穿过台风影响区域，所以轮船会受到台风影响。 13. 一条光线经过 x 轴上的点 M 反射。若反射光线所在直线的方程为 ，则入射光线所在直线的方程为 ____。 【答案】 【解析】入射光线与反射光线关于 轴对称。把反射光线方程 −2 中的 换成 −，得 −−2，即 =−，所以入射光线所在直线的方程为 =−（也写成 −）。 14. 某圆拱形隧道横截面所在圆的方程为 （单位：m）。一辆货车从隧道正中通过，为保证安全，车顶离隧道顶部至少应有 0.5 m 的距离。若该货车的限高为 6.5 m，则货车宽度最大为 ____ m。 【答案】10 【解析】限高为 6.5 m，且车顶离隧道顶部至少 0.5 m，所以货车两侧上方隧道顶部的高度至少为 m。令 ，代入方程得 ，即 ，所以 ，说明净高不小于 7 m 的范围水平方向为 ±5 m，货车宽度最大为 m。 三、解答题 15. 某港口附近有一片圆形暗礁区域，其边界所在圆的方程为 （单位：km）。一艘轮船沿直线航行，航线经过点 A(−6,2) 和点 B(4,−3)（单位：km）。(1) 求轮船航线所在直线的方程；(2) 判断轮船按此航线航行是否有触礁危险，并说明理由。 【答案】(1) 航线所在直线的方程为 ；(2) 有触礁危险。因为暗礁区域的圆心为 O(0,0)、半径 r=5，圆心到航线的距离 km，小于半径 5 km，直线与圆相交，所以轮船按此航线航行有触礁危险。 【解析】(1) 航线经过点 A(−6,2) 和 B(4,−3)，所以直线的斜率 。由点斜式得 ，化为一般式得 。(2) 暗礁区域所在圆的圆心为 O(0,0)，半径 r=5。圆心 O 到航线所在直线的距离 ，约等于 0.89 km。因为 ，即 0.89<5，所以轮船航线所在直线与暗礁区域所在圆相交，轮船按此航线航行有触礁危险。 学科网（北京）股份有限公司 $