6.5 直线与圆的位置关系（教案）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】

高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】 第6章 直线与圆的方程 6.5 直线与圆的位置关系 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材在6.4节建立圆的方程之后转入直线与圆的位置关系：先用日落情境（图）和平面几何结论给出相离、相切、相交三种位置关系，再借助图把公共点的个数转化为圆心到直线的距离与半径的大小关系，给出切线的名称，随后用例1落实两种判定方法、用例2落实由相切条件求参数。 本课是6.5节的首个课时，把直线与圆的方程放在同一个坐标系中综合运用，是圆的切线方程、弦长与应用等后续内容的共同起点；教学中应突出两种判定方法的对应关系与适用场景。 学情分析 学生已经掌握点到直线的距离公式，能由圆的标准方程直接读出圆心坐标与半径，也能把圆的一般方程配方化为标准方程，并经历过联立直线方程求交点的过程，具备把几何关系代数化的经验。但把公共点的个数与方程组解的个数对应起来还需要教师示范，圆的方程为一般式时容易忘记先配方再求距离，含参数判断位置关系时对分类讨论的边界和检验步骤容易交代不清。 教学目标 1．理解直线与圆相离、相切、相交三种位置关系的定义，知道相切时这条直线叫做圆的切线。 2．掌握用圆心到直线的距离与半径的大小关系判定位置关系、用联立方程组解的个数判定位置关系两种方法，能根据圆的方程形式选择合适的方法完成判断，能由相切条件求参数并作简单的分类讨论。 3．经历由图归纳判定结论、用两种方法解决同一问题的过程，提升直观想象、逻辑推理和数形结合的能力。 教学重难点 教学重点：直线与圆三种位置关系的定义与两种判定方法；把几何关系、圆心到直线的距离以及方程组解的个数对应起来。 教学难点：圆的方程为一般式时先配方再求距离；含参数时按距离与半径的大小关系或判别式符号分类讨论并检验。 教学方法 情境教学法、数形结合法、启发式讲解法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 教材情境：教材用“大漠孤烟直，长河落日圆”描绘日落时分的景象（图）。在日落过程中，太阳和海平面有三种位置关系。如果把太阳看作一个圆，海平面看作一条直线，这三种位置关系是否可以通过直线和圆的方程表示？ 教师归纳：本节课研究怎样用直线与圆的方程判断它们的位置关系，并给出两种判定方法。 由日落情境和平面几何结论唤醒已有经验，把太阳与海平面的位置关系抽象为直线与圆的位置关系，并提出能否用方程判定的问题。 新知讲授 一、直线与圆的三种位置关系 当直线与圆没有公共点时，直线与圆相离；当直线与圆有唯一公共点时，直线与圆相切；当直线与圆有两个公共点时，直线与圆相交。 三种位置关系是由公共点的个数刻画的，所以判定位置关系的关键就是判断直线与圆有没有公共点、有几个公共点。 二、用圆心到直线的距离与半径的大小关系判定位置关系 观察图6-41可知，直线与圆的位置关系可以由圆心到直线的距离与半径的大小关系来判断。 （1）直线与圆相离； （2）直线与圆相切； （3）直线与圆相交。 用距离判定时，先把圆的方程化为标准方程读出圆心坐标和半径，再用点到直线的距离公式求出圆心到直线的距离，最后比较与的大小：时相离，时相切，时相交。 三、相切与切线 当直线与圆相切时，称直线为圆的切线。 相切时直线与圆只有一个公共点，这个公共点就是切点，此时圆心到直线的距离等于半径。本课只明确切线的名称和位置关系，下一课时再研究怎样求切线的方程。 四、例1 用两种方法判断位置关系 例1 判断直线与圆:的位置关系。 【答案】直线与圆相离。 【解析】解法一：将圆的方程化为标准方程，则圆心坐标为，半径。因为圆心到直线的距离，即，所以直线与圆相离。 【解析】解法二：将直线与圆的方程联立，得方程组。由第一个方程得，代入第二个方程得，化简得。因为，所以方程组没有实数解，即直线与圆没有交点，所以直线与圆相离。 五、例2 由相切条件求参数 例2已知直线与圆相切，求常数的值。 【答案】或。 【解析】解法一：圆的圆心坐标为，半径，因此圆心到直线的距离，得，解得或。 【解析】解法二：将直线和圆的方程联立，得到方程组，。将第一个方程代入第二个方程，得。因为直线与圆相切，所以这个方程有两个相等的实数解，即，解得或。 六、方程组解的个数与位置关系 通过联立直线与圆的方程，得到方程组，根据方程组的解的情况，可以判断直线与圆的位置关系。 若方程组有两组不同的实数解，则直线与圆有两个公共点，直线与圆相交；若方程组有两组相同的实数解，则直线与圆仅有一个公共点，直线与圆相切；若方程组没有实数解，则直线与圆没有公共点，直线与圆相离。 两种方法都可以判断位置关系：已知圆的方程便于直接读出圆心和半径时，用圆心到直线的距离与半径比较更直接；直线与圆的方程都便于联立、并且需要求出交点时，用方程组解的个数更方便。 按位置关系的定义、距离判定、切线名称、例1两种判定方法、例2相切求参数、方程组解的个数六条线索推进，突出两种方法的对应与适用场景。 课堂背诵 背诵1：直线与圆的三种位置关系怎样由公共点的个数定义？当圆心到直线的距离与半径满足什么关系时，直线与圆分别相离、相切、相交？ 【答案】没有公共点时直线与圆相离，有唯一公共点时相切，有两个公共点时相交；时相离，时相切，时相交。 【解析】三种位置关系由公共点的个数刻画，而公共点的个数与圆心到直线的距离和半径的大小关系一致：距离大于半径时直线与圆没有公共点，等于半径时只有一个公共点，小于半径时有两个公共点。 背诵2：判断下列说法是否正确，并说明依据。（1）当直线与圆相切时，称直线为圆的切线。（2）若方程组有两组相同的实数解，则直线与圆有两个公共点。 【答案】（1）正确；（2）不正确。 【解析】（1）这是相切与切线名称的规定，相切时直线与圆有唯一公共点，这个公共点就是切点。（2）方程组有两组相同的实数解时，直线与圆只有一个公共点，此时直线与圆相切，而不是相交。 通过复述和判断检查学生对三种位置关系定义、三组等价结论、切线名称以及方程组解的个数的准确记忆。 师生互动 任务一：教材练习6.5第1题（1）。已知直线经过圆的圆心，则直线与圆的交点个数为（　　）。A．0　B．1　C．2　D．1或2 【答案】C。 【解析】直线经过圆心，圆心到直线的距离等于0，小于半径，所以直线与圆有两个公共点，交点个数为2。 任务二（教材练习6.5第3题与习题6.5第3题）。判断下列直线与圆的位置关系。（1）直线，圆；（2）直线，圆；（3）直线，圆。 【答案】（1）相切；（2）相交；（3）相交。 【解析】（1）圆的圆心为，半径；圆心到直线的距离，即，所以直线与圆相切。（2）把圆的方程配方得，圆心为，半径；圆心到直线的距离，即，因为，所以，直线与圆相交。（3）题中圆心为，半径，圆心到直线的距离，所以直线与圆相交。 借助教材原题的当堂处理，暴露配方求距离与含参数分类两类易错点，并比较两种判定方法的选择依据。 课堂练习 1．判断直线与圆的位置关系。 【答案】直线与圆相交，并且直线经过圆心。 【解析】圆的圆心为，半径；圆心到直线的距离，因为，即，所以直线与圆相交；又，说明圆心在直线上，直线经过圆心。 2．判断直线与圆的位置关系。 【答案】直线与圆相切。 【解析】把圆的方程配方得，圆心为，半径；圆心到直线的距离，即，所以直线与圆相切。 3．用方程组解的个数判断直线与圆的位置关系，并写出消元后的一元二次方程。 【答案】直线与圆相交；消元后得。 【解析】由得，代入得，化简得。因为，所以方程组有两组不同的实数解，直线与圆相交。 4．已知直线与圆相切，求的值。 【答案】。 【解析】圆心为，半径；直线化为，圆心到直线的距离。因为直线与圆相切，所以，即，得，解得。 5．已知直线与圆，当为何值时，直线与圆相交、相切、相离？ 【答案】当时相交；当时相切；当时相离。 【解析】把圆的方程配方得，圆心为，半径；圆心到直线的距离。当即时相交，此时；当时相切，此时；当时相离，此时。 按标准方程、一般方程、方程组法、相切求参数、含参数分类的梯度设置五道原创题，检查课堂达标情况。 课堂小结 1．直线与圆的三种位置关系由公共点的个数定义：没有公共点时相离，有唯一公共点时相切，有两个公共点时相交；相切时这条直线叫做圆的切线。 2．设圆心到直线的距离为、半径为，则时相离，时相切，时相交；判定时先把圆的方程化为标准方程读出圆心坐标和半径，再用点到直线的距离公式求出。 3．把直线与圆的方程联立，方程组有两组不同的实数解时直线与圆相交，有两组相同的实数解时相切，没有实数解时相离；消元后可用一元二次方程的判别式判断解的个数。 4．易错提醒：圆的方程是一般式时要先配方化为标准方程；比较与时要注意不等号的方向；含参数时要按与的大小关系或判别式的符号分类讨论，并检验所求参数是否满足相切的条件。 由教师按教学顺序分点总结本课的核心知识、判定方法和易错条件，形成便于迁移使用的结构化认识。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 后续优化应重点观察学生能否在圆的方程是一般式时自觉先配方，再读出圆心坐标与半径。课堂上可压缩教师的重复演算，把时间用于对比距离法与方程组法在同一个题上的书写差异，并要求学生用完整语句说明选择方法的依据；对含参数的判断，应增加“先写出距离与半径或判别式的表达式，再按符号分类”的口述示范，避免只报答案而不交代分类边界与检验过程。 学科网（北京）股份有限公司 $