6.4.2 圆的一般方程——判定、配方与由条件求圆（教案）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】

高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】 第6章 直线与圆的方程 6.4.2 圆的一般方程——判定、配方与由条件求圆 授课班级 授课类型 新授课 授课教师 教学时长 1课时（45分钟） 教材分析 教材从圆的标准方程出发，把标准方程展开整理，得到形如 的二元二次方程，再通过配方讨论 的符号，说明这类方程在什么条件下表示圆，从而给出圆的一般方程的定义与圆心、半径公式；随后用判别式法和配方法判断方程是否为圆并求圆心、半径，最后以待定系数法由三点求圆，并比较设一般式与设标准式两条路径。知识按形式、判定、定义、应用的顺序展开，前后环节紧密依赖。 本课承接上一课时圆的标准方程，把圆的方程由标准形式推广到一般形式，是下一课时用方程研究直线与圆位置关系的直接基础，也为后续求圆的切线和解决直线与圆的应用问题提供表示方法与运算工具。 学情分析 学生已经掌握圆的标准方程，能由标准方程读出圆心和半径，也具备配方法、二元二次方程和三元一次方程组的基础。但学生容易只看到方程中含有 就判断它表示圆，忽略 的符号；在由圆上三点求圆时，也容易漏设方程或解错方程组。本课需要在判定条件、配方过程和两条求解路径上加强辨析和规范书写的训练。 教学目标 1．理解圆的一般方程的形式与由来，掌握二元二次方程 表示圆的判定条件，理解圆的一般方程中圆心坐标与半径的公式。 2．能依据 的符号判断方程是否表示圆，能用配方法或公式法求出圆心坐标和半径，能用待定系数法由圆上三点求出圆的方程。 3．经历由标准方程展开、配方后分类讨论和待定系数法求解的过程，提升数学运算与逻辑推理素养，形成先判断条件、再选择方法并检验结果的意识。 教学重难点 教学重点：圆的一般方程的判定条件，以及由一般方程求圆心坐标和半径。 教学难点：理解配方后 的符号与方程所表示图形之间的对应关系，并根据已知条件选择设一般方程或设标准方程。 教学方法 情境教学法、启发式讲解法、对比归纳法、讲练结合法。 课前准备 教师准备：教材、演示课件。 学生准备：教材、笔记本。 教学环节设计 教学环节 教学内容 设计意图 教学导入 旧知回顾：上一课时我们学习了圆的标准方程 ，从这个方程可以直接读出圆的哪些要素？ 【答案】圆心坐标为 ，半径是 。 【解析】标准方程把圆心的横、纵坐标和半径都直接写在方程里，读出时不需要额外运算。 教材情境：如果把圆的标准方程 展开并整理，会得到怎样一个方程？ 【答案】得到 。 【解析】把 的左边展开，得 ，右边仍是 ，移项整理即得 。 教师归纳：圆的标准方程展开整理后变成了 这样的二元二次方程。反过来，这样的二元二次方程是否一定表示圆？这正是本节课要研究的问题。 由标准方程回忆圆心与半径的读法，再把标准方程展开得到新的方程形式，用反过来能否表示圆的问题形成认知需要，引出本课研究对象。 新知讲授 一、圆的一般方程的由来与形式 令 ，，，则圆的标准方程化为一个二元二次方程 （式6−11）。 这个方程中 的系数都是1，且不含 项，这是它与一般二元二次方程的区别，也是判断它能否表示圆时先要看的形式特征。 即时练习：把圆的标准方程 展开并整理，写出它的一般方程形式，并指出 的值。 【答案】，其中 ，，。 【解析】把 的左边展开得 ，移项整理得 。 即时练习：在方程 中， 的值分别是多少？ 【答案】，，。 【解析】把方程与 逐项对照，一次项 的系数就是 ，一次项 的系数就是 ，常数项就是 。 二、二元二次方程是否表示圆 将方程 配方整理，得 （式6−12）。 当 大于0时，这个二元二次方程表示以 为圆心、以 为半径的圆；当 等于0时，方程只有一组实数解 ，，它表示一个点 ；当 小于0时，方程没有实数解，不表示任何图形。 即时练习：方程 是否表示圆？请说明理由。 【答案】这个方程不表示圆，它不表示任何图形。 【解析】由方程得 ，，，所以 。因为 ，所以方程没有实数解，不表示任何图形。 即时练习：当 取什么值时，方程 表示一个点？ 【答案】。 【解析】由方程得 ，，。方程表示一个点，需要 ，即 ，解得 。 三、圆的一般方程与圆心、半径公式 当 大于0时，二元二次方程 表示圆，这个方程称为圆的一般方程，其中圆心坐标是 ，半径是 。 即时练习：写出圆 的圆心坐标和半径。 【答案】圆心坐标为 ，半径为 。 【解析】由方程得 ，，。圆心坐标为 ，即 ；半径 ，即 。 即时练习：圆 的圆心坐标和半径分别是多少？ 【答案】圆心坐标为 ，半径为 。 【解析】由方程得 ，，。圆心坐标为 ，半径 ，即 。 四、判断方程是否为圆并求圆心、半径 例5 方程是否为圆的方程？如果是，求圆心坐标和圆的半径. 【答案】方程 是圆的方程，圆心坐标为 ，圆的半径为 。 【解析】解法一：由方程得 ，，。因为 ，所以方程 是圆的方程，圆心坐标为 ，即 ，圆的半径 。 【解析】解法二：将方程 配方，得 ，所以它是圆的方程，圆心坐标为 ，圆的半径为 。 即时练习：方程 是否为圆的方程？如果是，求圆心坐标和圆的半径. 【答案】方程 是圆的方程，圆心坐标为 ，圆的半径为 。 【解析】由方程得 ，，。因为 ，所以它是圆的方程，圆心坐标为 ，半径 。 即时练习：方程 表示什么图形？ 【答案】这个方程只表示一个点，该点的坐标为 。 【解析】由方程得 ，，。因为 ，所以方程只有一组实数解 ，，它表示一个点 。 五、用待定系数法由三点求圆 例6 求经过三点，，的圆的方程，并求圆心坐标和圆的半径. 【答案】所求圆的一般方程为 ，圆心坐标为 ，圆的半径为 。 【解析】设所求圆的方程为 。因为 ，， 三点都在圆上，所以它们的坐标满足圆的方程，即 。 解三元一次方程组，得 ，，，因此所求圆的一般方程为 。将方程 配方，得 ，即圆心坐标为 ，圆的半径为 。 读一读：例6求解方程中未知数的方法称为待定系数法，在求圆的方程时经常会用到它。 教师补充：先设出含有待定字母的方程，再把条件代入列出方程组，求出字母的值，就得到所求的方程。 即时练习：求以点 为圆心， 为半径的圆的一般方程. 【答案】。 【解析】以点 为圆心、 为半径的圆的标准方程为 ，展开并整理得 。 即时练习：已知圆的圆心为 ，且圆经过坐标原点，求这个圆的一般方程. 【答案】。 【解析】圆心为 ，圆经过原点，所以半径的平方 ，圆的标准方程为 ，展开整理得 。 六、两种形式的互化与两条路径的比较 圆的方程有标准方程和一般方程两种形式，两者可以互相转化：把标准方程展开整理就得到一般方程，把一般方程配方就得到标准方程。已知圆心和半径或直径端点时，可以先写标准方程，再展开为一般方程；已知圆上三点时，直接设一般方程用待定系数法求解更简便。 即时练习：求下列圆的圆心坐标和圆的半径。（1）；（2）；（3）；（4）. 【答案】（1）圆心坐标为 ，半径为 ；（2）圆心坐标为 ，半径为 ；（3）圆心坐标为 ，半径为 ；（4）圆心坐标为 ，半径为 。 【解析】用配方法把每个方程化为标准方程即可读出圆心和半径。（1） 配方得 ；（2） 配方得 ；（3） 配方得 ；（4） 配方得 。 即时练习：求以点 为圆心， 为半径的圆的一般方程. 【答案】。 【解析】圆的标准方程为 ，展开并整理得 。 知识检测：填空。方程 表示____。 【答案】一个点。 【解析】由方程得 ，，，所以 。方程只有一组实数解 ，，所以它只表示一个点 。 按形式、判定、定义、应用的顺序推进，用配方法把判定条件与圆心半径公式统一起来，再通过两道教材例题落实判定与由条件求圆的方法。 课堂背诵 背诵1：圆的一般方程中，圆心坐标和半径分别是什么？使用这个结论前必须先满足什么条件？ 【答案】圆心坐标是 ，半径是 ；使用前必须先满足 。 【解析】一般方程的圆心、半径公式只在方程表示圆时成立，所以要先算 的符号，再代公式。 背诵2：填空并回答。将方程 配方整理，得______；当 小于0时，这个方程______。 【答案】；没有实数解，不表示任何图形。 【解析】配方后右边是 ，它的符号决定方程表示的图形：大于0表示圆，等于0表示一个点，小于0时不表示任何图形。 用提问、填空和教材习题复述一般方程的圆心半径公式及其使用条件，检查学生能否准确说出并写出本课的规范结论。 师生互动 互动讨论：圆的标准方程与圆的一般方程各有什么特点？请从能否直接看出圆心和半径、方程的形式两方面说明。 【参考答案】标准方程 中，圆心坐标 和半径 直接写在方程里，右边是半径的平方；一般方程 是展开整理后的二元二次方程， 的系数都是1且不含 项，需要配方或计算 才能判断它是否表示圆并读出圆心和半径。 【教师归纳】两种形式各有用途：看出圆心和半径用标准方程更方便，由三个条件求方程时用一般方程待定系数更直接。 纠错辨析：判断“方程 表示一个圆”是否正确，并说明理由。 【参考答案】不正确。由方程得 ，，，所以 。因为 ，方程没有实数解，不表示任何图形，所以这个说法是错误的。 【教师归纳】判断一般方程表示的图形，不能只看它含有 就下结论，必须先算 的符号。 同桌交流：求圆的圆心和半径时，配方法与公式法各有什么优点？在什么情况下你会优先选择其中一种？ 【参考答案】配方法把方程直接化为标准方程，能同时完成是否表示圆的判断并读出圆心和半径，适合系数比较简单的情形；公式法直接代入 计算 ，步骤固定、便于快速判断，适合系数较复杂或只需要判断是否为圆的情形。 【教师归纳】两种方法结论一致，可以互相检验；解题时根据方程特点和题目要求选择更省时的一种。 通过两种方程特点的比较和是否表示圆的纠错说理，暴露忽略判定条件符号的易错点，形成规范的判断表达。 课堂练习 1．求经过三点，，的圆的方程，并判断点与所求圆的位置关系. 【答案】所求圆的方程为 ，点 在圆外。 【解析】设所求圆的方程为 。把 ，， 三点坐标分别代入，得 ，，，解得 ，，，所以所求圆的方程为 。配方得 ，圆心为 ，半径的平方为 。点 到圆心的距离的平方 ，大于 ，所以点 在圆外。 2．根据下列圆的方程，求圆心坐标和圆的半径。（1）；（2）。 【答案】（1）圆心坐标为 ，半径为 ；（2）圆心坐标为 ，半径为 。 【解析】（1）由标准方程直接读出圆心 、半径 。（2）将 配方得 ，所以圆心为 ，半径为 。 3．方程是否为圆的方程？如果是，求圆心坐标和圆的半径. 【答案】是圆的方程，圆心坐标为 ，圆的半径为 。 【解析】由方程得 ，，，所以 ，大于0，它是圆的方程。圆心坐标为 ，半径 =。 4．求经过三点，，的圆的标准方程和一般方程. 【答案】标准方程为 ，一般方程为 。 【解析】设所求圆的方程为 。把三点坐标分别代入，得 ，，，解得 ，，，所以一般方程为 。配方得 ，即为所求圆的标准方程。 5．已知方程表示圆，求实数的取值范围，并求出圆心坐标和圆的半径. 【答案】；圆心坐标为 ，半径为 。 【解析】由方程得 ，，。方程表示圆，需要 ，即 ，整理得 ，解得 。圆心坐标为 ，即 ；半径 =。 按概念辨析、配方求圆心半径、由条件求圆和含参数判断分层设置七道题，兼顾基础达标与规范书写。 课堂小结 1．把圆的标准方程展开并整理，可以得到 这样的二元二次方程，其中 的系数都是1，且不含 项。 2．判断 是否表示圆，先算 ：大于0时表示圆；等于0时只表示一个点；小于0时不表示任何图形。 3．当 大于0时，这个方程称为圆的一般方程，圆心坐标是 ，半径是 。 4．判断方程是否为圆并求圆心、半径，可以先用公式法计算 ，也可以直接用配方法化为标准方程，两种方法可以互相检验。 5．已知圆上三点求圆的方程，用待定系数法：设一般方程，代入三点坐标解出 ，再配方读出圆心和半径。 6．圆的两种方程形式可以互相转化；已知圆心和半径或直径端点时先写标准方程，已知三点时用待定系数法，解题时要根据条件选择更简便的设法。 按一般方程的由来、判定条件、圆心半径公式、两种形式互化和两条求解路径归纳核心结论、适用条件与易错点。 作业布置 1．复习本节课的知识点； 2．完成课后练习； 3．整理笔记和易错题。 教学反思 本节课内容比较集中，判定条件、配方过程和由条件求圆三个环节都需要学生动手运算。后续可以适当压缩教师的演算时间，把更多时间留给学生独立配方和判断，并及时收集典型错误。对容易忽略 符号的学生，可以通过表示圆、表示一个点和表示不了图形三种情形的对比加深印象；待定系数法的教学还应加强设方程与解方程组的规范书写训练。 学科网（北京）股份有限公司 $