6.5 直线截圆的弦长（练习）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】（原卷版+解析版）

高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】 第六章 直线与圆的方程 6.5 直线截圆的弦长 一、选择题 1. 对半径确定的圆，下列说法正确的是（　　）。 A. 弦心距越大，弦长越长 B. 弦心距越大，弦长越短 C. 弦长与弦心距的大小无关 D. 弦心距为 0 时，弦长最短 2. 已知圆的半径为 5，圆内一条弦的长为 8，则圆心到这条弦所在直线的距离为（　　）。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 3. 直线 l 截圆所得弦的长等于圆的直径，则（　　）。 A. 直线 l 与圆相离 B. 直线 l 与圆相切 C. 直线 l 经过圆心 D. 直线 l 与圆相交，但不经过圆心 4. 设圆心为 ，弦 的中点为 ，则在直角三角形 中，斜边是（　　）。 A. （弦心距） B. （半弦） C. （半径） D. （弦） 二、填空题 5. 已知圆心到一条弦所在直线的距离为 3，这条弦的长为 8，则该圆的半径为______。 6. 同一圆内有两条弦，它们所在直线到圆心的距离分别为 2 和 5，则较长的弦对应的弦心距为______。 7. 若圆的半径为 ，则圆内一条弦的长 的最大值是______（用 表示）。 8. 已知圆的半径为 4，圆内一条弦的长也为 4，则圆心到这条弦所在直线的距离为______。 一、选择题 9. 直线 截圆 所得弦的长最大时，实数 的值为（　　）。 A. −2 B. 0 C. 1 D. 2 10. 点 在圆 内，过点 的所有弦中，最短弦的长为（　　）。 A. 6 B. 8 C. D. 10 11. 直线 （）截圆 所得弦的长为 ，则 的值为（　　）。 A. 1 B. C. D. 2 二、填空题 12. 已知圆 的一条弦的中点为 ，则该弦的长为______。 13. 已知圆 被直线 截得的弦长为 8，则圆心到直线 的距离为______。 14. 同一圆内两条弦的长分别为 8 和 6，若圆的半径为 5，则这两条弦的弦心距之和为______。 三、解答题 15. 已知圆 的圆心在 轴上，半径为 5，且圆 被 轴截得的弦长为 8。求圆 的标准方程，并写出圆心到 轴的距离。 学科网（北京）股份有限公司 $ 高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】 第六章 直线与圆的方程 6.5 直线截圆的弦长 一、选择题 1. 对半径确定的圆，下列说法正确的是（　　）。 A. 弦心距越大，弦长越长 B. 弦心距越大，弦长越短 C. 弦长与弦心距的大小无关 D. 弦心距为 0 时，弦长最短 【答案】B 【解析】圆确定时半径 不变。由弦长公式 可知，弦心距 越大， 越小，弦长就越短；当弦心距为 0 时直线经过圆心，截得的弦是直径，此时弦最长。所以 A、C、D 都不正确。 2. 已知圆的半径为 5，圆内一条弦的长为 8，则圆心到这条弦所在直线的距离为（　　）。 A. 2 B. 3 C. 4 D. 【答案】B 【解析】设圆心到这条弦所在直线的距离为 。由弦长公式得 ，两边同时除以 2 得 ，两边平方得 ，所以 。因为 ，所以 ，选 B。 3. 直线 l 截圆所得弦的长等于圆的直径，则（　　）。 A. 直线 l 与圆相离 B. 直线 l 与圆相切 C. 直线 l 经过圆心 D. 直线 l 与圆相交，但不经过圆心 【答案】C 【解析】弦长等于直径，说明这条弦的弦心距为 0，即圆心到直线 的距离为 0，所以直线 经过圆心，选 C。若直线与圆相切则没有弦；若相交但不经过圆心，弦心距大于 0，截得的弦一定短于直径。 4. 设圆心为 ，弦 的中点为 ，则在直角三角形 中，斜边是（　　）。 A. （弦心距） B. （半弦） C. （半径） D. （弦） 【答案】C 【解析】圆心 与弦 的中点 的连线垂直于弦，所以直角在点 处， 是直角所对的边，也就是斜边。 是圆的半径， 是弦心距， 是半弦，后两条是直角边，选 C。 二、填空题 5. 已知圆心到一条弦所在直线的距离为 3，这条弦的长为 8，则该圆的半径为______。 【答案】5 【解析】设圆的半径为 ，半弦长为 。在半径、弦心距与半弦组成的直角三角形中，由勾股定理得 ，所以 。 6. 同一圆内有两条弦，它们所在直线到圆心的距离分别为 2 和 5，则较长的弦对应的弦心距为______。 【答案】2 【解析】同一个圆的半径不变，由弦长公式 可知弦心距越小弦越长。两条弦的弦心距分别为 2 和 5，其中 2 较小，所以弦心距为 2 的那条弦较长。 7. 若圆的半径为 ，则圆内一条弦的长 的最大值是______（用 表示）。 【答案】 【解析】弦心距 满足 。当 时直线经过圆心，截得的弦是直径，此时弦最长，所以弦长的最大值为 。 8. 已知圆的半径为 4，圆内一条弦的长也为 4，则圆心到这条弦所在直线的距离为______。 【答案】 【解析】设弦心距为 。由弦长公式得 ，两边同时除以 2 得 ，两边平方得 ，所以 。因为 ，所以 。 一、选择题 9. 直线 截圆 所得弦的长最大时，实数 的值为（　　）。 A. −2 B. 0 C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】弦长最大时这条弦就是直径，此时直线经过圆心。由圆的方程 得圆心为 。把圆心坐标代入直线方程得 ，解得 ，选 B。 10. 点 在圆 内，过点 的所有弦中，最短弦的长为（　　）。 A. 6 B. 8 C. D. 10 【答案】B 【解析】过圆内一点 的弦中，与 垂直的弦最短。圆心为 ，半径 ，最短弦的弦心距 ，所以最短弦长为 ，选 B。选项 D 的 10 是过点 的最长弦（直径）的长。 11. 直线 （）截圆 所得弦的长为 ，则 的值为（　　）。 A. 1 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】圆心为 ，半径 ，圆心到直线的距离 。由弦长公式得 ，两边平方得 ，所以 。于是 ，解得 。因为 ，所以 ，选 A。 二、填空题 12. 已知圆 的一条弦的中点为 ，则该弦的长为______。 【答案】 【解析】圆心为 ，半径 。圆心与弦中点的连线垂直于弦，所以这条弦的弦心距 。由弦长公式得弦长为 。 13. 已知圆 被直线 截得的弦长为 8，则圆心到直线 的距离为______。 【答案】3 【解析】把圆的方程配方得 ，所以圆心为 ，半径 。由弦长公式得 ，化简得 。因为 ，所以圆心到直线 的距离为 3。 14. 同一圆内两条弦的长分别为 8 和 6，若圆的半径为 5，则这两条弦的弦心距之和为______。 【答案】7 【解析】设两条弦的弦心距分别为 和 。由弦长公式得 ，，分别化简得 ，。因为弦心距为正，所以 ，，它们的和为 7。 三、解答题 15. 已知圆 的圆心在 轴上，半径为 5，且圆 被 轴截得的弦长为 8。求圆 的标准方程，并写出圆心到 轴的距离。 【答案】圆心到 轴的距离为 3；圆 的标准方程为 或 。 【解析】圆心在 轴上，设圆心为 ，则圆心到 轴的距离 。 轴所在直线为 ，由弦长公式得 ，化简得 ，两边平方得 ，所以 或 。两种情形下圆心到 轴的距离都是 3，对应的标准方程为 与 。 学科网（北京）股份有限公司 $