6.5 直线截圆的弦长（课件）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】

高教版第三版《数学》 基础模块（下册） 第六章 直线与圆的方程 6.5 直线截圆的弦长 学习目标 1．理解直线与圆相交所得弦的几何特征，知道圆心到弦的垂线段垂直于弦且平分弦，理解弦长公式的由来，知道公式在直线与圆相交时使用。 2．能由圆的标准方程读出圆心与半径，能用点到直线的距离公式求出弦心距，能运用弦长公式求弦长，也能通过联立方程组求出交点坐标后用两点间距离公式求弦长，并能用另一种方法检验结果。 3．经历由垂径关系构造直角三角形以及由几何关系与坐标运算两条路径求弦长的过程，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养，形成先判断几何关系再选择方法的意识。 教学导入：直线截圆所得弦的提出 教材探究与发现：在平面直角坐标系中，如果直线l与圆C相交，那么，如何求两个交点之间的距离呢？ 教师归纳：本节课就沿着“直线与圆相交得到弦，再用半径与弦心距求弦长”这条线索展开研究。 教学导入：直线截圆所得弦的提出 旧知检测：我们已经会判断直线与圆的位置关系。当直线与圆相交于两点时，两个交点之间的线段是什么？要求它的长度，需要知道哪些量？ 【答案】两个交点之间的线段是圆的一条弦；求弦长需要知道圆的半径，以及圆心到弦所在直线的距离。 【解析】直线与圆相交时有两个公共点，把这两个公共点连成线段就得到一条弦。圆心到弦的垂线段把弦平分，与半径组成直角三角形，所以只要知道半径和圆心到弦所在直线的距离，就能求出弦长。 一、直线与圆相交所得的弦 当直线l:Ax+By+C=0与圆(x−+(y−b=相交于P和Q两点时，线段PQ为圆的一条弦，如图6-44所示。 直线截圆所得的弦，其两个端点就是直线与圆的公共点；求弦PQ的长度，就是求这两个公共点之间的距离。如果先把交点坐标解出来，再算两点间的距离，运算量往往较大，因此需要先观察图形中的几何关系。 二、圆心到弦的垂线段与弦长公式 如图6-45所示，因为圆心C与弦PQ的中点R的连线垂直且平分弦PQ，故=2=2 弦长公式的推导与结论 记圆心到弦所在直线的距离为d，它就是弦心距CR的长度；再记圆的半径为，半弦为。在直角三角形CPR中，由勾股定理得=，把两边同乘2就得到弦长=2=2。 当直线与圆相交时，弦长=2=2，其中为圆的半径，d为圆心到弦所在直线的距离，且d<。 学以致用：求弦PQ的长度 学以致用：已知直线x+y+1=0与圆(x−1+(y+2=16相交于P和Q两点，求弦PQ的长度。 【答案】=8。 【解析】由圆的方程(x−1+(y+2=16得圆心坐标为(1,−2)，半径r=4。圆心到直线的距离d=(1−2+1)=0，说明直线经过圆心，这条弦就是圆的直径，所以=2r=8。 三、教材例6 例6 已知直线x+y=2与圆(x−1+(y+2=9相交于点P和点Q，求弦PQ的长度。 解法一（几何法） 【答案】=3。 【解析】由圆的方程(x−1+(y+2=9可知圆心坐标为C(1,−2)，半径r=3。把直线方程化为一般式x+y−2=0，用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离：d=(1×1+1×(−2)−2)==。再由弦长公式得=2=2=3。 例6 解法二（坐标法）与方法比较 解法二（坐标法）【答案】=3，与解法一的结果一致。 【解析】把直线与圆的方程联立成方程组，解得两个交点为P(4,−2)和Q(1,1)。由两点间距离公式得==3，所以弦PQ的长度为3。 两种方法比较：几何法先求弦心距d，再用弦长公式计算，运算量小、几何关系直观；坐标法先联立方程组解出交点坐标，再用两点间距离公式计算，思路直接，但解方程组运算较多，适合需要交点坐标的情形。两种方法的结果必须一致，因此可以用另一种方法检验所求弦长是否正确。 提升练习：求弦AB的长度 提升练习：直线3x−y−6=0与圆+−2x−4y=0相交于A和B两点，求弦AB的长度。 【答案】=。 【解析】把圆的方程+−2x−4y=0化为标准方程(−1+(−2=5，得圆心坐标为(1,2)，半径r=。圆心到直线的距离d=(3−2−6)=，再由弦长公式得=2=。 学以致用：禁区线与罚球弧相交的线段 学以致用：某足球场如图6−47所示，请查阅相关资料，计算一个标准足球场的禁区线与罚球弧相交的线段长度。 【答案】先查出标准足球场罚球弧的半径与禁区线的位置，再把禁区线看作直线、罚球弧看作圆的一段，所求线段就是这条直线截圆所得的弦，用弦长公式计算即可；由于场地规格存在差异，计算结果应与所查资料中的数据一致。 学以致用：禁区线与罚球弧相交的线段 学以致用：某足球场如图6−47所示，请查阅相关资料，计算一个标准足球场的禁区线与罚球弧相交的线段长度。 【解析】把实际问题转化为弦长问题的关键，是确定圆心（罚球弧所在圆的圆心）、半径和截圆的直线（禁区线）三个要素；求出圆心到禁区线的距离后代入弦长公式，就得到禁区线与罚球弧相交线段的长度。 课堂背诵1：垂线段与弦心距 背诵1：圆心到弦的垂线段有什么性质？什么叫弦心距？ 【答案】圆心到弦的垂线段垂直于弦且平分弦；这条垂线段的长度就是弦心距。 【解析】圆心与弦的中点的连线垂直于弦，这条垂线段把弦分成相等的两段，它与半径、半弦组成直角三角形，所以它的长度就是圆心到弦所在直线的距离。 课堂背诵2：弦长公式与适用条件 背诵2：填空并回答。设圆的半径为r，圆心到弦所在直线的距离为d，则弦长等于______；这个公式在什么条件下使用？ 【答案】=2；公式在直线与圆相交，即d<r时使用。 【解析】半弦、弦心距d与半径r组成直角三角形，由勾股定理得=，把半弦乘2就得到弦长；当d=r时直线与圆相切，没有弦，所以公式要在d<r时使用。 课堂背诵3：方法选择判断 背诵3：判断并说明理由。（1）求弦长时，先求圆心到弦所在直线的距离，再用弦长公式，一般比先解出交点坐标再算距离更简便。（2）如果题目需要交点坐标，应当改用联立方程组的方法。 【答案】（1）正确；（2）正确。 【解析】（1）弦心距只需一次点到直线的距离计算，再用弦长公式一步得到结果，避免了求解方程组的运算。（2）弦长公式只给出长度，得不到交点坐标，所以需要交点坐标时必须联立方程组求解。 师生互动一：同桌互检求弦长 任务一：同桌互检。已知圆(x−2+(y+1=25，直线3x+4y+13=0，求直线截圆所得弦的长度。 【答案】弦长为8。 【解析】由圆的方程得圆心坐标为(2,−1)，半径r=5。圆心到直线的距离d=(3×2+4×(−1)+13)==3，所以弦长为2×=8。 师生互动二：方法选择讨论（任务） 任务二：方法选择讨论。下列两种情况各选哪种方法更合适？请说明理由。（1）已知圆与直线的方程，只要求出弦长；（2）需要求出两个交点的坐标，再计算弦长。 【答案】（1）用几何法，先求圆心到直线的距离，再用弦长公式；（2）用坐标法，联立方程组解出交点坐标，再用两点间距离公式。 【解析】（1）只求弦长时，弦心距可以通过一次点到直线的距离计算得到，比解方程组省时，也不容易出错。（2）弦长公式只给出长度，题目要交点坐标时必须联立直线与圆的方程，求出方程组的解，再用两点间距离公式计算。 课堂练习 1．（1）圆+=25被直线y=3截得的弦长为（　　）。 A．4　B．6　C．8　D．10 【答案】（1）C。 【解析】（1）圆心为(0,0)，半径r=5，弦心距d=3，弦长为2=8。 （2）直线x+y−1=0与圆+=1相交所得弦的长为（　　）。 A．1　B．　C．2　D．2 【答案】（2）B； 【解析】（2）弦心距d=，弦长为2=。 课堂练习 （3）圆(x−1+(y+2=9被直线x=3截得的弦长为（　　）。 A．2　B．　C．4　D．6 【答案】（3）A。 【解析】（3）弦心距d=2，弦长为2=2。 课堂练习 1．选择题。（1）圆+=25被直线y=3截得的弦长为（　　）。 A．4　B．6　C．8　D．10 （2）直线x+y−1=0与圆+=1相交所得弦的长为（　　）。 A．1　B．　C．2　D．2 （3）圆(x−1+(y+2=9被直线x=3截得的弦长为（　　）。 A．2　B．　C．4　D．6 【答案】（1）C；（2）B；（3）A。 【解析】（1）圆心为(0,0)，半径r=5，弦心距d=3，弦长为2=8。（2）弦心距d=，弦长为2=。（3）弦心距d=2，弦长为2=2。 课堂练习 2．填空题。（1）圆+=8被直线x+y=0截得的弦长为______。（2）直线3x−4y+2=0被圆+=1截得的弦长为______。 【答案】（1）4；（2）。 【解析】（1）直线x+y=0经过圆心，弦心距d=0，弦是直径，弦长为2r=2，即4。（2）弦心距d=，弦长为2=。 课堂练习 3．判断并说明理由：圆+=1被直线y=x截得的弦长大于2。 【答案】错误。 【解析】圆心为(0,0)，半径r=1，圆心到直线y=x的距离d=0，直线经过圆心，截得的弦是直径，弦长2r=2，并不大于2。判断弦长的取值范围时，应先求出弦心距，再代入弦长公式计算。 课堂练习 4．解答题。已知直线3x+4y+4=0与圆(x−1+(y−2=25相交于A、B两点。（1）求弦AB的长度；（2）用坐标法检验（1）的结果。 【答案】（1）弦AB的长度为8；（2）交点为A(−4,2)、B(,−)，由两点间距离公式得=8，与（1）的结果一致。 【解析】（1）圆心为(1,2)，半径r=5，弦心距d===3，所以弦长为2=8。（2）联立直线与圆的方程解得交点A(−4,2)、B(,−)，则===8。 课堂练习 5．能力提升。已知直线y=x+m与圆+=8相交于A、B两点，且=4，求实数m的值。 【答案】m=2或m=−2。 【解析】圆心为(0,0)，半径r=2，弦心距d=。由弦长公式得4=2，两边平方化简得=8，所以m=±2。代入检验可知两条直线都与圆相交，均符合题意。 课堂练习 6．学以致用。一段圆形管道的横截面是半径为10 cm的圆，管道内水面宽度为16 cm，求水面到圆心所在水平线的距离。 【答案】6 cm。 【解析】水面线截圆所得弦长为16 cm，半径为10 cm，水面到圆心所在水平线的距离就是弦心距，由d=得d==6（cm）。 课堂小结（1—3） 1．当直线与圆相交于两点时，两个公共点之间的线段是圆的一条弦，求弦长就是求这两个公共点之间的距离。 2．圆心到弦的垂线段垂直于弦且平分弦，这条垂线段的长度就是弦心距，它等于圆心到弦所在直线的距离，与半径、半弦组成直角三角形。 3．设圆的半径为r、弦心距为d，则弦长=2，公式在直线与圆相交即d<r时使用。 课堂小结（4—5） 4．几何法先求弦心距再用弦长公式，运算量小、几何关系直观；坐标法联立方程组求出交点坐标后再用两点间距离公式，适合需要交点坐标的情形；两种方法的结果应当一致，可以用来检验所求弦长。 5．求弦心距时要把直线方程化为一般式后再代入点到直线的距离公式，半径是标准方程等号右端开算术平方根的结果；当算得弦心距为0时，直线经过圆心，截得的弦就是直径。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $