6.4.1 圆的标准方程（练习）-高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】（原卷版+解析版）

高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】 第六章 直线与圆的方程 6.4.1 圆的标准方程 一、选择题 1. 下列对圆的轨迹定义的叙述，正确的是（　　）。 A. 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹组成一个圆 B. 到定点的距离等于定长的点只有有限多个 C. 圆上不同点到圆心的距离可以互不相等 D. 半径改变时，圆心一定随之改变 【答案】A 【解析】圆是平面内到定点的距离为定长的动点的轨迹，定点称为圆心，定长称为半径。到定点的距离等于定长的动点有无数多个，它们的轨迹组成一个圆，所以 A 正确。这样的点有无数多个，不是有限多个，B 错误；圆上任意一点到圆心的距离都等于半径，不可能互不相等，C 错误；半径改变只改变圆的大小，圆心可以不动，D 错误。故选 A。 2. 某同学由圆的标准方程 读出“圆心是 (3,−1)，半径是 2”。关于这个方程，下列叙述错误的是（　　）。 A. 方程中 减去的数是 −3，圆心横坐标是 −3 B. 方程中 减去的数是 1，圆心纵坐标是 1 C. 等号右端的 2 就是半径，圆的半径是 2 D. 等号右端的 2 是半径的平方，半径是 【答案】C 【解析】圆的标准方程 中，圆心坐标是 (a,b)，半径是 r。本题方程中 x 减去的数是 −3，y 减去的数是 1，所以圆心坐标是 (−3,1)，A、B 叙述正确；等号右端的 2 是半径的平方，即 ，所以半径是 而不是 2，C 叙述错误，D 叙述正确。故选 C。 3. 关于圆的标准方程 （）的结构，下列说法正确的是（　　）。 A. 左边是两个完全平方之和，右边是半径的平方 B. 右边就是圆的半径 C. 圆心坐标是 (−,−) D. 左边是两个完全平方之差 【答案】A 【解析】圆的标准方程 的等号左边是 (x−a)² 与 (y−b)² 两个完全平方之和，等号右边是半径 r 的平方，所以 A 正确，B 错误，D 错误；方程中 x、y 所减去的数是 a、b，圆心坐标是 (a,b) 而不是 (−a,−b)，C 错误。故选 A。 4. 若点 在圆 的内部，则实数 的取值范围是（　　）。 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】圆 的圆心为坐标原点 O(0,0)，半径 。点 M(1,a) 在圆的内部，说明它到圆心的距离小于半径，两边平方得 ，即 ，所以 。故选 A。 二、填空题 5. 圆的标准方程为 ，则它的圆心关于 y 轴的对称点坐标是____，半径是____。 【答案】(−4,−2)；3 【解析】由标准方程读出圆心的坐标： 减去的数是 4， 减去的数是 −2，所以圆心坐标为 (4,−2)。点 (4,−2) 关于 轴对称时横坐标变为它的相反数、纵坐标不变，所以对称点坐标是 (−4,−2)。等号右端的 9 是半径的平方，半径是 9 的算术平方根，即 3。 6. 已知圆的标准方程为 ，且点 在圆上，则半径 =____。 【答案】 【解析】点 A(2,2) 在圆上，所以它的坐标满足圆的标准方程。把 、 代入方程得 ，即 。因为半径 ，所以 。 7. 若圆的标准方程为 ，且它的半径为 2，则 =____。 【答案】 【解析】圆的标准方程等号右端是半径的平方。已知半径是 2，所以 。此时方程为 ，与已知一致。 8. 圆 与坐标原点 的位置关系是____。 【答案】原点 O 在圆上 【解析】由方程读出圆心为 C(6,−8)，半径 。把原点的坐标代入方程的左边得 ，与等号右端相等，即 ，所以原点 O 在圆上。 一、选择题 9. 已知圆 C 的标准方程为 ，则下列说法正确的是（　　）。 A. 点 (−2,−2) 在圆 C 上 B. 圆 C 的半径是 9 C. 圆心 C 到坐标原点的距离等于圆 C 的半径 D. 点 (3,1) 在圆 C 内 【答案】A 【解析】由方程读出圆心 C(1,−2)，半径 。把点 (−2,−2) 的坐标代入方程的左边得 ，等于半径的平方，所以这个点在圆 C 上，A 正确；等号右端的 9 是半径的平方，半径是 3，B 错误；圆心 C(1,−2) 到坐标原点的距离为 ，不等于半径 3，C 错误；把点 (3,1) 的坐标代入得 ，大于半径的平方 9，所以这个点在圆 C 外，D 错误。故选 A。 10. 已知圆 C 的圆心在 x 轴上，且经过点 和 ，则圆 C 的标准方程是（　　）。 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】因为圆心在 x 轴上，设圆心坐标为 。圆心到 A、B 两点的距离都等于半径，所以 ，展开整理得 ，解得 ，圆心为 (1,0)。再代入点 A 得 ，所以圆 C 的标准方程是 。故选 A。 11. 已知圆 C 经过点 ，且半径为 3，则这样的圆（　　）。 A. 圆心可以在以 A(1,2) 为圆心、3 为半径的圆上任意取值，不能唯一确定 B. 圆心一定是点 A(1,2) C. 圆心一定在 轴上 D. 圆心只能取一个确定的位置 【答案】A 【解析】半径是 3，圆心到点 A(1,2) 的距离必须等于 3，所以圆心可以在以 A(1,2) 为圆心、3 为半径的圆上任意取值，这样的圆有无数多个，仅由“经过一点且半径为 3”不能唯一确定一个圆，A 正确。点 A 是圆上的点而不是圆心，B 错误；题目没有说明圆心在 轴上，C 错误；圆心的位置有无数多种，D 错误。故选 A。 二、填空题 12. 已知圆 C 的标准方程为 （），若点 在圆 C 内，则 的取值范围是____。 【答案】√2 【解析】点 A(4,3) 在圆内，说明它到圆心 C(2,1) 的距离小于半径。由两点间距离公式得 ，所以 。因为 ，所以 。 13. 若圆 的圆心到 x 轴的距离为 3，则 的值是____。 【答案】 或 =−3 【解析】由方程读出圆心坐标为 (1,−b)。圆心到 x 轴的距离就是圆心纵坐标的绝对值，所以 ，即 ，解得 或 。两个值都满足条件，说明圆 (x−1)²+(y+3)²=16 与圆 (x−1)²+(y−3)²=16 的圆心到 x 轴的距离都是 3。 14. 纠错：某同学认为方程 表示一个半径为 0 的圆。这个方程表示的图形是____。 【答案】一个点 (2,−3)，不是圆 【解析】圆的标准方程 中要求半径 ，所以等号右端必须大于 0。本题等号右端是 0，而方程的左边是两个完全平方之和，它等于 0 必须且只需同时满足 与 ，所以方程只表示一个点 (2,−3)，不表示圆，“半径为 0 的圆”的说法不正确。 三、解答题 15. 已知圆 C 的标准方程为 ，且圆 C 经过点 。（1）求圆 C 的标准方程；（2）判断点 与圆 C 的位置关系。 【答案】（1）；（2）点 B 在圆 C 外。 【解析】（1）圆心为 C(1,2)。把点 A(−1,4) 的坐标代入方程得 ，所以圆 C 的标准方程是 。（2）把点 B(4,2) 的坐标代入方程的左边得 ，因为 ，所以点 B 到圆心的距离大于半径，点 B 在圆 C 外。 学科网（北京）股份有限公司 $ 高教版第三版《数学 基础模块下册》【上好课】 第六章 直线与圆的方程 6.4.1 圆的标准方程 一、选择题 1. 下列对圆的轨迹定义的叙述，正确的是（　　）。 A. 平面内到定点的距离等于定长的点的轨迹组成一个圆 B. 到定点的距离等于定长的点只有有限多个 C. 圆上不同点到圆心的距离可以互不相等 D. 半径改变时，圆心一定随之改变 2. 某同学由圆的标准方程 读出“圆心是 (3,−1)，半径是 2”。关于这个方程，下列叙述错误的是（　　）。 A. 方程中 减去的数是 −3，圆心横坐标是 −3 B. 方程中 减去的数是 1，圆心纵坐标是 1 C. 等号右端的 2 就是半径，圆的半径是 2 D. 等号右端的 2 是半径的平方，半径是 3. 关于圆的标准方程 （）的结构，下列说法正确的是（　　）。 A. 左边是两个完全平方之和，右边是半径的平方 B. 右边就是圆的半径 C. 圆心坐标是 (−,−) D. 左边是两个完全平方之差 4. 若点 在圆 的内部，则实数 的取值范围是（　　）。 A. B. C. D. 二、填空题 5. 圆的标准方程为 ，则它的圆心关于 y 轴的对称点坐标是____，半径是____。 6. 已知圆的标准方程为 ，且点 在圆上，则半径 =____。 7. 若圆的标准方程为 ，且它的半径为 2，则 =____。 8. 圆 与坐标原点 的位置关系是____。 一、选择题 9. 已知圆 C 的标准方程为 ，则下列说法正确的是（　　）。 A. 点 (−2,−2) 在圆 C 上 B. 圆 C 的半径是 9 C. 圆心 C 到坐标原点的距离等于圆 C 的半径 D. 点 (3,1) 在圆 C 内 10. 已知圆 C 的圆心在 x 轴上，且经过点 和 ，则圆 C 的标准方程是（　　）。 A. B. C. D. 11. 已知圆 C 经过点 ，且半径为 3，则这样的圆（　　）。 A. 圆心可以在以 A(1,2) 为圆心、3 为半径的圆上任意取值，不能唯一确定 B. 圆心一定是点 A(1,2) C. 圆心一定在 轴上 D. 圆心只能取一个确定的位置 二、填空题 12. 已知圆 C 的标准方程为 （），若点 在圆 C 内，则 的取值范围是____。 13. 若圆 的圆心到 x 轴的距离为 3，则 的值是____。 14. 纠错：某同学认为方程 表示一个半径为 0 的圆。这个方程表示的图形是____。 三、解答题 15. 已知圆 C 的标准方程为 ，且圆 C 经过点 。（1）求圆 C 的标准方程；（2）判断点 与圆 C 的位置关系。 学科网（北京）股份有限公司 $