6.5 圆的切线方程（课件）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】

高教版第三版《数学》 基础模块（下册） 第六章 直线与圆的方程 6.5 圆的切线方程 学习目标 ．理解点与圆的位置关系决定过该点作圆的切线条数，知道切线与过切点的半径垂直、圆心到切线的距离等于圆的半径这两条求切线的依据。 2．能判断经过一点的切线条数，掌握过圆上一点和过圆外一点两类切线方程的求法，能写出切线方程并化为一般式。 3．经历由探究与发现到例3、例4、例5的探究过程，发展直观想象、逻辑推理和数形结合的能力，养成检验答案完整性的习惯。 探究与发现：如何求圆的切线方程 教材探究与发现：在平面直角坐标系中，如果经过点能作出圆的切线，那么，如何求这条切线的方程呢？（图6-42） 旧知检测 旧知检测：请分别说出点在圆上、点在圆外、点在圆内时切线的条数。 【答案】点在圆上时，经过该点只能作一条直线与圆相切；点在圆外时，经过该点可以作两条直线与圆相切；点在圆内时，经过该点不存在与圆相切的直线。 【解析】设点与圆心的距离为，圆的半径为。时点在圆上，只有一条切线；时点在圆外，有两条切线；时点在圆内，没有切线。 一、点与圆的位置关系决定切线的条数 教师归纳：求切线方程的关键是先判断点与圆的位置关系，再把相切这一几何条件转化为关于切线斜率的方程。 所以求切线方程的第一步是判断点与圆的位置关系，判断方法就是把点到圆心的距离与半径比较：点在圆上时只有一条切线，点在圆外时有两条切线，点在圆内时没有切线。 二、例3 用距离与半径比较判断切线条数 例3 经过下列点能作出圆的几条切线？ ．； 【答案】过点可以作两条切线。 【解析】由圆的方程得圆心，半径。（）点到圆心的距离，即，所以点在圆外，过点有两条直线与圆相切。 二、例3 用距离与半径比较判断切线条数 例3 经过下列点能作出圆的几条切线？ 2．；3．。 【答案】过点有且只有一条切线；过点不存在切线。 【解析】（2）点到圆心的距离，即，所以点在圆上，过点有且只有一条直线与圆相切。（3）点到圆心的距离，即，所以点在圆内，经过点不存在与圆相切的直线。 三、切线的性质与求切线的两条依据 圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心到切线的距离等于圆的半径，即，其中是圆心到切线的距离，是圆的半径。 这两条依据是把相切转化为方程的关键：已知切点时用垂直关系求切线的斜率，只知道点在圆外时用圆心到切线的距离等于半径列方程。 四、例4 过圆上一点的切线 例4 已知圆的一般方程是，求经过原点的该圆的切线方程。 【答案】。 【解析】原点坐标满足圆的一般方程，可知原点是圆上的一点，过圆上一点有且只有一条切线。设过原点的切线方程为，因为圆的一般方程是，故圆心坐标为，所以经过切点的半径所在直线的斜率。因为切线与经过切点的半径垂直，有，所以，则过原点的切线方程为，即所求切线方程为。 五、例5 过圆外一点的切线 例5 已知圆，判断经过点与圆相切的直线有几条，并求切线方程。 两条切线的斜率都存在。把切线方程化为一般式再作答，便于检查两条切线是否都写完整。 例5 答案解析（过圆外一点的切线） 【答案】经过点与圆相切的直线有两条，它们的方程分别为和。 【解析】由圆得圆心，半径。因为，即，所以点在圆外，经过点与圆相切的直线有两条。 例5 答案解析（过圆外一点的切线） 【解析】设所求切线的斜率为，切线经过点，则切线的方程为，即。圆心到切线的距离。因为圆心到切线的距离等于圆的半径，所以，化简得，解得，。所以切线的方程为和，即和。 课堂背诵 背诵：经过点作圆的切线，切线的条数与点和圆的位置关系有什么关系？ 【答案】点在圆上时只有一条切线，点在圆外时有两条切线，点在圆内时没有切线。 【解析】把点到圆心的距离与半径比较：时点在圆上，时点在圆外，时点在圆内，切线的条数依次是一条、两条、零条。 课堂背诵 背诵2：把相切转化为方程时，可以用哪两条依据？ 【答案】圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心到切线的距离等于圆的半径。 【解析】已知切点时，用切线与半径垂直求切线的斜率；切线的位置未知时，设出切线方程，再用圆心到切线的距离等于半径列方程求解。 课堂背诵 背诵3：过圆上一点求切线方程，一般分哪几步？ 【答案】先由点的坐标满足圆的方程确认点在圆上；再求出圆心与该点连线的斜率；由切线与半径垂直求出切线的斜率；最后写出切线方程并化为一般式。 【解析】过圆上一点有且只有一条切线，关键是利用两条直线垂直时斜率之积等于这层关系把切线斜率求出来。 课堂背诵 背诵4：过圆外一点求切线方程，一般分哪几步？ 【答案】先用点到圆心的距离大于半径判断切线有两条；再设切线的斜率为，写出过该点的直线方程并化为一般式；由圆心到切线的距离等于半径列出方程解出斜率；最后把两条切线都写成一般式。 【解析】圆心到切线的距离公式中含有绝对值，解方程一般得到两个斜率，要把两个斜率对应的切线都写出来。 师生互动一：判断经过各点的切线条数与斜率 任务一：如图6-46所示，已知圆和三点，，。（）经过点且与圆O相切的直线有几条，切线斜率为多少？ 【答案】（）一条，切线斜率不存在；【解析】圆的圆心为，半径。（），点在圆上，切线只有一条；半径在轴上，所以切线垂直于轴，方程为，它的斜率不存在。 师生互动一：判断经过各点的切线条数与斜率 （2）经过点且与圆O相切的直线有几条，切线斜率为多少？ 【答案】（2）两条，其中一条的斜率为，另一条的斜率不存在； 【解析】（2），点在圆外，切线有两条；圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离也为，都等于半径，所以和都是圆O的切线，其中的斜率为，的斜率不存在。 师生互动一：判断经过各点的切线条数与斜率 （3）经过点且与圆O相切的直线有几条，切线斜率为多少？ 【答案】（3）一条，切线斜率为。 【解析】（3），点C在圆上，切线只有一条；半径在轴上，所以切线垂直于轴，方程为，它的斜率为。 师生互动二：两条依据的选用 任务二：对照比较。求过一点的切线方程时，先要做什么？已知切点和只知道点在圆外时，求法有什么不同？ 【答案】先判断点与圆的位置关系，确定切线的条数；已知切点时用切线与半径垂直求切线的斜率，只知道点在圆外时设切线的斜率为，再用圆心到切线的距离等于半径列方程求解。 【解析】两条途径的依据都来自相切的性质：切线与经过切点的半径垂直，以及圆心到切线的距离等于半径。已知切点时垂直关系可以直接求出斜率，运算较短；点在圆外而切点未知时，只能先设斜率，再用距离等于半径建立方程。 课堂练习 ．已知圆，判断下列各点与圆的位置关系，并指出经过该点可以作圆的切线的条数：，，。 【答案】点在圆上，可以作一条切线；点在圆外，可以作两条切线；点在圆内，没有切线。 【解析】圆心为，半径。因为，所以点在圆上；因为，所以点在圆外；因为，所以点在圆内。 课堂练习 2．已知圆，判断直线是不是圆的切线，并说明理由。 【答案】直线是圆的切线。 【解析】圆心为，半径。圆心到直线的距离，即，所以直线与圆相切，直线是圆的切线。 课堂练习 3．已知圆，求经过圆上一点的切线方程。 【答案】。 【解析】圆心为。因为，所以点在圆上，切线只有一条。圆心与点连线的斜率，由切线与半径垂直得切线斜率，切线为，化为一般式得。 课堂练习 4．已知圆，求经过点且与圆相切的直线的方程。 【答案】和。 【解析】圆心为，半径。因为，所以点在圆外，切线有两条。设切线的斜率为，方程为，即，圆心到切线的距离。由圆心到切线的距离等于半径得，两边平方得，解得，即，。因为点在圆外，切线恰有两条，所以所求切线为和。 课堂练习 5．已知圆，点。（）判断点与圆的位置关系，并指出过点可以作圆的切线的条数； 【答案】（）点在圆外，可以作两条切线； 【解析】（）圆心为，半径。因为，所以点在圆外，切线有两条。 课堂练习 5．已知圆，点。（2）求过点且与圆相切的直线的方程。 【答案】（2）和。 【解析】（2）设切线的斜率为，方程为，即，圆心到切线的距离。由圆心到切线的距离等于半径得，两边平方得，解得。当时切线的方程为；当时切线的方程为。由（）知点在圆外，切线有两条，上面已求出两条，所以所求切线方程为和。 课堂小结（—3） ．点与圆的位置关系决定切线的条数：点在圆上时只有一条切线，在圆外时有两条切线，在圆内时没有切线；判断的依据是点到圆心的距离与半径的大小关系。 2．求切线的两条依据：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心到切线的距离等于圆的半径，即。 3．过圆上一点求切线方程：先由点的坐标满足圆的方程确认点在圆上，求出圆心与该点连线的斜率，由求出切线斜率，再写出切线方程并化为一般式。 课堂小结（4—5） 4．过圆外一点求切线方程：先用点到圆心的距离大于半径判断切线有两条，设切线的斜率为并把方程化为一般式，由圆心到切线的距离等于半径解出，最后把两条切线都写成一般式。 5．易错提醒：圆的方程是一般式时要先配方求出圆心和半径；用点到直线的距离公式时不要丢掉绝对值；解出的两个斜率都要写成相应的切线方程，并化为一般式。 作业布置 ．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 $