6.6 直线与圆的方程应用举例（教案）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】

高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】 第6章 直线与圆的方程 6.6 直线与圆的方程应用举例 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材在学生已经掌握直线的方程、圆的方程以及直线与圆的位置关系的基础上，从生活和生产实践中的实际问题出发，依次选取光的反射、轮船避台风和圆拱形桥梁三类情境，按照建立坐标系、把实际对象抽象为点、直线和圆、用方程求出结果、把结论翻译回实际的顺序展开，使方程的表示、求解与判定在具体情境中连贯运用。 本课是第6章最后一节新授课，承接直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系，把前面各节的表示方法与判定方法综合用于解决实际问题，也为后续用代数方法研究几何问题提供建模经验。 学情分析 学生已经掌握直线的方程、圆的方程和直线与圆的位置关系，具备用方程求解的基本技能，但把实际情境抽象为坐标系中的点、直线和圆的经验不足，容易在建立坐标系、选择单位长度以及检验结果的实际意义时出现困难，需要通过具体任务和对照板演逐步规范。 教学目标 1．理解把实际问题转化为直线与圆的方程问题的基本流程，掌握建立平面直角坐标系、把实际对象抽象为点、直线和圆以及用位置关系作出判定的方法。 2．能依据光的反射定律用对称点求出反射点的坐标，能通过计算圆心到直线的距离并与半径比较判断航行是否安全，能由跨度和拱高求出圆拱所在圆的方程并回代检验通行可行性。 3．经历建系、设点、列式、判定和解释的过程，提升数学抽象与数学运算素养，形成检验结果现实合理性的意识。 教学重难点 教学重点：把实际问题转化为直线与圆的方程问题，并用方程求出结果。 教学难点：选择合适的坐标系和单位长度，并把计算结果解释为实际结论。 教学方法 情境教学法、问题探究法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 教材导语指出，在生活和生产实践中，可以利用直线与圆的方程解决很多实际问题。请思考：要把一个实际问题转化为方程问题，一般需要先做哪一步？ 【答案】先建立平面直角坐标系，再把实际问题中的地点、路线和区域分别抽象为点、直线和圆。 【解析】只有在坐标系中，点的位置才能用坐标表示，路线才能用直线方程表示，圆形区域才能用圆的方程表示，实际问题才能转化为方程问题。 教师归纳：本课就按这条思路，解决光的反射、轮船避台风和圆拱形桥梁三类实际问题。 由教材导语提出转化问题，激活学生用方程表示几何对象的经验，形成认知需要并引出本课学习对象。 新知讲授 一、把实际问题转化为方程问题的基本流程 教材指出，在生活和生产实践中，可以利用直线与圆的方程解决很多实际问题。以轮船避台风为例，问题中涉及的地点、路线和影响区域，都可以在坐标系中用坐标、直线方程和圆的方程表示出来。 把实际问题转化为方程问题的一般流程是：先建立平面直角坐标系，选择便于计算的原点、坐标轴方向和单位长度；再把实际对象抽象为点、直线和圆；然后把实际要求翻译为方程问题；最后求出结果，并把数学结论翻译回实际结论。 即时练习：在轮船避台风的实际问题中，以台风中心为原点、轮船与台风中心连线所在直线为 轴、以 10 km 为单位长度，则实际距离 240 km 和 120 km 在坐标系中分别对应多少？ 【答案】分别对应 24 和 12。 【解析】以 10 km 为单位长度时，240 km 对应 24 个单位长度，120 km 对应 12 个单位长度，这样可以把已知数据化为便于计算的坐标。 即时练习：要把“轮船沿原航线航行是否受台风影响”转化为数学问题，需要研究什么？ 【答案】需要研究轮船航线所在直线与以台风中心为圆心、影响范围为半径的圆的位置关系：相交或相切会受到影响，相离不会受到影响。 【解析】把轮船航线抽象为直线，把台风影响范围抽象为圆，是否受影响就等价于判断这条直线与这个圆有没有公共点。 二、光的反射问题 教材情境与问题：从点 射出一条光线，经过 轴反射后过点 ，求反射点 的坐标。根据光的反射定律，反射光线与入射光线关于 轴对称，所以点 关于 轴的对称点 、反射点 和发光点 三点共线，反射点 就是直线 与 轴的交点。 例 从点 射出一条光线，经过 轴反射后过点 ，如图6−48所示，求反射点 的坐标. 【答案】反射点 的坐标为 。 【解析】点 关于 轴的对称点为 。直线 的斜率 ，即 ；由点斜式得 ，即 。令 ，得 ，所以反射点 的坐标为 。 即时练习：从点 射出一条光线，经过 轴反射后过点 ，求反射点的坐标。 【答案】反射点的坐标为 。 【解析】点 关于 轴的对称点为 。直线 的斜率为 ，即 ；由点斜式得 。令 ，得 。 即时练习：光线从点 射出，经过 轴反射后过点 ，求反射点所在的位置，并写出直线 的方程。 【答案】反射点为 ，直线 的方程为 。 【解析】点 关于 轴的对称点为 。直线 的斜率为 ，即 ；由点斜式得 。令 ，得 ，所以反射点为 。 三、航行安全：直线与圆位置关系的应用 判断轮船是否会受到台风影响，就是判断轮船航线所在直线与以台风中心为圆心、影响范围为半径的圆的位置关系：相交或相切会受到影响，相离则不会受到影响。 例 一艘轮船在沿直线返回港口的途中，接到台风预报，台风中心位于轮船正西240 km处，受影响的范围是半径为90 km的圆形区域.港口位于台风中心正北120 km处，如图6−49所示，如果这艘轮船仍沿原航线航行，是否会受到台风的影响？ 【答案】轮船可沿原航线航行，不会受到台风影响。 【解析】以台风中心为原点，轮船和台风中心对应位置的连线所在直线为 轴，以 10 km 为单位长度建立平面直角坐标系，设台风中心、轮船、港口对应位置分别为 、、，则轮船航线所在直线 的斜率 ，即 ；由斜截式得 ，即 。台风影响的区域是以 为圆心、 为半径的圆形区域。因为圆心 到直线 的距离 ，即 ，大于 ，所以 ，轮船航线所在直线与以台风中心为圆心、以 90 km 为半径的圆相离，轮船不会受到台风影响。 即时练习：判断直线 与圆 的位置关系。 【答案】直线与圆相交。 【解析】圆心 到直线 的距离 ，即 ，半径 。因为 ，所以直线与圆相交。 即时练习：某船航线所在直线为 （单位：km），圆形暗礁区域为 （单位：km），判断该船按原路线航行是否有触礁危险。 【答案】没有触礁危险。 【解析】圆心 到航线所在直线的距离 ，约等于 ，大于暗礁区域的半径 ，直线与圆相离，所以没有触礁危险。 四、圆拱问题：由条件求圆的方程 圆拱形桥梁、隧道和轮毂的边缘都可以看作圆的一部分。解决这类问题时，先按已知的跨度和拱高建立平面直角坐标系，用拱脚和拱顶的坐标表示圆上的点，再求出圆拱所在圆的方程，最后用方程解决支柱长度、能否通过和限高等问题。 例 我国的赵州桥是世界上现存年代最久远、跨度最大、保存最完整的单孔坦弧敞肩石拱桥，如图6−51所示，它的主孔跨度是37.02 ，圆拱高约7.23 ，以圆拱两端点所在直线为轴，圆拱所在弧的对称轴为轴建立平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程(保留到小数点后第2位). 【答案】圆拱所在圆的方程为 。 【解析】以圆拱两端点所在直线为 轴、圆拱所在弧的对称轴为 轴建立平面直角坐标系，则拱脚坐标为 和 ，拱顶坐标为 。设圆心坐标为 ，由圆心到拱脚和拱顶的距离都等于半径，得 ，解得 ，半径 ，即 。所以圆拱所在圆的方程为 。 即时练习：某圆拱桥的跨度为 8 m，圆拱高为 2 m，以圆拱两端点所在直线为 轴、圆拱所在弧的对称轴为 轴建立平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程。 【答案】。 【解析】拱脚坐标为 和 ，拱顶坐标为 。设圆心坐标为 ，由 得 ，解得 ，半径 ，即 。所以圆拱所在圆的方程为 。 即时练习：在平面直角坐标系中，圆拱形隧道横截面所在圆的方程为 （单位：m），求隧道的跨度和拱高。 【答案】跨度为 m，拱高为 m。 【解析】令 ，得 ，即 ，所以跨度为 m；令 ，得 ，取 ，所以拱高为 m。 五、结果的现实解释与合理性检验 求出方程或算出结果以后，还要把数学结论翻译回实际结论，并检验答案是否符合现实。判断能否通过时，要把船宽或货车宽的一半代入圆的方程，求出该处的净高，再与船高或限高要求比较；判断是否安全时，要把圆心到直线的距离与危险区域的半径比较。 即时练习：某圆拱形隧道横截面所在圆的方程为 （单位：m），一辆宽 6 m 的货车从隧道正中通过，隧道在货车通过处的净高是多少？ 【答案】净高为 m。 【解析】货车宽 6 m，取半宽 3 m 代入方程，得 ，即 。因为 取正值，所以 ，即 ，所以隧道在货车通过处的净高为 m。 即时练习：某船航线所在直线为 （单位：km），圆形暗礁区域为 （单位：km），该船按此航线航行是否有触礁危险？ 【答案】没有触礁危险。 【解析】圆心 到航线所在直线的距离 ，约等于 ，大于暗礁区域的半径 ，直线与圆相离，所以没有触礁危险。 知识检测：从点 射出一条光线，经过 轴反射后过点 ，求反射点的坐标，并说明求出的点为什么是反射点。 【答案】反射点的坐标为 。 【解析】点 关于 轴的对称点为 。直线 的斜率为 ，即 ；由点斜式得 。令 ，得 。因为对称点 、反射点和点 三点共线，所以直线 与 轴的交点 就是反射点。 按流程、反射、航行、圆拱、检验的顺序推进，用教材情境和例题示范转化过程，再用即时练习检查每一步的掌握情况。 课堂背诵 请合上教材，复述把实际问题转化为方程问题的基本流程。 【答案】先建立平面直角坐标系，选择便于计算的原点、坐标轴方向和单位长度；再把实际对象抽象为点、直线和圆；然后把实际要求翻译为方程问题；最后求出结果并把数学结论翻译回实际结论。 填空：判断直线与圆的位置关系，可以计算圆心到直线的距离 ，再与半径 比较：当 ____ 时相离，当 ____ 时相切，当 ____ 时相交。 【答案】；；。 填空：光的反射问题中，反射点可以看作点 关于 轴的对称点 与发光点 的连线与 ____ 的交点。 【答案】 轴。 填空：圆拱问题中，若以圆拱两端点所在直线为 轴、圆拱所在弧的对称轴为 轴建立坐标系，则圆心一定在 ____ 上。 【答案】 轴。 通过复述和填空检查学生对转化流程、位置关系判定和反射、圆拱关键结论的准确记忆与表述。 师生互动 同桌合作完成任务：某船航线所在直线为 （单位：km），海中圆形暗礁区域为 （单位：km）。（1）该船按原路线航行是否有触礁危险？（2）若航线改为 ，是否可以避免触礁？请分别说明理由。 【答案】（1）有触礁危险；（2）可以避免触礁。 【解析】（1）圆心 到航线 的距离 ，即 ，约等于 ，小于暗礁区域的半径 ，直线与圆相交，航线穿过暗礁区域，所以有触礁危险。（2）圆心 到航线 的距离 ，即 ，约等于 ，大于半径 ，直线与圆相离，所以可以避免触礁。 教师归纳：判断航行是否安全，关键是算出圆心到航线所在直线的距离，再与危险区域的半径比较，距离大于半径时安全。 用两问对比的暗礁任务组织同桌交流，让学生说明判断依据，在纠错中诊断位置关系判定的掌握情况。 课堂练习 1．选择题：从点 射出的光线经过 轴反射后过点 ，则反射点的横坐标为（　　）。 A．　B．　C．　D． 【答案】B。 【解析】点 关于 轴的对称点为 。直线 的斜率为 ，即 ；由点斜式得 。令 ，得 。 2．填空题：某船航线所在直线为 （单位：km），圆形暗礁区域为 （单位：km），则圆心到航线所在直线的距离为 ____ km，该船 ____ 触礁（填“会”或“不会”）。 【答案】，约等于 ；不会。 【解析】圆心 到直线 的距离 ，即 ，约等于 ，大于暗礁区域的半径 ，直线与圆相离，所以不会触礁。 3．解答题：某圆拱桥的跨度为 10 m，圆拱高为 2.5 m，以圆拱两端点所在直线为 轴、圆拱所在弧的对称轴为 轴建立平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程。 【答案】。 【解析】拱脚坐标为 和 ，拱顶坐标为 。设圆心坐标为 ，由 得 ，解得 ，半径 ，即 。所以圆拱所在圆的方程为 。 4．解答题：某圆拱桥水面跨度是 16 m，圆拱最上端距水面 4 m。以圆拱两端点所在直线为 轴、圆拱所在弧的对称轴为 轴建立平面直角坐标系，求圆拱所在圆的方程，并判断宽 8 m、水面以上高 3 m 的船能否从桥下通过。 【答案】圆拱所在圆的方程为 ；桥下净高约为 m，大于船高 m，所以船能从桥下通过。 【解析】拱脚坐标为 和 ，拱顶坐标为 。设圆心坐标为 ，由 得 ，解得 ，半径 ，即 ，所以圆拱所在圆的方程为 。船宽 8 m，取半宽 4 m 代入方程，得 ，即 ，取 ，得 ，即桥下净高约为 m。因为 ，所以船能从桥下通过。 5．填空题：从点 射出一条光线，经过 轴反射后过点 ，则反射点的坐标为 ____。 【答案】。 【解析】点 关于 轴的对称点为 。直线 的斜率为 ，即 ；由点斜式得 。令 ，得 。 用五道原创题覆盖反射、航行安全和圆拱三类情境，按选择、填空、解答分层排列，检查全课达标情况。 课堂小结 1．解决直线与圆的方程的实际问题，一般按建立坐标系、把实际对象抽象为点、直线和圆、把实际要求翻译为方程问题、求出结果、把结论翻译回实际的流程进行；建立坐标系时要选择便于计算的原点和单位长度。 2．光的反射问题中，反射点可以转化为点 关于 轴的对称点与发光点连线与 轴的交点，再用斜率公式和点斜式求出直线方程和交点坐标。 3．判断航行是否安全，就是判断航线所在直线与以危险区域中心为圆心、危险范围为半径的圆的位置关系，用圆心到直线的距离 与半径 比较： 时相离， 时相切， 时相交。 4．圆拱问题把圆拱看作圆的一部分，按跨度确定拱脚坐标、按拱高确定拱顶坐标，圆心在对称轴上，建立坐标系后由拱脚和拱顶到圆心的距离相等求出圆拱所在圆的方程。 5．求出方程后要把结果翻译回实际：判断能否通过时，要把船宽或货车宽的一半代入圆的方程求出该处净高，再与船高或限高要求比较，并检验结果是否符合实际。 用分点陈述按教学顺序整理建模流程、反射、位置关系判定、圆拱方程和结果检验，形成可迁移的知识结构。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 本课以三类实际问题为载体，学生参与建模的积极性较高，主要问题是建系时选择单位长度不够熟练，把计算结果翻译回实际结论时表述也不够完整。后续可增加不同单位长度的对照练习，让学生在比较中体会选择便于计算的坐标系的必要性；圆拱问题计算量较大，可适当减少重复运算，把时间用在结果解释和合理性检验上；课堂练习的梯度还可再细化，让基础薄弱的学生也能独立完成前两题。 学科网（北京）股份有限公司 $