6.5 直线截圆的弦长（教案）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】

高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】 第6章 直线与圆的方程 6.5 直线截圆的弦长 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材在完成直线方程、圆的方程以及点与直线、点与圆位置关系之后，把直线与圆的位置关系安排为本章的综合内容：先由圆心到直线的距离与半径的大小关系判定相离、相切和相交，再研究相切时的切线，最后研究相交所得的弦。相交弦问题借助圆心到弦的垂线段、半径与半弦组成的直角三角形解决，使圆的几何性质与点到直线的距离公式、方程组联立两种工具在同一问题中配合使用 本课承接直线与圆相交的判定和点到直线的距离公式，把相交所得的弦作为研究对象；所形成的方法既直接服务于圆拱、隧道、管道等实际情境中的计算，也为后续用直线与圆的方程解决实际问题提供工具。 学情分析 学生已经会由圆的标准方程读出圆心与半径，会用点到直线的距离公式，也掌握了两点间距离公式，并刚学过直线与圆的位置关系判定，具备把几何条件代数化的经验。但学生容易把弦心距与圆心到直线的距离看成两个不同的量，求弦心距时容易忘记先把直线方程化为一般式；用坐标法求弦长时解方程组运算量大，结果检验意识薄弱。课堂通过教材图、图的图形观察、教材例6两种解法的对照、方法选择讨论和分层练习，帮助学生形成先识别直角三角形关系、再选择方法、最后检验结果的习惯。 教学目标 1．理解直线与圆相交所得弦的几何特征，知道圆心到弦的垂线段垂直于弦且平分弦，理解弦长公式的由来，知道公式在直线与圆相交时使用。 2．能由圆的标准方程读出圆心与半径，能用点到直线的距离公式求出弦心距，能运用弦长公式求弦长，也能通过联立方程组求出交点坐标后用两点间距离公式求弦长，并能用另一种方法检验结果。 3．经历由垂径关系构造直角三角形以及由几何关系与坐标运算两条路径求弦长的过程，提升直观想象、逻辑推理和数学运算素养，形成先判断几何关系再选择方法的意识。 教学重难点 教学重点：圆心到弦的垂线段垂直且平分弦这一几何关系与弦长公式；用几何法和坐标法求直线截圆所得弦长。 教学难点：识别弦心距就是圆心到弦所在直线的距离并构造直角三角形；根据题目条件选择合适的方法并检验结果。 教学方法 问题探究法、数形结合法、对比归纳法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 教材探究与发现：在平面直角坐标系中，如果直线与圆相交，那么，如何求两个交点之间的距离呢？ 旧知检测：我们已经会判断直线与圆的位置关系。当直线与圆相交于两点时，两个交点之间的线段是什么？要求它的长度，需要知道哪些量？ 【答案】两个交点之间的线段是圆的一条弦；求弦长需要知道圆的半径，以及圆心到弦所在直线的距离。 【解析】直线与圆相交时有两个公共点，把这两个公共点连成线段就得到一条弦。圆心到弦的垂线段把弦平分，与半径组成直角三角形，所以只要知道半径和圆心到弦所在直线的距离，就能求出弦长。 教师归纳：本节课就沿着“直线与圆相交得到弦，再用半径与弦心距求弦长”这条线索展开研究。 用教材探究与发现提出的弦长问题激活相交的判定经验，把直线与圆的交点转化为弦，明确本课要解决的任务。 新知讲授 一、直线与圆相交所得的弦 当直线与圆相交于和两点时，线段为圆的一条弦，如图6-44所示。 直线截圆所得的弦，其两个端点就是直线与圆的公共点；求弦的长度，就是求这两个公共点之间的距离。如果先把交点坐标解出来，再算两点间的距离，运算量往往较大，因此需要先观察图形中的几何关系。 二、圆心到弦的垂线段与弦长公式 如图6-45所示，因为圆心与弦的中点的连线垂直且平分弦，故。 记圆心到弦所在直线的距离为，它就是弦心距的长度；再记圆的半径为，半弦为。在直角三角形中，由勾股定理得，把两边同乘2就得到弦长。 当直线与圆相交时，弦长，其中为圆的半径，为圆心到弦所在直线的距离，且。 学以致用：已知直线与圆相交于和两点，求弦的长度。 【答案】。 【解析】由圆的方程得圆心坐标为，半径。圆心到直线的距离，说明直线经过圆心，这条弦就是圆的直径，所以。 三、教材例6与两种解法 例6 已知直线与圆相交于点和点，求弦的长度。 解法一（几何法）【答案】。 【解析】由圆的方程可知圆心坐标为，半径。把直线方程化为一般式，用点到直线的距离公式求圆心到直线的距离：。再由弦长公式得。 解法二（坐标法）【答案】，与解法一的结果一致。 【解析】把直线与圆的方程联立成方程组，解得两个交点为和。由两点间距离公式得，所以弦的长度为。 两种方法比较：几何法先求弦心距，再用弦长公式计算，运算量小、几何关系直观；坐标法先联立方程组解出交点坐标，再用两点间距离公式计算，思路直接，但解方程组运算较多，适合需要交点坐标的情形。两种方法的结果必须一致，因此可以用另一种方法检验所求弦长是否正确。 提升练习：直线与圆相交于和两点，求弦的长度。 【答案】。 【解析】把圆的方程化为标准方程，得圆心坐标为，半径。圆心到直线的距离，再由弦长公式得。 学以致用：某足球场如图所示，请查阅相关资料，计算一个标准足球场的禁区线与罚球弧相交的线段长度。 【答案】先查出标准足球场罚球弧的半径与禁区线的位置，再把禁区线看作直线、罚球弧看作圆的一段，所求线段就是这条直线截圆所得的弦，用弦长公式计算即可；由于场地规格存在差异，计算结果应与所查资料中的数据一致。 【解析】把实际问题转化为弦长问题的关键，是确定圆心（罚球弧所在圆的圆心）、半径和截圆的直线（禁区线）三个要素；求出圆心到禁区线的距离后代入弦长公式，就得到禁区线与罚球弧相交线段的长度。 按弦的概念、垂径关系与弦长公式、教材例6两种解法三条线索推进，突出构造直角三角形与选择方法的思路。 课堂背诵 背诵1：圆心到弦的垂线段有什么性质？什么叫弦心距？ 【答案】圆心到弦的垂线段垂直于弦且平分弦；这条垂线段的长度就是弦心距。 【解析】圆心与弦的中点的连线垂直于弦，这条垂线段把弦分成相等的两段，它与半径、半弦组成直角三角形，所以它的长度就是圆心到弦所在直线的距离。 背诵2：填空并回答。设圆的半径为，圆心到弦所在直线的距离为，则弦长等于______；这个公式在什么条件下使用？ 【答案】；公式在直线与圆相交，即时使用。 【解析】半弦、弦心距与半径组成直角三角形，由勾股定理得，把半弦乘2就得到弦长；当时直线与圆相切，没有弦，所以公式要在时使用。 背诵3：判断并说明理由。（1）求弦长时，先求圆心到弦所在直线的距离，再用弦长公式，一般比先解出交点坐标再算距离更简便。（2）如果题目需要交点坐标，应当改用联立方程组的方法。 【答案】（1）正确；（2）正确。 【解析】（1）弦心距只需一次点到直线的距离计算，再用弦长公式一步得到结果，避免了求解方程组的运算。（2）弦长公式只给出长度，得不到交点坐标，所以需要交点坐标时必须联立方程组求解。 用复述、填空和判断检查学生对垂径关系、弦长公式及其适用条件的准确记忆。 师生互动 任务一：同桌互检。已知圆，直线，求直线截圆所得弦的长度。 【答案】弦长为8。 【解析】由圆的方程得圆心坐标为，半径。圆心到直线的距离，所以弦长为。 任务二：方法选择讨论。下列两种情况各选哪种方法更合适？请说明理由。（1）已知圆与直线的方程，只要求出弦长；（2）需要求出两个交点的坐标，再计算弦长。 【答案】（1）用几何法，先求圆心到直线的距离，再用弦长公式；（2）用坐标法，联立方程组解出交点坐标，再用两点间距离公式。 【解析】（1）只求弦长时，弦心距可以通过一次点到直线的距离计算得到，比解方程组省时，也不容易出错。（2）弦长公式只给出长度，题目要交点坐标时必须联立直线与圆的方程，求出方程组的解，再用两点间距离公式计算。 教师归纳：求弦长先看能否方便地求出圆心到直线的距离，能就优先用几何法；需要交点坐标时改用坐标法，并注意把直线方程化为一般式后再代入距离公式，最后用另一种方法检验结果。 通过一道弦长计算的互检和一次方法选择讨论，暴露弦心距与直线一般式的易错点并形成规范表达。 课堂练习 1．选择题。（1）圆被直线截得的弦长为（　　）。A．4　B．6　C．8　D．10（2）直线与圆相交所得弦的长为（　　）。A．1　B．　C．2　D．（3）圆被直线截得的弦长为（　　）。A．　B．　C．4　D．6 【答案】（1）C；（2）B；（3）A。 【解析】（1）圆心为，半径，弦心距，弦长为。（2）弦心距，弦长为。（3）弦心距，弦长为。 2．填空题。（1）圆被直线截得的弦长为______。（2）直线被圆截得的弦长为______。 【答案】（1）；（2）。 【解析】（1）直线经过圆心，弦心距，弦是直径，弦长为，即。（2）弦心距，弦长为。 3．判断并说明理由：圆被直线截得的弦长大于2。 【答案】错误。 【解析】圆心为，半径，圆心到直线的距离，直线经过圆心，截得的弦是直径，弦长，并不大于2。判断弦长的取值范围时，应先求出弦心距，再代入弦长公式计算。 4．解答题。已知直线与圆相交于、两点。（1）求弦的长度；（2）用坐标法检验（1）的结果。 【答案】（1）弦的长度为8；（2）交点为、，由两点间距离公式得，与（1）的结果一致。 【解析】（1）圆心为，半径，弦心距，所以弦长为。（2）联立直线与圆的方程解得交点、，则。 5．能力提升。已知直线与圆相交于、两点，且，求实数的值。 【答案】或。 【解析】圆心为，半径，弦心距。由弦长公式得，两边平方化简得，所以。代入检验可知两条直线都与圆相交，均符合题意。 6．学以致用。一段圆形管道的横截面是半径为10 cm的圆，管道内水面宽度为16 cm，求水面到圆心所在水平线的距离。 【答案】6 cm。 【解析】水面线截圆所得弦长为16 cm，半径为10 cm，水面到圆心所在水平线的距离就是弦心距，由得（cm）。 按选择、填空、判断、解答与提升五个层次设置六道原创题，覆盖弦长公式与两种方法并兼顾规范书写。 课堂小结 1．当直线与圆相交于两点时，两个公共点之间的线段是圆的一条弦，求弦长就是求这两个公共点之间的距离。 2．圆心到弦的垂线段垂直于弦且平分弦，这条垂线段的长度就是弦心距，它等于圆心到弦所在直线的距离，与半径、半弦组成直角三角形。 3．设圆的半径为、弦心距为，则弦长，公式在直线与圆相交即时使用。 4．几何法先求弦心距再用弦长公式，运算量小、几何关系直观；坐标法联立方程组求出交点坐标后再用两点间距离公式，适合需要交点坐标的情形；两种方法的结果应当一致，可以用来检验所求弦长。 5．求弦心距时要把直线方程化为一般式后再代入点到直线的距离公式，半径是标准方程等号右端开算术平方根的结果；当算得弦心距为0时，直线经过圆心，截得的弦就是直径。 由教师按教学顺序分点总结本课的核心知识、方法步骤与易错条件，形成便于迁移使用的认知结构。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 后续优化应重点观察学生求弦心距时是否先把直线方程化为一般式，这一步遗漏会直接导致距离算错。课堂可压缩教师演算，把时间用于对比弦心距与圆心到直线的距离，并要求学生用完整句子说明构造直角三角形时三条边分别是什么。对坐标法求弦长，可只要求写出方程组和交点坐标，把书写量集中在几何法上；方法选择环节应让学生先判断能否方便求出弦心距，再决定方法，并坚持用另一种方法检验结果。 学科网（北京）股份有限公司 $