6.4.2 圆的一般方程——判定、配方与由条件求圆（练习）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】（原卷版+解析版）

高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】 第六章 直线与圆的方程 6.4.2 圆的一般方程——判定、配方与由条件求圆 一、选择题 1. 关于二元二次方程 （D、E、F 为常数），下列说法正确的是（　　）。 A. 只要这个方程中 的系数都是 1，它就一定表示圆 B. 这个方程中不含 xy 项，所以它一定表示圆 C. 这个方程要表示圆，必须满足 D. 这个方程要表示圆，必须有 且 2. 圆 的圆心位于（　　）。 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知圆 的圆心为 ，则 D、E 的值分别是（　　）。 A. −4，6 B. 4，−6 C. −2，3 D. 2，−3 4. 某同学求圆 的圆心和半径时写出如下过程：由方程得 ，所以圆心为 ，半径 。这个过程中出错的一步是（　　）。 A. D、E、F 的取值 B. 圆心坐标的计算 C. 半径的计算 D. 没有出错，过程完全正确 二、填空题 5. 已知圆 （）。(1) 若这个圆经过坐标原点，则 F=____；(2) 若这个圆的圆心恰好是坐标原点，则 D=____，E=____。 6. 把方程 的两边同除以 3，化为圆的一般方程 ，则 D=____，E=____，F=____。 7. 圆 的圆心坐标是____，它的圆心在____轴上。 8. 圆 的圆心到坐标原点的距离是____。 一、选择题 9. 用待定系数法求圆的方程时，下列条件中最适合直接设标准方程 求解的是（　　）。 A. 已知圆经过 、、 三点 B. 已知 、，且以线段 为直径 C. 已知圆经过 、、 三点 D. 已知圆经过 、、 三点 10. 下列方程中，与圆 表示同一个圆的是（　　）。 A. B. C. D. 11. 若圆 的圆心在 x 轴上，则实数 m 的值是（　　）。 A. −2 B. 0 C. 2 D. 4 二、填空题 12. 已知圆 ： 与圆 ：，它们的半径分别为 。则 =____，=____，两圆半径的大小关系是 ____（填“>”“<”或“=”）。 13. 若方程 表示圆，则实数 k 的取值范围是____。 14. 已知圆 的圆心与圆 的圆心相同，且圆 的半径是这个圆半径的 2 倍，则圆 的一般方程是____。 三、解答题 15. 已知圆 经过点 和 ，且圆心在 x 轴上。求圆 的一般方程，并写出它的圆心坐标和圆的半径. 学科网（北京）股份有限公司 $ 高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】 第六章 直线与圆的方程 6.4.2 圆的一般方程——判定、配方与由条件求圆 一、选择题 1. 关于二元二次方程 （D、E、F 为常数），下列说法正确的是（　　）。 A. 只要这个方程中 的系数都是 1，它就一定表示圆 B. 这个方程中不含 xy 项，所以它一定表示圆 C. 这个方程要表示圆，必须满足 D. 这个方程要表示圆，必须有 且 【答案】C 【解析】A 和 B 都把“ 的系数都是 1、不含 xy 项”这一形式特征当成了充分条件。把方程配方，得 ，只有当右边的 大于 0 时方程才表示圆，所以 A、B 都不正确。当 D=0 时圆心落在 y 轴上，方程仍然可以表示圆，例如 表示圆心为 、半径为 2 的圆，所以 D 的说法也不成立。C 与配方后的符号条件一致，所以 C 正确。 2. 圆 的圆心位于（　　）。 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】由方程得 D=6，E=−4，F=−3。圆心坐标是 ，即 ，横坐标为负、纵坐标为正，所以圆心在第二象限。又 ，方程确实表示圆。 3. 已知圆 的圆心为 ，则 D、E 的值分别是（　　）。 A. −4，6 B. 4，−6 C. −2，3 D. 2，−3 【答案】B 【解析】圆心坐标是 。由 得 ；由 得 。所以 D=4，E=−6。 4. 某同学求圆 的圆心和半径时写出如下过程：由方程得 ，所以圆心为 ，半径 。这个过程中出错的一步是（　　）。 A. D、E、F 的取值 B. 圆心坐标的计算 C. 半径的计算 D. 没有出错，过程完全正确 【答案】C 【解析】由方程得 D=2，E=−8，F=8，这一步是正确的；圆心坐标 也正确。半径应按公式 计算，即 ，这位同学算出 6 之后没有除以 2。所以出错的一步是半径的计算。 二、填空题 5. 已知圆 （）。(1) 若这个圆经过坐标原点，则 F=____；(2) 若这个圆的圆心恰好是坐标原点，则 D=____，E=____。 【答案】0；0，0 【解析】(1) 圆经过坐标原点，说明 满足方程。把 和 代入 ，得 F=0。(2) 圆心坐标是 ，它等于 时必须同时满足 和 ，所以 D=0，E=0。 6. 把方程 的两边同除以 3，化为圆的一般方程 ，则 D=____，E=____，F=____。 【答案】−2；3；−4 【解析】两边同除以 3，得 。与 逐项对照，一次项 的系数就是 D，一次项 的系数就是 E，常数项就是 F，所以 D=−2，E=3，F=−4。 7. 圆 的圆心坐标是____，它的圆心在____轴上。 【答案】；y 【解析】这个方程中不含 的一次项，所以 D=0，E=8，F=−5。圆心坐标是 ，即 。圆心的横坐标是 0，所以圆心在 y 轴上。 8. 圆 的圆心到坐标原点的距离是____。 【答案】5 【解析】由方程得 D=−6，E=8，圆心坐标为 。圆心到坐标原点的距离是 ，所以距离是 5。 一、选择题 9. 用待定系数法求圆的方程时，下列条件中最适合直接设标准方程 求解的是（　　）。 A. 已知圆经过 、、 三点 B. 已知 、，且以线段 为直径 C. 已知圆经过 、、 三点 D. 已知圆经过 、、 三点 【答案】B 【解析】A、C、D 给出的都是圆上三个点的坐标，三个条件地位相同，设一般方程 后用待定系数法解三元一次方程组更直接。B 给出的是直径的两个端点 、，线段 的中点 就是圆心，半径等于 长的一半 2，可以先写标准方程 ，再按需要展开为一般方程。所以最适合直接设标准方程的是 B。 10. 下列方程中，与圆 表示同一个圆的是（　　）。 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】把 A 中方程的两边同除以 2，得 ，与已知圆完全相同，所以 A 正确。B 的圆心与已知圆相同，都是 ，但常数项是 12，半径的平方只有 1；C 的半径与已知圆相同，圆心却是 ；D 的圆心是 ，半径的平方是 64。B、C、D 与已知圆相比，圆心或半径至少有一项不同，所以都不是同一个圆。 11. 若圆 的圆心在 x 轴上，则实数 m 的值是（　　）。 A. −2 B. 0 C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】由方程得 D=−6，E=m−2。圆心坐标是 ，即 。圆心在 x 轴上，纵坐标等于 0，所以 ，解得 m=2。此时 D=−6，E=0，F=3，，方程确实表示圆，所以 m=2 符合题意。 二、填空题 12. 已知圆 ： 与圆 ：，它们的半径分别为 。则 =____，=____，两圆半径的大小关系是 ____（填“>”“<”或“=”）。 【答案】2；2；= 【解析】对圆 ，D=−2，E=4，F=1，，所以 。对圆 ，D=−4，E=2，F=1，，所以 。两个圆的圆心不同，判别式却相同，半径相等，因此 。 13. 若方程 表示圆，则实数 k 的取值范围是____。 【答案】 【解析】由方程得 D=−2k，E=4，F=4。方程表示圆需要 ，即 ，整理得 ，所以 ，即 k 可以取除 0 以外的一切实数。 14. 已知圆 的圆心与圆 的圆心相同，且圆 的半径是这个圆半径的 2 倍，则圆 的一般方程是____。 【答案】 【解析】圆 中 D=−2，E=6，F=6，圆心坐标是 ，半径 。圆 与它同心，所以圆心仍是 ，半径是 4，半径的平方是 16。由 得常数项 F=−6。因此圆 的一般方程是 。 三、解答题 15. 已知圆 经过点 和 ，且圆心在 x 轴上。求圆 的一般方程，并写出它的圆心坐标和圆的半径. 【答案】一般方程是 ，圆心坐标是 ，半径是 。 【解析】设圆心为 。因为圆经过点 和 ，所以这两点到圆心的距离相等，即 ，解得 。所以圆心是 ，半径的平方是 ，半径是 。所求圆的标准方程是 ，展开并整理得一般方程 。 学科网（北京）股份有限公司 $