6.5 圆的切线方程（教案）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】

高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】 第6章 直线与圆的方程 6.5 圆的切线方程 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材在6.5节第一课时建立直线与圆相离、相切、相交三种位置关系及其判定之后转入圆的切线方程：先用探究与发现（图）提出如何求切线方程，再用例3把切线条数与点和圆的位置关系对应起来，随后分两类给出求法——例4对圆上一点用切线与过切点的半径垂直求切线，例5对圆外一点用圆心到切线的距离等于半径求切线。 本课是6.5节的第二个课时，把相切这一位置关系落实为可以求解的切线方程，综合运用圆的方程、点到直线的距离和两条直线垂直等知识，并为下一课时的弦长与6.6应用举例作准备；教学中应突出先判断点与圆的位置关系、再选择求法的顺序。 学情分析 学生已经掌握两点间距离公式和点到直线的距离公式，能由圆的标准方程读出圆心与半径、把圆的一般方程配方化为标准方程，也学过两条直线垂直的条件以及直线的点斜式和一般式方程，具备把几何条件代数化的经验。但用半径与切线垂直求斜率时要先准确算出圆心与切点连线的斜率，用距离等于半径列方程时要保留绝对值并解出两个斜率，学生容易漏掉其中一条切线，也容易忘记把结果化为一般式，需要在示范与纠错中逐步落实。 教学目标 1．理解点与圆的位置关系决定过该点作圆的切线条数，知道切线与过切点的半径垂直、圆心到切线的距离等于圆的半径这两条求切线的依据。 2．能判断经过一点的切线条数，掌握过圆上一点和过圆外一点两类切线方程的求法，能写出切线方程并化为一般式。 3．经历由探究与发现到例3、例4、例5的探究过程，发展直观想象、逻辑推理和数形结合的能力，养成检验答案完整性的习惯。 教学重难点 教学重点：点与圆的位置关系与切线条数的对应；过圆上一点、过圆外一点两类切线方程的求法。 教学难点：由切线与半径垂直求切线斜率时的运算与检验；用圆心到切线的距离等于半径列方程时的化简与取舍。 教学方法 情境教学法、启发式讲解法、数形结合法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 教材探究与发现：在平面直角坐标系中，如果经过点能作出圆的切线，那么，如何求这条切线的方程呢？（图6-42） 旧知检测：由图可以看出，过一点作圆的切线条数与这个点和圆的位置关系有关。请分别说出点在圆上、点在圆外、点在圆内时切线的条数。 【答案】点在圆上时，经过该点只能作一条直线与圆相切；点在圆外时，经过该点可以作两条直线与圆相切；点在圆内时，经过该点不存在与圆相切的直线。 【解析】设点与圆心的距离为，圆的半径为。时点在圆上，只有一条切线；时点在圆外，有两条切线；时点在圆内，没有切线。 教师归纳：求切线方程的关键是先判断点与圆的位置关系，再把相切这一几何条件转化为关于切线斜率的方程。 由教材探究与发现提出的问题引入，借助图回顾点与圆位置关系下切线的条数，再提出如何求切线方程这一核心问题。 新知讲授 一、点与圆的位置关系决定切线的条数 设点与圆心的距离为，圆的半径为。由图6-42可以看出：点在圆上时，经过点只能作一条直线与圆相切；点在圆外时，经过点可以作两条直线与圆相切；点在圆内时，经过点不存在与圆相切的直线。 所以求切线方程的第一步是判断点与圆的位置关系，判断方法就是把点到圆心的距离与半径比较：点在圆上时只有一条切线，点在圆外时有两条切线，点在圆内时没有切线。 二、例3 用距离与半径比较判断切线条数 例3 经过下列点能作出圆的几条切线？ 1．； 2．； 3．。 【答案】过点可以作两条切线；过点有且只有一条切线；过点不存在切线。 【解析】由圆的方程得圆心，半径。（1）点到圆心的距离，即，所以点在圆外，过点有两条直线与圆相切。（2）点到圆心的距离，即，所以点在圆上，过点有且只有一条直线与圆相切。（3）点到圆心的距离，即，所以点在圆内，经过点不存在与圆相切的直线。 三、切线的性质与求切线的两条依据 圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心到切线的距离等于圆的半径，即，其中是圆心到切线的距离，是圆的半径。 这两条依据是把相切转化为方程的关键：已知切点时用垂直关系求切线的斜率，只知道点在圆外时用圆心到切线的距离等于半径列方程。 四、例4 过圆上一点的切线 例4 已知圆的一般方程是，求经过原点的该圆的切线方程。 【答案】。 【解析】原点坐标满足圆的一般方程，可知原点是圆上的一点，过圆上一点有且只有一条切线。设过原点的切线方程为，因为圆的一般方程是，故圆心坐标为，所以经过切点的半径所在直线的斜率。因为切线与经过切点的半径垂直，有，所以，则过原点的切线方程为，即所求切线方程为。 五、例5 过圆外一点的切线 例5 已知圆，判断经过点与圆相切的直线有几条，并求切线方程。 【答案】经过点与圆相切的直线有两条，它们的方程分别为和。 【解析】由圆得圆心，半径。因为，即，所以点在圆外，经过点与圆相切的直线有两条。设所求切线的斜率为，切线经过点，则切线的方程为，即。圆心到切线的距离。因为圆心到切线的距离等于圆的半径，所以，化简得，解得，。所以切线的方程为和，即和。 两条切线的斜率都存在。把切线方程化为一般式再作答，便于检查两条切线是否都写完整。 按切线条数、例3、切线的性质依据、例4过圆上一点、例5过圆外一点五条线索推进，突出先判断位置关系再选择求法的顺序。 课堂背诵 背诵1：经过点作圆的切线，切线的条数与点和圆的位置关系有什么关系？ 【答案】点在圆上时只有一条切线，点在圆外时有两条切线，点在圆内时没有切线。 【解析】把点到圆心的距离与半径比较：时点在圆上，时点在圆外，时点在圆内，切线的条数依次是一条、两条、零条。 背诵2：把相切转化为方程时，可以用哪两条依据？ 【答案】圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心到切线的距离等于圆的半径。 【解析】已知切点时，用切线与半径垂直求切线的斜率；切线的位置未知时，设出切线方程，再用圆心到切线的距离等于半径列方程求解。 背诵3：过圆上一点求切线方程，一般分哪几步？ 【答案】先由点的坐标满足圆的方程确认点在圆上；再求出圆心与该点连线的斜率；由切线与半径垂直求出切线的斜率；最后写出切线方程并化为一般式。 【解析】过圆上一点有且只有一条切线，关键是利用两条直线垂直时斜率之积等于这层关系把切线斜率求出来。 背诵4：过圆外一点求切线方程，一般分哪几步？ 【答案】先用点到圆心的距离大于半径判断切线有两条；再设切线的斜率为，写出过该点的直线方程并化为一般式；由圆心到切线的距离等于半径列出方程解出斜率；最后把两条切线都写成一般式。 【解析】圆心到切线的距离公式中含有绝对值，解方程一般得到两个斜率，要把两个斜率对应的切线都写出来。 通过复述和填空检查学生对切线条数、求切线的两条依据以及两类切线方程求法步骤的准确记忆。 师生互动 任务一：如图6-46所示，已知圆和三点，，。（1）经过点且与圆相切的直线有几条，切线斜率为多少？（2）经过点且与圆相切的直线有几条，切线斜率为多少？（3）经过点且与圆相切的直线有几条，切线斜率为多少？ 【答案】（1）一条，切线斜率不存在；（2）两条，其中一条的斜率为，另一条的斜率不存在；（3）一条，切线斜率为。 【解析】圆的圆心为，半径。（1），点在圆上，切线只有一条；半径在轴上，所以切线垂直于轴，方程为，它的斜率不存在。（2），点在圆外，切线有两条；圆心到直线的距离为，圆心到直线的距离也为，都等于半径，所以和都是圆的切线，其中的斜率为，的斜率不存在。（3），点在圆上，切线只有一条；半径在轴上，所以切线垂直于轴，方程为，它的斜率为。 任务二：对照比较。求过一点的切线方程时，先要做什么？已知切点和只知道点在圆外时，求法有什么不同？ 【答案】先判断点与圆的位置关系，确定切线的条数；已知切点时用切线与半径垂直求切线的斜率，只知道点在圆外时设切线的斜率为，再用圆心到切线的距离等于半径列方程求解。 【解析】两条途径的依据都来自相切的性质：切线与经过切点的半径垂直，以及圆心到切线的距离等于半径。已知切点时垂直关系可以直接求出斜率，运算较短；点在圆外而切点未知时，只能先设斜率，再用距离等于半径建立方程。 借助教材练习与习题的当堂处理，暴露求半径斜率、保留绝对值和化简环节的问题，并比较两条依据的选用时机。 课堂练习 1．已知圆，判断下列各点与圆的位置关系，并指出经过该点可以作圆的切线的条数：，，。 【答案】点在圆上，可以作一条切线；点在圆外，可以作两条切线；点在圆内，没有切线。 【解析】圆心为，半径。因为，所以点在圆上；因为，所以点在圆外；因为，所以点在圆内。 2．已知圆，判断直线是不是圆的切线，并说明理由。 【答案】直线是圆的切线。 【解析】圆心为，半径。圆心到直线的距离，即，所以直线与圆相切，直线是圆的切线。 3．已知圆，求经过圆上一点的切线方程。 【答案】。 【解析】圆心为。因为，所以点在圆上，切线只有一条。圆心与点连线的斜率，由切线与半径垂直得切线斜率，切线为，化为一般式得。 4．已知圆，求经过点且与圆相切的直线的方程。 【答案】和。 【解析】圆心为，半径。因为，所以点在圆外，切线有两条。设切线的斜率为，方程为，即，圆心到切线的距离。由圆心到切线的距离等于半径得，两边平方得，解得，即，。因为点在圆外，切线恰有两条，所以所求切线为和。 5．已知圆，点。（1）判断点与圆的位置关系，并指出过点可以作圆的切线的条数；（2）求过点且与圆相切的直线的方程。 【答案】（1）点在圆外，可以作两条切线；（2）和。 【解析】（1）圆心为，半径。因为，所以点在圆外，切线有两条。（2）设切线的斜率为，方程为，即，圆心到切线的距离。由圆心到切线的距离等于半径得，两边平方得，解得。当时切线的方程为；当时切线的方程为。由（1）知点在圆外，切线有两条，上面已求出两条，所以所求切线方程为和。 按位置关系与切线条数、切线判定、圆上一点切线、圆外一点切线、综合应用设置五道原创题，检查课堂达标情况。 课堂小结 1．点与圆的位置关系决定切线的条数：点在圆上时只有一条切线，在圆外时有两条切线，在圆内时没有切线；判断的依据是点到圆心的距离与半径的大小关系。 2．求切线的两条依据：圆的切线垂直于经过切点的半径；圆心到切线的距离等于圆的半径，即。 3．过圆上一点求切线方程：先由点的坐标满足圆的方程确认点在圆上，求出圆心与该点连线的斜率，由求出切线斜率，再写出切线方程并化为一般式。 4．过圆外一点求切线方程：先用点到圆心的距离大于半径判断切线有两条，设切线的斜率为并把方程化为一般式，由圆心到切线的距离等于半径解出，最后把两条切线都写成一般式。 5．易错提醒：圆的方程是一般式时要先配方求出圆心和半径；用点到直线的距离公式时不要丢掉绝对值；解出的两个斜率都要写成相应的切线方程，并化为一般式。 由教师按教学顺序分点总结本课的核心知识、两条依据和两类求法，并提示易错条件，形成可迁移的解题路径。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 后续优化应重点观察学生能否在读题后先判断点与圆的位置关系，再决定切线的条数与求法。课堂上可压缩教师的重复演算，把时间用于对比例4与例5的书写差异，并要求学生用完整语句说明选择依据；对由距离等于半径列方程的一类题，应把配方求圆心、保留绝对值、解出两个斜率三个环节分别示范并让学生复述，减少只写一个答案和忘记化为一般式的情况。 学科网（北京）股份有限公司 $