6.5 圆的切线方程（练习）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】（原卷版+解析版）

高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】 第六章 直线与圆的方程 6.5 圆的切线方程 一、选择题 1. 已知圆 C 的圆心为 O(1,2)，点 M 是圆 C 上一点，经过切点 M 的半径 OM 所在直线的斜率为 ，则圆 C 在点 M 处的切线的斜率为（　　）。 A. B. C. D. 2. 已知圆 C 的方程为 ，则点 P(0,0) 与圆 C 的位置关系是（　　）。 A. 点 P 在圆上 B. 点 P 在圆外 C. 点 P 在圆内 D. 无法确定 3. 已知圆 C 的方程为 ，若点 A(2,−1) 在圆 C 上，则 m 的值为（　　）。 A. −3 B. 3 C. 1 D. 7 4. 已知圆 C 的方程为 ，点 P(3,3) 在圆 C 外。某同学求过点 P 与圆 C 相切的直线方程时，设切线的斜率为 k，解出 k=0，只写出了一条切线 。该同学漏掉的另一条切线是（　　）。 A. B. C. D. 没有漏解，答案已完整 二、填空题 5. 已知圆 C 的方程为 ，点 M(6,0) 在圆 C 上，则圆 C 在点 M 处的切线的斜率为____。 6. 已知圆 O 的方程为 ，点 Q(0,4) 在圆 O 外。设过点 Q 的切线方程为 ，则圆心 O 到这条切线的距离为____（用含 k 的式子表示）。 7. 圆 C 在点 M 处的切线经过点 (0,7) 与 (1,5)，则这条切线方程的一般式为____。 8. 点 P 与圆 C 的位置关系决定了经过点 P 能作出的切线条数。若经过点 P 与圆 C 相切的直线恰有两条，则点 P 与圆 C 的位置关系是____。 一、选择题 9. 关于圆的切线，下列说法正确的是（　　）。 A. 经过圆外一点作圆的切线，一定能作出两条，且这两条切线的斜率都存在 B. 若直线 l 与圆 C 相切，则圆心 C 到直线 l 的距离等于圆 C 的半径 C. 过圆上一点作圆的切线，可以作出两条 D. 若直线的斜率不存在，则该直线不可能是圆的切线 10. 已知圆 C 的方程为 ，点 P(3,m) 在圆 C 外。若经过点 P 与圆 C 相切的直线中有一条的斜率为 0，则 m 的值为（　　）。 A. 2 B. −2 C. ±2 D. ± 11. 已知圆 C 的方程为 ，直线 l 的方程为 。若直线 l 与圆 C 相切，则 m 的值为（　　）。 A. −24 B. 24 C. −74 D. 74 二、填空题 12. 已知圆 C 的方程为 ，点 P(2,−6) 在圆 C 外。经过点 P 与圆 C 相切的两条直线的斜率分别是____。 13. 已知圆 C 的方程为 。在直线 、 和 中，与圆 C 相切的是____（填直线名称）。 14. 已知直线 l 的方程为 ，圆 O 的方程为 ，直线 l 与圆 O 相切，切点为 M。则过切点的半径 OM 所在直线的方程为____。 三、解答题 15. 已知圆 C 的方程为 ，点 P(4,−2)。（1）把圆 C 的方程化为标准方程，并写出圆心 C 的坐标和半径 r；（2）判断点 P 与圆 C 的位置关系；（3）求过点 P 且与圆 C 相切的直线的方程。 学科网（北京）股份有限公司 $ 高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】 第六章 直线与圆的方程 6.5 圆的切线方程 一、选择题 1. 已知圆 C 的圆心为 O(1,2)，点 M 是圆 C 上一点，经过切点 M 的半径 OM 所在直线的斜率为 ，则圆 C 在点 M 处的切线的斜率为（　　）。 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】因为圆的切线垂直于经过切点的半径，所以切线的斜率 k 与半径 OM 的斜率之积等于 −1。把半径的斜率 代入得 ，解得 。故选 B。A、D 的符号与求出的斜率不符，C 是半径的斜率而不是切线的斜率。 2. 已知圆 C 的方程为 ，则点 P(0,0) 与圆 C 的位置关系是（　　）。 A. 点 P 在圆上 B. 点 P 在圆外 C. 点 P 在圆内 D. 无法确定 【答案】C 【解析】把圆 C 的一般方程配方得 ，所以圆心为 C(2,−3)，半径 r=5。又 ，因为 ，即 |CP|<r，所以点 P 在圆内。故选 C。 3. 已知圆 C 的方程为 ，若点 A(2,−1) 在圆 C 上，则 m 的值为（　　）。 A. −3 B. 3 C. 1 D. 7 【答案】B 【解析】因为点 A(2,−1) 在圆 C 上，所以它的坐标满足圆的方程。把 x=2、y=−1 代入得 ，即 ，所以 m=3。故选 B。 4. 已知圆 C 的方程为 ，点 P(3,3) 在圆 C 外。某同学求过点 P 与圆 C 相切的直线方程时，设切线的斜率为 k，解出 k=0，只写出了一条切线 。该同学漏掉的另一条切线是（　　）。 A. B. C. D. 没有漏解，答案已完整 【答案】B 【解析】过点 P(3,3) 的直线中，斜率不存在的是竖直直线 。圆 C 的圆心为原点，半径 r=3，圆心到直线 的距离为 3，等于半径，所以 也是圆 C 的切线。因此漏掉的是这条斜率不存在的切线。故选 B。 二、填空题 5. 已知圆 C 的方程为 ，点 M(6,0) 在圆 C 上，则圆 C 在点 M 处的切线的斜率为____。 【答案】 【解析】圆心为 C(3,4)，点 M(6,0)。圆心 C 与点 M 连线的斜率 。因为切线与经过切点的半径垂直，所以切线的斜率 。 6. 已知圆 O 的方程为 ，点 Q(0,4) 在圆 O 外。设过点 Q 的切线方程为 ，则圆心 O 到这条切线的距离为____（用含 k 的式子表示）。 【答案】 【解析】把切线方程化为一般式得 。由点到直线的距离公式，圆心 O(0,0) 到它的距离 。 7. 圆 C 在点 M 处的切线经过点 (0,7) 与 (1,5)，则这条切线方程的一般式为____。 【答案】 【解析】由两点求切线斜率得 ，所以切线方程为 ，化为一般式得 。 8. 点 P 与圆 C 的位置关系决定了经过点 P 能作出的切线条数。若经过点 P 与圆 C 相切的直线恰有两条，则点 P 与圆 C 的位置关系是____。 【答案】点 P 在圆外 【解析】把点 P 到圆心 C 的距离 |CP| 与半径 r 比较： 时点 P 在圆上，切线只有一条； 时点 P 在圆外，切线有两条； 时点 P 在圆内，没有切线。因为经过点 P 的切线恰有两条，所以点 P 在圆外。 一、选择题 9. 关于圆的切线，下列说法正确的是（　　）。 A. 经过圆外一点作圆的切线，一定能作出两条，且这两条切线的斜率都存在 B. 若直线 l 与圆 C 相切，则圆心 C 到直线 l 的距离等于圆 C 的半径 C. 过圆上一点作圆的切线，可以作出两条 D. 若直线的斜率不存在，则该直线不可能是圆的切线 【答案】B 【解析】过圆外一点可以作圆的两条切线，但其中一条的斜率可能不存在，所以 A 错误。直线与圆相切时，圆心到直线的距离等于圆的半径，所以 B 正确。过圆上一点只能作一条切线，所以 C 错误。斜率不存在的竖直直线也可能是圆的切线，例如圆 在点 (3,0) 处的切线就是 ，所以 D 错误。故选 B。 10. 已知圆 C 的方程为 ，点 P(3,m) 在圆 C 外。若经过点 P 与圆 C 相切的直线中有一条的斜率为 0，则 m 的值为（　　）。 A. 2 B. −2 C. ±2 D. ± 【答案】C 【解析】斜率为 0 的切线是一条水平直线。因为这条切线经过点 P(3,m)，所以它的方程是 。圆心为 C(1,0)，半径 r=2，圆心到这条切线的距离等于 ，所以 。当 m=2 或 m=−2 时，，大于半径 2，点 P 都在圆外，符合题意。故选 C。 11. 已知圆 C 的方程为 ，直线 l 的方程为 。若直线 l 与圆 C 相切，则 m 的值为（　　）。 A. −24 B. 24 C. −74 D. 74 【答案】A 【解析】把圆 C 的方程配方得 ，所以圆心为 C(−3,−4)，半径 。圆心 C 到直线 l 的距离 。因为直线 l 与圆 C 相切，所以 d=r，即 ，解得 m=−24。故选 A。 二、填空题 12. 已知圆 C 的方程为 ，点 P(2,−6) 在圆 C 外。经过点 P 与圆 C 相切的两条直线的斜率分别是____。 【答案】 和 【解析】圆心为 C(2,−1)，半径 r=3。设过点 P 的切线的斜率为 k，切线方程为 ，即 。由圆心到切线的距离等于半径得 ，即 ，解得 ，所以 。过点 P 的竖直直线 到圆心的距离为 0，不是切线，所以两条切线的斜率都存在，分别为 4/3 和 −4/3。 13. 已知圆 C 的方程为 。在直线 、 和 中，与圆 C 相切的是____（填直线名称）。 【答案】 【解析】圆心为 C(1,−2)，半径 r=2。圆心 C 到直线 的距离为 ，等于半径，所以 与圆 C 相切。圆心 C 在直线 上，到它的距离为 0；圆心 C 到直线 的距离为 ，不等于半径，所以 与 都不是圆 C 的切线。因此与圆 C 相切的是 l1，即 x=3。 14. 已知直线 l 的方程为 ，圆 O 的方程为 ，直线 l 与圆 O 相切，切点为 M。则过切点的半径 OM 所在直线的方程为____。 【答案】 【解析】圆 O 的圆心为 O(0,0)，半径 r=5。圆心 O 到直线 l 的距离 ，等于半径，所以直线 l 与圆 O 相切。因为半径 OM 与切线 l 垂直，直线 l 的斜率为 ，所以半径 OM 所在直线的斜率为 。又 OM 经过圆心 O(0,0)，所以它的方程为 ，化为一般式得 。 三、解答题 15. 已知圆 C 的方程为 ，点 P(4,−2)。（1）把圆 C 的方程化为标准方程，并写出圆心 C 的坐标和半径 r；（2）判断点 P 与圆 C 的位置关系；（3）求过点 P 且与圆 C 相切的直线的方程。 【答案】，圆心 C(1,2)，半径 r=3；（2）点 P 在圆外；（3） 和 【解析】（1）配方得 ，所以圆心 C(1,2)，半径 r=3。（2），因为 5>3，所以点 P 在圆外。（3）因为点 P 在圆外，所以过点 P 与圆 C 相切的直线有两条。先看斜率不存在的情形：直线 经过点 P，圆心 C(1,2) 到它的距离为 3，等于半径，所以 是圆 C 的一条切线。再设另一条切线的斜率为 k，方程为 ，即 。由圆心到切线的距离等于半径得 ，即 ，两边平方得 ，解得 ，所以这条切线为 ，化为一般式得 。所以过点 P 与圆 C 相切的直线的方程为 和 。 学科网（北京）股份有限公司 $